1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Следовательно, Й также будет гильбертовым пространством. Если в пространстве Н задан линейный оператор А, то множество 9г(А)~Й элементов вида ) х, Ах), х ~ О (А), назовем графиком оператора А. Легко видеть, что 9г(А) — линейное многообразие, одновначно определяемое оператором А. Наоборот, если для двух операторов А и В имеем 9г(А) =9г(В), то А =В.
Наконец, нетрудно проверить, что для того, чтобы оператор А был замкнут, необходимо и достаточно, чтобы 9г(А) было замкнутым подпространством пространства Й. Рассмотрим в Й оператор О, определяемый равенством й)х, у) = )у, — х). Ясно, что (гг= — Е и О*= — 0 откуда т. е. 0 — унитарный оператор.
Ле и и а. Если А — произвольный линейний оператор, определенный на всюду плотном линейном многообразии О(А), то 9г(А*) есть ортогональное дополнение к линейному многообразию 0(9г(А)). % а1 неогвдничвнныв линейные опвплтогы 357 Пусть г= )х', у') ~Й вЂ” 0(9г(А)). Это значит, что ()х', у'), )Ах, — х))=0 для любого х ~ О (А). Отсюда (х', Ах) =(у', х), и, следовательно. х'~ Е)(А*) ну'=А*х', т. е.
)х', у') ~ Фг(А*). Повторяя рассуждения в обратном порядке, получаем, что из ) х', у') ~ Фг (А') вытекает ортогональность этого элемента к любому элементу из О(Фг(А)), и лемма доказана. Теорема 4. Если А — замкнутый оператор, определенный иа всюду плотном в Н мнозкестве В(А), то О (А') также всюду плотно и однозначно ол ределен (А')'=А'". При втом А =А. Так как А замкнут, то Фг(А) — замкнутое линейное многообразие н, значит, О(9г(А)) тоже замкнуто. Поэтому Й = 0(9г(А))+Фг(А').
(5) Применяя к обеим частям равенства унитарный оператор 0 и замечая, во-первых, что От(Фг(А))= — ЕФг(А) = =Фг(А), и, во-вторых, что унитарный оператор ортогональные элементы переводит в ортогональные, будем иметь О (Й) = Й = 9г(А) + 0 (Фг (А') ). (6) Покажем прежде всего, что О(А*) всюду плотно.
Если это не так, существует уз~ Н, отличный от нулевого и ортогональный В(А*). Элемент уа= )О, уе) ~Й будет тогда ортогонален О(9г(А')), так как для любого )у, А'у) ~9г(А') имеем ()0, у,), О)у, Ау))=(0, А*у) — (у,, у)=0. Следовательно. )О, уа) ЕФг(А), откуда уз= АО=О. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Так как О(А") всюду плотно, то однозначно определен А*'. Чтобы доказать равенство А = А, достаточно воспользоваться соотношением (6) и леммой.
Те о рема 5. Оператор А суиЬествуель тогда и только тогда, когда определенный на всюду плотном 358 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Гл, ш! множестве оператор А допускает замыкание. В етом случае Л*'= А. Если А допускает замыкание А, то по теореме 4 (А)*' существует и (А)"=А. Но (А)*=А', следовательно, (А)"'= А", откуда А = А, и первая часть теоремы доказана, Пусть А'* существует.
Применяя (5) к А", мы получим Й = О(9г (А') ) + 9г (А**). (7) С другой стороны, прниеняя оператор У к обеим частям равенства Й = 0 (9г (А) ) + 9г (А*), будем иметь Й = (7 (9г (А*) ) + 9г (Л), (8) Из сравнения формул (7) и (8) следует, что 9г (А) ~ 9г (А*'), т. е. А допускает замкнутое расширение А*'. Инвариантные подпространства, приводимость.
Для неограниченных операторов также можно ввести понятие инвариантного надпространства. Подпространство 7. называется инва риан тным подпростраиством оператора А, если !) из х Е 0 (А) следует Рх ~ 0 (А) (Р = Рс)' 2) из хЕ0(А)П7. следует Ах~у. (т. е. РАРх=АРх для всех х Е 0 (А) ). Из 1) и 0 (А) = Н следует, что 0 (А) П 7. всюду плотно в 7.. Покажем, что и для неограниченных симметрических операторов из инвариантности 7. вытекает инвариантность М=Н вЂ” с.. В самом деле, пусть х~ 0(А) и х=х,+ха, где х, ~ 7., х, ~ М. Так как 7.
— инвариантное надпространство, х, ~ 0 (А) и так как 0 (А) — линейное многообразие, то ха= х — х, Е0(А). Далее, если х ~ 0(А) П М и у — любой элемент из 0 (А) П 7., то (Ах, у)=(х, Ау) =О, так как Ауе с. и х ! 7.. Таким образом. элемент Ах ортогонален 0 (А) П 7., а так как это многообразие всюду плотно в 7., то Ах ! с',; отсюда Ах~ М.
