1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Поэтому (А — 1Е) (С+ (В) =(А — 1Е) Рс = Е. (А+ 1Е) (С вЂ” св) = (А + 1Е) сс = Е, или, раскрывая скобки, (АС+ В)+1(А — С) =Е, (АС+ В) — 1(А — С) = Е, откуда, складывая и вычитая, будем иметь АС+В=Е, АВ=С, (12) и третье свойство также доказано. Так как ссс н В с комм)тируют с А, между собой и с любым ограниченным оператором, перестановочным с Л *).
то свойство 4) операторов В и С, очевидно, имеет место. ч) Если АВ= ВА, то Лсв - ЛсВ (А — (Е) Лс - )7с (А — (Е) ВРс - В)7с. % а1 РАзложгнне неОГРлннченнОГО ОпеРАтОРА 377 установим, наконец, свойство 2) операторов В и С. Для хай(А) простым подсчетом получаем ~~(А — 1Е) х 11') )(х ()'. Положим (А — тЕ) х=у. Тогда х= В,у и !~В у1~ <Ь1! для любого у с и. следовательно, 11Й, (( < 1. Аналогично ((й;)(~(1. Отсюда ~~В~! < 1, ~~~С~~<< 1. (13) Далее, умножая обе части первого из равенств (12) на В справа, будем иметь В = Вт+ АСВ = Ва + САВ = Ва+ Са > О. (14) Из (13) и (14) следует, что О <(Вх. х) <(х, х), т.
е. О <В <Е. Наконец, пусть Вх= О. Тогда также Сх = АВх =О. Отсюда х = Ех = (В+ АС) х = О, и лемма полностью доказана. Интегральное представление оператора. Пусть А — неограниченный самосопряженный оператор и Ь'А — спектральная функция ограниченного оператора В, построенного в лемме 2. Так как О <(Вх, х) <(х, х), то спектр этого оператора расположен на отрезке [О, Ц.
Так как, далее, из Вх = О следует х = О, то А = О не является собственным значением оператора В и потому й"А в точке 1 = О непрерывна, а следовательно, о+о = о о = О. Пусть ̈́— подпространства, на которые проектируют 1 11 операторы о (О„), гле Ь„ = ~ + †) для и . 2 и Ь, = ~1 12' =1 —, 1+в) (е — любое положительное число). Простран- с~ й (ли)= 11ю Й1+л И' 1 ')=Š— О=Е, л=1 и.+и» '! то ортогональная сумма Нл дает все пространство Н.
Введем функцию ! »1 14()) = О 1 . 1 при — ( Х ( —, л+1 и' вне ~ —,— ) и оператор 1 л Нее р„(в)=/ Я„().) Т8, о 1 Л -1- 1 Очевидно, имеем 1 ли1 Поэтому для любого х ~ Нл имеем х=8 (б )х=В»Рл(В)х=Вг~,0(А), и далее Ах = АВ%„(В) х = Сгрл (В) х = ср„(В) Сх = й (А„) гр, (В) Сх. Иа последнего равенства видно, что оператор А на Ни является ограниченным самосопряженным оператором Ал, преобразующим подпространство Нл в себя. Пусть ЕА— 1и) спектральная фуннция оператора А„ ал Ал= ) лоЕл . ал По лемме 1 существует самосопряженный оператор Ею — ОО ()» (+ со, совпадающий с Е!1л! на каждом Нл.
Пусть 378 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. НП ства Н„ попарно ортогональны, и так как 2 8) РАЗЛОжение неОГРАниченнОГО ОпеРАтОРА 379 хл — проекция элемента х на подпространство Нл. Так как ~ч;', (!Е~АРх() ( ~~ )!х„()2 (~!х~~2, (16) то ряд ~ 11ЕлА" х11 сходится для любого х~Н, оператор ОО1 Есх = ~~'., Е!Аюх (16) ОО1 определен всюду и, следовательно, является ограниченным самосопряженным оператором. В силу ортогональности подпространств Н„ имеем для этого оператора (Ерх, у) = ~.", (ЕА1"Рх„, ул), л 1 ~!Ер,Х!)2=,~~ ~(Е!рл!Х)(~= „5', (Е~А"рХО, Хл). Из формулы (16) следует, что для Х ( 11 Е!Е„х =- Ер.
[,~~~ Е~,"рхп) = ~~", Ер Е„'ОРхл = ,ПО! ЛО! СО СО СО СО ~', Е11 'Е1ЮХ = ~ ЕрлРЕГОРХ = ~ ЕА"рХ=ЕАХс тп! ОО1 ОО1 ОО! и аналогично Е„Ер,х = Ер,х. Отсюда вытекает, в частности. что ЕА=ЕА, т. е. ЕА— 2 проекционный оператор. Далее, для т (), имеем )~ЕАх — Е„х ))2 = ~ (~ )ЕРр",Рх„— Е1„"Рх„~!' = АР \ = Х ~! Е!А Хл — Е~~"~Х„)! + С'.~ !)ЕАЮХΠ— Ел~!ХО!1 ОО1 ООАр+! Так Как для любого л 1~ Е!А 'хл — Е(юх„)~ .( 2 ~~ х„~~, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ' [ГЛ. 7)Г ТО ))Еьх — Е,х))а ( ~ )) Е))юх„— Е',")х„~~ + 2 ~ ))х„))а. л=! л=л)+) Пусть задано е > О.
