1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Вели оператор А имеет индексы дефекта (ш, со) или (оо, т), то способом, аналогичным предыдущему, можно построить расширение А до максимального оператора; самосопряженных расширений у оператора А не существует. Пусть, наконец. оператор А имеет индексы дефекта (оо, со). Рассмотрим сепарабельный случай, когда индексы дефекта будут ( й)з, й)з). Такой оператор допускает и максимальные и гипермаксимальные расширения. Пусть Т; — счетно- мерное подпространство дефектного пространства М,. Отображая изоморфно и изометрично Т, на М ,, мы приходим к максимальному оператору В с областью определения Е)(В) = О(А)+ Т,+М, и индексами дефекта (т, О), где т может быть в зависимости от выбора Т, любым конечным числом или бесконечностью.
Отображая изоморфно и изометрично М, па все М придем к самосопряженному расширению В оператора А. Итак, каждый симметрический, но не самосопряженный оператор А допускает или максимальное, илн самосопряжепное, или и то и другое расширения. Существует континуум различных максимзльных или самосопряженных расширений оператора А. Пример расширения симметрического оператора будет приведен ниже. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. щт атб $ 8. Спектральное рааложение неограниченного самосопряженного оператора. функции самосопряженного оператора Этот ряд составлен нз попарно ортогональных слагаемых, и для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы схо- дился ряд ! У(чь)/Т~~Е (Ь ) х //в= ~~З„/У(ч )(о(Е(ЬА) х, х). (2) Последний ряд представляет собой интегральную сумму для интеграла Стильтьеса / !у(Л))од(Егх, х) (3) и сходится при любом разбиении интервала ( — со, со) тогда н только тогда, когда сходится этот интеграл.
Обозначим Интегральное представление, полученное выше для ограниченных самосопряженных операторов, обобщается и на неограниченные самосопряженные операторы. Мы проведем это обобщение методом сведения неограниченного оператора к последовательности ограниченных операторов, предложенным ф. Риссом н Э. Лорхом. Интегралы Стнльтьеса. Пусть Е,, — ОО < Л < + Сов некоторое разложенле единицы, т. е. семейство проекционных операторов, зависящих от вещественного параметра Л и обладающих следующими свойствами: 1) ЕА <ЕР при Л < р, 2) ЕА-о=Ею 3)Е =О, Е =Е. Пусть, далее, у (Л) — ограниченная или неограниченная комплекснозпачная функция, определенная на интервале ( — со, со) и равномерно непрерывная на этом интервале.
Разобъем ( — со, ОО) на частичные полуинтервалы ЛА = = [Л», ре) и рассмотрим ряд у (чд) Е (Ь ) х, ), < чл < рю (1) а з! РАзложение неОГРАниченнОГО ОпеРАТОРА 371 через А)(7) множество тех элементов хЕН, для которых ряд (2) или, что все равно, интеграл (3) сходится. Пусть а — произвольное положительное число. Рассмотрим полуинтервал Л, = [ — а, а).
На этом полуинтервале функция [1" (А)[ ограничена и потому а [у(й)[з Д (Е) х, х) ( ОО -а для любого хЕ Н. Но а СО ~ [У(Х)[тг[(ЕАх, х)= ~ [Д().)[зг[(ЕАЕ(Л,)х, Е(Л„)х). Таким образом, элементы вида Е (Лч)х, где а и х произвольны, принадлежат В (7). Так как Е(Л) х-»х при а-»со, то множество [Е(Л)х[, а тем более 0(7), всюду плотно в Н. Легко видеть, что О Д) — линейное многообразие. Возьмем х ~ А) (г) и рассмотрим суммы (1), соответствующие двум разбиениям прямой ( — ОО, со) на полуинтер- Ф валы ЛА и ЛА соответственно, причем глах(р„' — ЛА) (б и гпах([А — ХА) ~(б. Тогда, пользуясь свойством аддитивности и ортогональностн Е (Л), легко подсчитать, что ~(гвт [(Е х, х) — (Е х, х)) =из(х, х), (4) р [У(7) — Х(р)[ ~А-Р> же Пусть дана последовательность измельчающихся разбиений интервала ( — Оо.