Если 7. — инвариантное надпространство оператора А, то говорят также, что б приводит А. слмосопРяженные ОпеРАтОРы а 71 359 Теорема 6. Надпространство Л приводит симметрический оператор А тогда и только тогда, когда оператор Р проектирования на вто надпространство первстановочен с А. Пусть Ь вЂ” инвариантное надпространство. Тогда если хЕГ)(А), то РхЕГ)(А) и РхЕ()(А)ПЕ. По условию 2) инвариантности Е имеем РАРх = АРх. (9) Так как А — симметрический оператор, но гт — Š— также инвариантное подпространство А. Поэтому, как и выше, (Š— Р) А (Š— Р) х = А (Š— Р) х, нли, раскрывая скобки и упрощая, РАРх = РАх.
(10) Из (9) и (1О) следует, что РАх=АРх, и перестановочность А с ограниченным оператором Р доказана. Пусть, обратно, А и Р перестановочны. Тогда прежде всего из хай(А) слелует РхЕВ(А). Далее, для х Е В (А) П Е будем иметь Ах = АРх = РАх, т. е. Ах ~ >., и инвариантность (. доказана. ф 1. Самосоприжениые операторы и теория расширений симметрических операторов Линейный (пе обязательно ограниченный) оператор А называется самосопряжвнным, если А = А*. Из этого определения следует, что всякий самосопряженный оператор является симметрическим. Обратное утверждение, как мы увидим ниже, неверно, Ряд основных утвержленнй о спектре ограниченных само- сопряженных операторов переносится на случай неограниченных самосопряженных операторов. Так, все собственные значения самосопряженного оператора вещественны н собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны; точка Х является регулярным значением оператора тогда н только тогда, когла существует число СПЕКТРАЛЬПАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ.
Ч11 с такое, что )! (А — ХЕ) х (! )~с (! х )( (1) для любого х Е () (А). Покажем, например, как устанавливается последнее утверждение. Если Х вЂ” регулярная точка, то существует ограниченный обратный оператор )сь=(А — ).Е) . Поэтому ))х()=([ЙА(А — )Е) х)(~(()ЙА!) ()(А — )Е) х(), 1 и мы получим (1), где с= .
Пусть (1) выполняется. [[ггл 1[ Снова рассмотрим линейное многообразие Ь, состоящее из элементов вида у = (А — ).Е) х, где х пробегает й (А). Соответствие между 0(А) и Е в силу (1) взаимно одиозна гно. А всюду плотно в Н. Если это не так, то существует в гт' элемент хэ чь О такой, что (хэ, у) = О лля любого у Е Ь, или (2) (хэ, Ах — ).х) =О для любого х~ с)(А). Из (2) получаем (Ах, хэ)=(х, )[хэ).
Но это означает, что хе~О(А*)=0(А) и А*хо = Ахо = )"хэ. Теми же рассуждениями, что и в случае ограниченных операторов, убеждаемся, что это невозможно. Наконец, Е замкнуто. Пусть [у,) ~С, у„-+ у . Если у„=А[х„, то согласно (1) [[х„— хл,[1 е — [[ӄ— У,„[(, 1 откупа [['хл — х,['-ь О. В силу замкнутости оператора А (самосопряженный оператор всегда замкнут) хо=[[шхлЕО(А) уз=Алма л и замкнутость Е доказана *). Завершается доказательство регулярности Х точно так же, как в случае ограниченного оператора. *) Ср.
стр. 362. Зб! % 71 слмосопияженные опггьтогы Следствие !. Точка Л принадлежит спектру самосопряженного оператора тогда и только тогда, когда в О(А) существует последовательность [х„) такая, что Зх„~(= 1, 'ГАх„— Лх„~! — ь О при и — ьсо. Следствие 2. Множество регулярных точек само- сопряженного оператора есть открытое множество. а следовательно, спектр — замкнутое множество. С л едс та не 3. Всякое невещественное Л есть регулярное значение самосопряженного оператора и, следовательно, спектр такого оператора расположен Мелика.ч на вещественной оси. Теория расширений симметрических операторов.
Пусть дан симметрический оператор А с областью определения О(А), которую мы, как всегда, будем предполагать всюду плотной в Н. Если А не замкнут, то мы предварительно его замкнем. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что А — замкнутый оператор. Мы сейчас опишем в общих чертах некоторый процесс, позволяющий строить симметрические расширения оператора А и, в частности, расширить симметрический оператор до самосопряженного. Пусть  — симметрическое расширение оператора А. Тогда из АсВ слелует В"сА*, и так как ВсВ*, то ВсА*.
Итак, всякое симметрическое расширение оператора А есть часть сопряженного оператора А*: О(В)сВ(А'), Ву=А*у для у~О(В). (3) Так как  — симметрический оператор, то (Ву, у) вещественно для любого у ЕВ(В). Но (Ву, у) =(А*у, у). и потом," .0(В)сГ, где через Г обозначено множество ь) тех элементов у из О(А), для которых квадратичная формз (А'у, у) принимает вещественные значения. Обратно, если Š— линейное многообразие, удовлетворяющее условию 0(А)сЬсГ, ') Эаметим, что множество р ие образует линейного многообразия. 362 спГктгллюгля тсогия Опсглтогов [!'Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
