1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Мы приходим. таким образом, к включению 0 (У,(А)) П 0 ((УлЯ(АН =0 (Л(А).У,(А)1. (2)) Пусть снова Л ().) и Г",().) кусочно равномерно непрерывны на вещественной прямой. Пусть х Е 0 (УГ(А)Га(А)) Это значит, что х~0(ут(А)) и Га(А)хб0(Л(А)1 следнее включение означает, что Г~у'())~' ( Л(' '~(А)х)(- (") СО 386 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Гл.
Тн Отсюда с учетом (19) получаем 0 [Уя(А)[(!0 [(У'лУя)(А)[с=0 [Ул(А)Уя(А)[с0 [(У'Д)(А)[. Из этого включения следует: для того чтобы в (20) иллело место равенство, необходилго и достаточно, чтобы 0 [(уА)(А)! =0 [уя(А)[. Рассмотрим случай, когда у,(Л) = )'а(Л) = г"(Л).
Так как на всяком конечном интервале функция г (Л) ограничена, то расходимость интеграла ~'[У.(Л)[л Д (Елх х) О (22) может произойти лишь вследствие неограниченного возрастания [Г(Л)[ при [Л[-э.со. Но так как [Г" (Л)[" л растет медленнее, чем [у'(Л)(", то из сходимости интеграла (22) будет вытекать сходимость интеграла [ [г(Л)[" 'с((Елх, х). Это будет означать, что 0 [(/")(А)[~0 [[г'" ')(А)[. Отсюда, в силу предыдущего, [у'" (А)) у' (А) = (1'") (А), и, следовательно.
! г" (А)]л (/л) (А) т. е. О У(А)!"= ~ [У(Л)!" гТЕл. Найдем оператор у(А)'. сопряженный с оператором у'(А). Если г (Л) — вещественная функция, то, как мы знаем, г'(А)— самосопряженный оператор. Если /(Л)=и(Л)+То(Л) — комплексная функция. ограниченная на ( — ОО, со), то по доказанному у (А)" = (и (А) + То (А) !' = и (А)' — То (А)' = = и(А) — йю(А) =ДА), $ В] РАзложение неОГРАниченнОГО ОпеРАтОРА 387 где 7(7) означает функцию, комплексно сопряженную с 7"(),). Если 7'(Х) не ограничена, представим ее в виде ~ Г (7 ) ! е Яга / ( ) к () ) й () ) Здесь и(7) вещественна, /Ь(А)~=1, и области определения 7 (А) и д(А), очевидно, совпадают.
Оператор Е(А) — само- сопряженный, а й (А) — ограниченный. Поэтому у (А)'= [д(А) л(А)1'" = Ь(А)'д(А) = Ь(А) д(А) = г" (А). Пусть Т вЂ” ограниченный линейный оператор, перестановочный с А. Тогда Т перестановочен с ЯА=(А — ХЕ) для любого регулярного значения А и, следовательно, перестаповочен с оператором В = 21 (77' 1 В свою очередь из перестановочности Т и В следует перестановочность Т с любой ограниченной функцией 7(В), в частности со спектральной функцией йь этого оператора и с введенной выше функцией ф„(В).
Эта последняя перестановочность означает, что подпространство Н„приводит Т. Поэтому для хЕН„ А„Тх=АТх=ТАх=ТА х, т. е. А„и Т на Н„коммутируют. Но тогда Т коммутирует с Еь"~ — спектральной функцией оператора А„, и поскольку спектральная функция ЕА оператора А предста- вима в виде где ряд сходится для каждого х ~ Н, то ТЕ А — — ЕАТ.