ОО) такая, что ь„= пзах ~р~"> — А,но[-» О, ! А А и пусть (а„) — последовательность сумм ряда (1), соответствующих этим разбиениям, В силу (4) последовательность [э„) 672 спРктРАльнАЯ теОРиЯ ОпеРАтОРОВ 1гл. Р11 удовлетворяет условию Коши йа — а„~!г ~(гег(х, х) — РО при и — Роо, р> О, и, следовательно. сходится к некоторому пределу а г. Н. Этот предел мы обозначим ) 7" (Л)г)Еьх и назовем инлгеаралом Стильтьеса от функции 7(Л) по семейству ЕА.
Интеграл Стнльтьеса У (Л) гУЕАх является, очевидно, некоторым линейным оператором О, определенным на линейном многообразии Р(Я) = Р (7), с 8= )ь У(Л) ь(Елх. (6) Из формулы (5) следует также, что (Ях, у) = / 7 (Л) г((Елх у) ьь (7) (Ех, х) = ~ У (Л) г) (Еьх. х), СО и если 7' (Л) — вещественная функция, то (Ях, х) также вещественно, и потому интеграл Стильтьеса от вещественной функции определяет симметрический оператор. для любых хЕ 0(Я) и любых уЕН.
Легко видеть, что приведенное выше определение интеграла Стильтьеса распространяется на функции 7" (Л), кусочно равномерно непрерывные, т. е. непрерывные всюду, за исключением конечного числа точек разрыва с конечным скачком, и равномерно непрерывные в интервалах непрерывности. Из формулы (7) получаем $8! РАзлОжение неОГРАниченнОГО ОпеРАГОРА 373 Покажем, что 8 даже самосопряженный оператор. Так как О(8)~0(8') в силу симметричности 8, то требуется доказать обратное включение. Пусть х — произвольный элемент Н и Лл = ! — и, и).
Тогда хл = Е (Лл) х Е О (5). Обозначим через г.„подпространство, на которое проекти- рует Е(ЛР). Очевидно, 8 и Е(ЛР) перестановочны. Тогда Ях„= $Е (Лл) х = Е (Лл) Ех Е У.л. Пусть теперь у — произвольный элемент нз 0(5*). Поскольку у „= Е (Л „) у ~ О (5) и О (5) ~ О (5*), то у„Е О (8') и Я*у„= =Яу„~г'.„. Пусть ел= у — ул. Тогла е„ЕО(8') и ел ! г'.„. Волн хл — произвольный элемент из г.„, то Ф*ел хл)=(ел Ехл)=() так как Ях„~Е„. Следовательно, Я*а„) (.„. Поэтому !!Е*у У = !! Еу.!Р+ !! Ее. !Р > !!Еу. !!' = !! Еу. !Р Но л !!5у„!!г= ~У(Х)!' Х(Елу, у).
-л Мы получаем, таким образом, что л ~!7()))гб(Елу у) ~(!!Е у!!г -л для любого и, откуда следует, что ~ (У ())!' '(Е у. у) ( = , т. е. у~О(8). Включение 0(5*)~0(8) доказано, а вместе с тем доказана и самосопряженность оператора Е. )две леммы. Лемма П Пусть Н,, Н,, ..., Нл.... последовательность попарно ортогональных надпространств гильбертова пространства, ортогональная 374 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. ЧП сумма которых совпадает с Н. Обозначим через хл проекцию элемента х на надпространство Нл.
