1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 55
Текст из файла (страница 55)
у)= / 1 — „Г у(1)сИ= / х(1)(1 У ) ~й=(х, Ау) для любых х, у ~ с) (А), т. е. что А — симметрический оператор. Пусть теперь а = — О. Ь = ОО. К ьг(А) отнесем функции х(1), суммнруемые с квадратом на [О, со), имеющие на цх (г) этом интервале суммнруемую с квадратом производную— щ и удовлетворяющие граничному условию х(0) =О. Покажем, что в рассматриваемом случае также х(сс)=О. Так как х (Г) и — суммнруемы с квадратом, то х(С)— лх (г) ах (г) аг Л суммируема на [О, сО).
и мы можем написать (т)[з — [ х(0) [з+ ~ х(т) ~[т+ ~ х (т) Их (т) 1т СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. чп При г-+со правая часть этого равенства стремится к конечному пределу; следовательно, существует 1нп (х(г)) с. со. г.+ сл В силу суммируемости 1х(г)1Т на [О, со) этот предел может быть лишь нулем. Итак, во втором случае имеем х(О) = х(ОО) =О. (2) Из формулы л л / 1 — ) у (г) Л = 1х (и) у (и)+ / х (1) (1 Ут 1 Н о о прн л -ь со получаем в пределе (Ах, у) =(х, Ау), т. е. н во втором случае А — симметрический оператор. В третьем случае, когда а = — — со и д = со к с) (А) отнесем все функции, суммируемые на ( — СО, со) с квадратом и имеющие на этом интервале сучмируемые с квадратом производныс. Как и выше, убеждаемся, что из этих предположений вытекает, что х ( — ОО) = х (со) = О, и снова А будет симметрическим оператором.
Необходимо показать еще, что 0(А) всюду плотно в 1.т(а, Ь). Пусть (а, Р) — интервал, совпадающий с (О, 1) в случае конечного интервала, равный (О, 1з), где 1г — любое конечное число во втором случае и любой конечный интервал в третьем случае. Если у (1) — функция из Ц(а, б), ортогональная к А)(А). то, выбрав в качестве х(1) любую функцию из й(А) в первом случае н любую функцию из с) (А), равную нулю вне (а, р), в двух других случаях, будем иметь а О = (х, у) = / х (1) у (г) й1 = — г — „1' (г) Ф, — лх (Г) где У(1) — первообразная для у(г).
Так как в качестве х(1) можно взять любую функцию, непрерывную на (а, й) и обращающуюся в нуль на концах этого интервала, то $9) пРимеРы неОГРАниченных ОпеРАГОРов 395 из известной леммы вариационного исчисления, примененной к непрерывной функции )'(Г), следует. что г'(г)=сова( и, следовательно, у(Г) = 0 на интервале (а, р), а значит, и всюду на (а, Ь). Следовательно, А=1 — — во всех трех случаях а' лг имметрическнй оператор. Найдем сопряженный оператор А'.
Пусть у Е О (А"). Тогда для любого х ~ 0 (А) а ь (Ах, у)= ~ х д у(г)и= / х(г)у'(г)ж=(х, у'). а а Выберем в качестве х(г) любую функцию из ()(А), обраща1ощуюся в нуль вне интервала (и, р). Предыдущее равенство дает а — уу(г)и=~ ®у Т уг. Интегрируя правую часть равенства по частям, будем иметь ь з У ":~О -- "'Г Х вЂ” у (Г) г(Г = — / — „) (Г) Л, (4) а а где г" (г)= ~ у'(т)Нт — первообразная для у'(Г). Ранено ство (4) преобразуем к виду в / ~ (') (Гу (г) — ~" (г)) и = о. а Отсюда снова следует. что на (а, р), а значит. и всюду на (а, Ь) Уу (Г) — Г' (г) = сопзй (б) т. е. у(г) есть суммируемая с квадратом на (а, Ь) функция, имеющая на этом интервале суммируемую с квадратом производную. Из (5) получаем у (г) = — „, ()" (г) ) = Г "У ('), СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ИГЛ.
ЧИ т. е. А у=(— лу лг для любого у ~ В(А*). Обратно, если у(1) — функция с указанными выше свойствами, то, интегрируя по частям, будем иметь з ~ у — у (г) Ж = ~ х (() (ю ) Ж = / х (г) у' (1) ~К и, переходя во втором и третьем случаях к пределу прп Р -ь ОО или а-ь — со, р-ьсо, получаем. что (Ах, у) =(х, у*), т. е.