Из перестановочности Т с ЕА следует перестановочность Т с любой ограниченной функцией г"(А). Если. наконец, г"(А) — неограниченная функция, то положим Ул(А) =У(А) К,(А) СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. чн ГДЕ )(и (А,) — ХаРаКтЕРИСтнЧЕСКаа ФУНКЦИЯ ПОЛУИНтЕРВаЛа [ — и, и), Имеем для любого х~ 0 [Т(А)) ~„(А) Тх = — Т Т„(А) х. (23) Так как хай [г" (А)[, то Ть(А)х->У(Л)х при п-ьОО. Следовательно, Т Т„(А) х — ь ТХ (А) х. Но тогда при и-РОС левая часть равенства (23) стремится к пределу Т$ (А) х, что означает, что Тх Е В [Т(Л)[ и у(А) Тх =- Ту (А) х. Итак, любая функция от оператора А сокоммутирует с оператором А.
Оказывается, что это свойство для случая сепарабельного гильбертова пространства является характернстнчным для функций от оператора. Именно имеет место Т е о р е м а. Для того чп!обы замкнутый оператор В с всюду плотной областью определения быт функцией самосопряаюенного оператора А, необходимо и достаточно, чигобы В сокоммутироеал с А. Доказательство этой теоремы см., например, в (25). Пусть Х вЂ” комплексное число или точка на вещественной оси, в некоторой окрестности (а, р) которой Ен постоянна. Положим в первом случае 1 !р(п) = —, — ОО ( Р ( СО, !! — а во втором случае 1 вне (ц, [1), О, если (ь ~ (а, [1), тогда <р (р) ограничена и равномерно непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому оператор ф(А) — ограниченный оиератор, и, следовательно, (Л вЂ” ).Е) <р (А) = <р (А) (А — ),Е) = 1 (р — ).) — дЕР = ~ ФЕР=Е.
!! — А % 8! РАЗЛОжьние неОГРАниченнОГО ОпеРАтОРА 339 Снова мы получили, что комплексные точки и точки ве>цественной оси, в окрестности которых Е„ постоянна, являются регулярными точками и резольвента имеет вид Пусть, наоборот, йь для вещественного Л существует, Тогда, повторяя рассуждения теоремы 5 В 5 настоящей главы, мы получим, что в некоторой окрестности Л спектральная функция Е„ постоянна. Наконец, как и в случае ограниченных самосопряженпых операторов, можно показать, что для того, чтобы точка Ла была собственным значением оператора, необходимо н достаточно, чтобы Ла была точкой разрыва разложения единицы Е>„ этого оператора.
Вернемся к речольвенте. Прежде всего имеем: 1. Если йьх = О, то х = (А — ЛЕ) йьх = (А — ЛЕ) О = О. Далее правила действий с функциями оператора дают: 2. Й>,= >ть. >Гбч 8>ЕЧ 3. й>.— Е,= / —" >1 — Л,/ И вЂ” И Л вЂ” и (и л) 1» и) >г~ч =-(Л вЂ” р) / —" / — "=(Л вЂ” р))сь)с,. ./ч — л./и — и Мы получили так называемое функйпональное уравнение Гильбер>пп для резольвенты. Итак, резольвента самосопряженного операто;>а обладает свойствами 1 — 3. Оказывается верно н обратное, а именно: Пусть дано семейство ограниченных линейных операторов, зависящих от комплексного параметра Л и обладающих свойствами: 1) из >сьх = О следует х = О; 2) ггь=>сй 3) Л,— )1„'=(Л вЂ” р) НЯ„.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ~гл. Тп Тогда существует ограниченный или неограниченный самосопряженный оператор А, для которого семейство тсь является семейством резольвент. Доказательство см., например, в [24]. Отметим, наконец, что, опираясь на функциональное уравнение резольвенты, можно доказать, что резольвента есть аналитическая функция параметра )., т. е. в окрестности регулярной точки 3 резольвента разлагается в ряд по степеням Л вЂ” Хе. сходящийся в смысле равномерной сходи- мости в пространстве операторов [24]. $ 9. Примеры неограниченных операторов Оператор умножения иа независимое переменное. Примером неограниченного оператора является оператор умножения на независимое переменное в пространстве Ь.я(-ОО, Оо). Пусть О(А) — многообразие функций х (Т) с суммируемым на ( — со, со) нвадратом и таких, что ] г""' [ х (8) ]т а 1 ( со.