Пусть, далее, АР А,, ..., Ал,... — последовательность ограниченных самосопряженных операторов, определенных соответственно на НР Нг, ..., Н„, ... и отображающих эти подпространства в себя. Тогда в Н существует единственный самосопряженный оператор А, совпадающий с Ал на каждом Нл. Область определения 0(А) этого оператора состоилг из тех и только тех хРН, для которых ряд Х!! Алх. 1Р (8) сходится. Для хб0(А) СО Ах= ~.", А,хл. (9) л=! Обозначим через 0 (А) множество тех х Е Н, для которых ряд (8) сходится. 0 (А) — линейное многообразие. Пусть х, у~0(А). Тогда при любых комплексных а и Р ~ч'.~ '8 Ал (ах+1)У)л ~Р = ~ й аАлхл+ РАлУл 11г ~( ~( ~г ЦАл(ахл)а+!)Ал(рул) 11)г ~( <С Х (!1Алхл!Г+!! Алул Т ( где С зависит лишь от а и 8. Линейное многообразие 0(А) всюду плотно в Н, так как в 0(А) входят все элементы вида „ьг хь, хе ~Н„, й= 1, А=1 2, ..., и.
Определим на 0(А) с помошью формулы (9) оператор А. Ряд, стоящий в правой чзсти этого равенства, сходится, так как в силу попарной ортогональности элементов А„хь имеем А,хь = Х )(Аьхь(!г-ь 0 э в! РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРЛНИ!1ЕННОГО ОПГРЛТОРА 375 при а — ь со, р ) О. Оператор А, определенный формулой (9), очевидно, линейный. Далее, для х, у ~ 0(А) имеем (Ах, у)= ~'., Алхл, ~ ув1 = ~ (Алхл, ул)= ',л=! А=! / л=1 и, следовательно, оператор А — симметрический. Поэтому существует сопряженный оператор А' и А*=!А. Установим обратное включение. Пусть у ~ 0 (А*). тогда для любого хЕ0(А) (х, А'у) = (Ах, у) = члл (Авхл, ув) = ~ (хв, А„у ).
А=! 1=1 Выберем в качестве х произвольный элемент г„ ~ Нл. Тогда (ал, А у) = (гл, Алуа), Р (А'у) = Р (Алул) = Алуа. т. е. Поэтому Х 11АлУл(Р ~2;', )(Ргг (А'У)()а=)!А*У!)а(со В ~", хв = ~~.", Вх,= ~~.", А ха=А ~ х л т. е. на конечных суммах вида ~'., хл оба оператора совпал=! !! дают.
Если теперь х Е 0 (А), то ~'„ хв -эх в=! 7л'!л В ~ ~ х ) = ~ Алхл -л у = Ах, В=! Л=1 откуда и следует, что у Е 0(А) и А*у= Ау. Докажем, наконец, что существует лишь один оператор А с указанными свойствами. Если  — другой такой оператор, то прежде всего 376 спектРАльнАя теОРия ОпГРАтОРОВ сгл. чсс и поскольку В, как саиосопряженный оператор, замкнут, то х Е О (В) н Вх = у = Ах. И гак, Вл А. С другой стороны. переходя в этом включении к сопряженным операторам.
получаем Ас=В. Следовательно, А =-В, и лемма доказана. Л ем м а 2. Для любого самосопряженного оператора А существуют деа ограниченных самосопрлженных оператора В и С такнх, что 1) й(В)с=0(Л), В(С)с=()(А); 2) 0 (В (Е, ()С(/(1; из Вх=О следует х= О; 3) С=АВ; 4) С и В перестаноаочиы и сокоммутируют с А. Возьмем операторы йс=(А — сЕ) и )с с=(Л+(Е) Это — ограниченные операторы, отображающие взаимно одновначно 1Т' на О (А). Отметим также, что йс = )с-с, с2-с = Вс. Положим В= 2, (ЙС вЂ” ге-С) С= О (гс,+гс С). (10) 1 1 Ограниченность и самосопряженность операторов В н С, а также выполнения для В и С первого свойства очевидны. Из (10) получаем (1! ) Й,=С+(В, й,=с — (В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