что уЕ0(А'). Итак. А)(А*) состоит из функций. суммируемых с квадратом на (а. б) и имеющих на этом интервале суммируемую с квадратом производную. Вспоминая определение 0 (А), мы видим. что в первом и втором случаях В (А') шире, чем г)(А), а в третьем случае Р(А') = гГ(А). Следовательно, в третьем случае А †само- сопряженны» (или гипермаксимальный) оператор. Покажем. что в первом и втором случаях А — замкнутый оператор, для чего докажем. что А = А . Так как А"'г=А'. то А" есть снова оператор дифференцирования на области й(А'*) своего определения. Пусть х (г) ц,()(А").
Для любой функции у(Е)~О(А*) в первом случае и любой функции из Р (А*), обращающейся в нуль вне (и, р), во втором интегрированием по частям получаем з (А**х, у) = / Ф вЂ” „у(Е) гИ = О в =(х(Р)у(р) — х(а)у(ц)) 8+ ~ х(е) ~у ~„~)) л. а С другой стороны, (А**х, у)=(х, А"у)= / х(~) ~г у() )Н. О Ф 9! ПРИЛ1ЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 397 Из сравнения этих выражений видим, что х (р) у (р) — х (а) у (а) = О, откупа в первол1 случае х(1) у(!) — х(0)у(0)=0 и во втором в пределе при и -ь ОО х (0) у (0) = О. Так как у(0) и у(!) могут быть выбраны произвольно, то последние равенства возможны, лишь если х (0) = х (1) = О. Но тогда х(!)~0л, и мы доказали, что 0(Л"')1=0(Л).
Следовательно, 0(А) = 0(Л'*). Определим индексы дефекта оператора Л. Уравнение А*х=(х в нашем сл)чае принимает вид . л'х ! — „=(х Н имеет единственное с точностшо до линейной зависимости решение х (г) = се'. Аналогично, уравнение А*х = — !х имеет единственное решение х (!) = се-'. В случае конечного интервала оба решения принадлежат пространству ьа(а, с), слеловательно, оба подпространства, А(, и Аг Р одномерны и оператор имеет индексы дефекта (1, 1). Во втоРом слУчае пРостРанствУ ет(0, со) пРинадлежит лишь решение второго уравнения се ', подпространство Аг, состоит лишь из нулевого элемента и оператор А имеет инлексы дефекта (О, !).
Следовательно, во втором случае оператор А — максимальный и не имеет самосопряженных расширений, Построим в первом случае все самосопряженные расширения оператора А. Полпространства А1; и АГ ! порождаются элементамя е' и е- ' соответственно. СПЕКТРАЛЬНЛЯ ТЕОРИЙ ОПЕРАТОРОВ 1гл, чп Так как 1 1 ~1 2 )~егй = / е2'с(С) = ~/с— То 1 1 з -г~~ ~ -миг 1 ~/ '~ о то элементы е' и е'-' имеют одинаковые нормы. Поставим в соответствие элементу е' элемент е"е'-', где т — произвольное вещественное число. Для каждого т на линейном многообразии О,, состоящем иа функций вида у (г) = х (с)+ се'+ се "е'-', (б) где х (С) ~ О (А), определяется оператор А„посредством равенства А,у = Ах+гсе' — (сегге1-1.
Это и будет самосопряженное расширение оператора А. Область определения О, этого оператора можно задать с помощью граничных условий. В самом деле, если функция у(С) представима в виде (6), то у (О) = с + се1ггт = с (1+ е1 ~ 1т). у (1) = се+ се1т с (е1т+ е), Отсюда у (0) 1+ «1тгт у (1) е" + е Так как преобразование 1+ е« «+е переводит единичный круг комплексной плоскости в себя, то мы можем написать «1т+е $91 пгимевы неогвлниченных опеватовов зйй где о — вещественное число.