Легко видеть, что П(А) есть линейное многообразие, всюду плотное в ья( — со, со), так как оно содержит все ограниченные функции, обращающиеся в нуль вне некоторого отрезка [а, Ь] ([а[, ]Ь] ( со). На этом многообразии определим оператор А равенством Ах = — Ьх (Ь). Так как (Ах, х)= ~ Ьх(Ь) х(Ь) Ю= ~ Ь] х(1)[айЬ вещественно, что А — симметрический оператор.
Покажем, что А — самосопряженный оператор. Пусть у (Ь) ~ П(А') и х(Т) — произвольная функция с суммнруемым квадратом, обращающаяся в нуль для ]1] > и. ай ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 391 Тогда х(г) ~е) и мы имеем (Ах, у) =(х, у'), или л л л / 1х(1) у(г) лг= ~ х(1)1у(Г)Г11= / х(8) у (Г)лг. откуда 1 х(г) ]у*(г) — гу(г)] лг= О. -л В силу произвольности х(Г) почти всюду на ] — и, л] при любом фиксированном а, а следовательно и почти всюду на ( — со, со). Так как у' (г) Е Ц ( — Оо, со), то Гу (г) ~ Ц ( — со, ОО), т. е. у (г) ~ 1.) (А).
Таким образом, ])(А*)с=]л(А), а следовательно, О(А')=0(й), и самосопряженность А доказана. Оператор А не имеет собственных значений, нбо если Ах=ох, то (à — о) х(Г) =О, откуда х(г)=О почти всюду на ( — ОО, ОО). С другой стороны, каждое вещественное число о есть точка спектра, в чем убеждаемся, повторяя рассуждения 5 4 гл. ЧП, относящиеся к оператору умножения на независимую переменную в пространстве 1.з]О.
1]. Таким образом, оператор А имеет чисто непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось. Резольвента оператора А определяется формулой Яхх = — х (г). 1 г — А Отсюда ()схх, х)= 1 Т,.„лг= 1 — сдр(г), I' ] х (г) ]л / 1 СО СО где ср(Г)= ] ] х(т)/'нт. сл СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ~гл. Рн С другой стороны, г' лт(Еих, х) р 1 (Елх «)= /,' 'л = / —,)р(р). Приравнивая оба выражения для Ялх, х), находим, что для всех невещественных Х.
Отсюда в силу формулы обращения Стильтьеса с учетом непрерывности ф(~~) и р(",-) получаем (24) р(с)=фб) т. е. (Елх, х) = — ~ ) х (Т) Р ВГТ Отсюда (Е(лт)х, х)=~ !х®!ЕГТТ= ~ у (Т)',х(Т)РГ(г. где )(д(Г) — характеристическая функция интервала Л. Таким образом, мы получаем, что для любого интервала Л Е (гд) х = й (О х (г). Интегральное представление оператора А принимает вид Ах = / ). Г(Е, х = ~ М (уч (Г) х (Т) ) = Тх (Г).
Здесь у, (Т) — характеристическая функция интервала ( — со, ).), и интеграл Стильтьеса вырождается в значение подынтеграль- ного выражения в точке единственного скачка интегрирующей функции, зм ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 393 Функции Р(А) оператора, соответствующаа функции вещественной переменной у (),), очевидно. имеет вид Г(А) х = Р(1) х (1). Оператор дифферемцирования. В качестве второго примера неограниченного оператора рассмотрим оператор дифференцировании.
В гильбертовом пространстве 1 (а. Ь), где а и Р— конечные числа нли равны бесконечности, введем оператор А =1 —. ме ' Пусть сперва а и Ь конечны, например а — — — О, д = 1. Положим, что область определения 1) (А) рассматриваемого оператора состоит из абсолютно непрерывных функций. имеющих суммируемую с квадратом производную и удовлетворяющих граничным условиям х (0) = х (1) = О. Тогда интегрированием по частям легко убеждаемся, что (Ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