Поэтому у(О)=егеу(1), Обратно. если это условие выполнено. то у(1) имеет 1+е'+гт вид (6). В самом деле, пусть у(0) = е"у(1) = у (1). ест+а Положим у (о) у (1) 1+е)+) т еы+е ' и пусть х (г) = у (г) — с (е'+ е "е'-') Тогда х (0) = у (0) — с (1+ е'+ ге) = у (о) =у(0) —, (1+е)+"т)=у(0) — у(0)=0 1+а'т" и аналогично убеждаемся„что х(1) =0; Следовательно, у (г) = х (г) + с (е'+ е) те)-)) где х(г)~1)(А), т. е. имеет вид (6), и требуемое доказано. Итак.
область определения 1), самосопряженного расширения А, оператора А состоит иа тех и только тех функций у(Г) пространства Е.,[0, 1[, которые имеют суммируемую с квадратом на [О, 1[ производную и для которых 1-'- е)+)т у (О) е)ау (1) е)е е" + е Лазая различные значения параметру т, мы получим континуум различных самосопряженных расширений оператора А. Найдем спектр оператора А,.
Собственные функции оператора являются решениями краевой задачи 1 — = Хх. ) вещественно. лх лг (Т) х (0) = е"х (1), Решениями будут функции е-'ы, которые удовлетворя)от условию е) ы-л) откуда о — Х= 2лп, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [Гл. ЧП пан Л» — — о — 2)1сг. Следовательно, собственными функциями будут -Ы„1 -1Ш Е»ии Эти собственные функции, очевидно, будут нормированными.
Все точки вещественной оси, отличные от Л», будут регулярными точками оператора А,. В самом деле, общее решение уравнения сгх — — Лх= у СГС имеет вид и надо лишь показать возможность выбора постоянной с так. чтобы выполнялось условие х(0)=е'их(1), Это приводит к уравнению (10) которое, очевидно, разрешимо. если ег(и-А) чь 1 (т. е. если Л чьЛ»). Таким образом, оператор А, имеет чисто точечный спектр СО СО СО ъч сч х = ~ ЕЕ1х = ~„ЕА х = е-1О' ~ сие"""", (8) и СО ИО-Со и= со А,х = ~ Л 11Е1.х = е 'и' ~~ Л с е'аи". и и где с„=(х, х„). Функции оператора А, имеют внд Е(Ас) х=е-'и' ~" Г(Ли) с„д"""11. и= -со В частности, для резольвенты тссь имеем разложение Со тс х — е 101 Ь СИ ев»И11, (1 1) »И 'а — 2ип — Л ай ПРИМеРы неОГРАниченных ОпеРлтОРОВ 401 При О=О формула (8) дает разложение функции с суммнруемым квадратом в обычный ряд Фурье.
Вернемся к случаю бесконечного интервала ( — со, со) н снова РассмотРим в Сз( — со, со) самосопРЯженный опеРатор А=Š—. лг ' Мы покажем, что этот оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на независимое переменное в пространстве Ет( — со, сО). При этом под унитарной эквивалентностью неограниченных операторов А и В мы понимаем следующее: существует унитарный оператор У такой, что УО(А) = О(В) (а следовательно, О(А)=0 О(В)) и УАУ |х =-Вх для любого хЕО(В). Для установления унитарной эквивалентности оператоя' ров А =1 — и В= 1 мы воспользуемся следующей известче ной теоремой Планшереля, доказательство которой можно найти, например, в 131). Пусть х(Г) — вещественная нли комплексная функция из пространства Ц( — со, со). Положим у (Г, а) = = 1 х (т) ен' г(т.
1 )'"2п Тогда у(Г, а) при а-ьоо сходится в среднем иа ( — со, со) к некотоРой фУнкции У(Г)ЕЕе( — 'со, ОО), а фУнкциЯ е х (С, а) = = 1 у (т) е-'" от 1 — ) 2../ сходится в среднем к х(г). Функции х(Г) и у(Г) связаны также формулами у(Г)= — — г х(т) ат, Г'2П а'Г х(Г)== — 1 у(т), г(т. )г2п ЛГ .à — гт 402 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ.
У[[ Кроме того. !!х(Г)!! = !!у(1)!! Промежуток ( — а, а) в предыдущих формулах можно заменить промежутком ( — а, Ь), где а, Ь-+со независимо друг от друга. Пусть теперь У вЂ” оператор в Ха( — со, со). определяемый равенством СО Ух = = 1 х (т) епа Фт, 1 /' )' 2п где интеграл понимается как предел в среднем интегралов по конечным промежуткам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