Выбираем сперва М настолько большим, чтобы 2 ~~ ))х„)Р( 2 . л=мь) Затем в силу непрерывности ЕА слева мы можем выбрать т (л) настолько близко к А, что Тогда будем иметь для таких т ')) Елх — Ечх ))з ( еа, т. е. Е„х-эЕАх, при т — эА, т(Л, и непрерывность слева функции ЕА доказана. Аналогично убеждаемся, что Еьх — 0 при Е),х -ъ х при Следовательно, ЕА есть разложение единицы. С помощью полученного разложения единицы ЕА построим интеграл Стильтьеса определяющий, как сказано выше, некоторый самосопряжениый оператор. Пусть х ~Н„, тогда Еьх=ЕАлх, а следовательно, ~п) О ь„ ~ Аа)У(Е х, х) = ~Азу(Е~'х, х) (ОО.
л за~ ялзложвиие неогвлниченного опевятоял 381 !1оэтому существует Ах и Ах = ~ Л ~(Еьх = ~ Л г(Е;;"'х = А,х. Следовательно, на каждом 1т'„оператор А совпадает с А„. С другой стороны, на каждом Н„оператор А также со. впадает с А„, и так как сущестяует лишь один такой оператор, то А = А. Тзким образом, Ах = Ах = ~ Л дЕьх. Мы получили интегральное предстзвление неограниченного самосопряженного оператора. Область определения с)(А) оператора А состоит из тек и только тех элементов х ~ 1т', для которых ~ Л'г((Елх, х) ( со. СО Можно также показать, что разложение единицы определяется оператором А однозначно. Функции от оператора.
Выше мы строили функции от ограниченного самосопряженного оператора. Аналогичным образом можно строить функции и от неограниченного самосопряженного оператора, только здесь несколько усложняются свойства аддитивности и мультипликативности соответствия между функциями вещественного переменного и функциями от оператора. Итак, пусть А — неограниченный самосопряженный оператор с областью определения О (А) и Еь — разложение единицы, порождаемое этим оператором.
Для произвольной кусочно равномерно непрерывной на ( †, + оо) функцчи у'(Л) строим оператор Вх= ~ /(Л)аЕьх 382 СПЕГРРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. щт с областью определения Е) (В), состоящей из тех х ~ Н, для которых 00 ~ [У' (Л) [ т й (Ел х, х) ( + ОО, СО Как мы видели выше, 7)(В) всюду плотно в Н, и если 7(Л) вещественно, то  — самосопряженный оператор.
Оператор В назовем функцией оператора А и обозначим /(А): СО 7(А) = ~ 7" (Л)йЕлх. Можно строить функции оператора более общего вида [25[. Именно, спектральная функция Е ( — со < Л < со) оператора А порождает функцию интервалов Е(А), которую процессом, аналогичным процессу, применяемому в теории функций вещественного переменного, можно продолжить до операторной меры Е(М) линейных точечных множеств М. Эта мера Е(М) определена на некотором классе множеств, называемых А-измеримыми, включающем в себя все борелевские множества.
После определения класса измеримых множеств обычным образом определяются А-измеримые функции, и строится операторный интеграл Лебега — Стильтьеса У(А) = Г У (Л) йЕА СО сперва для ограниченных, а затем для неограниченных функций. Область определения оператора У (А), являющегося функцией оператора А в только что указанном смысле, снова состоит из тех и только тех х, для которых 00 ~ [ / (Л) [а й (Е. х, х) < сс. СО Последний интеграл также понимается в смысле Лебега — Стильтьеса [25[. Мы, однако, таких общих функций от оператора рассматривать не будем. Пусть даи оператор у(А), где у(Л) кусочно равномерно непрерывная на ( — со, со) функция.
Область определения оператора 7"(А) будем обозначать,0 [7(А)[. )[ля произвольного и и любого х ~ Н, как мы видели на стр. 371. Е (Л„) х С И У (А)! . 3 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 3$3 Но тогда ясно. что также Е(Ь) х ~ О ) Г'(А)) при любом сл= [а, Р), ЕСЛИ а И р КОНЕЧНЫ, И ЛЮбОМ ХЕН. Пусть х ~ О ) г' (А)) . Из неравенства / ) ~ () ) ) з ГГ (ЕлЕ (Л) х, Е (Ь) х) = ~ ) ~ (Л) ) з а~ (Елх, х) ~( О Ь ( )')У(Л))з ((Елх, х), СО имеющего место при любом конечном или бесконечном лл = (а, р), заключаем, что Е (Л) х ~ й ) Г" (А)]. Поскольку интеграл Стильтьеса есть предел интегральных сумм, то У (А) Е (Л) х = / У (Х) сУ (Ел (Е (Ц) х) ) = СО СО = Е(Ь) ~ ~(Л) йЕлх=Е(Л)у'(А).
Таким образом, мы получаем, что Е(сл) при любом Л коммутирует с у(А). Пусть А+Π— любое вещественное или комплексное число. Так как интеграл СО ~ )Гз)') г().))'г((Елх. х) сходится для тех и только тех х, для которых ~ ) У (Х) ) а Г( (Е ах, х) сходится, то область определения оператора У(А) совпадает с областью определения оператора (Фу)(А) и (Гг Г) (А) х = сг,Г (А) х. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. Рн Пусть Л(Л) и уг(Л) — две кусочно равномерно непрерывные на ( — ОО, ОО) функнии.
Если х ~ 0 (Л(А)) й0(гг(А)), то | (~ЬВ-ЬЬРНЧР". 1) < СО 1 1 СО 1г Г 11Т <[1 1У Рг Е1е, 1) .1.[) (1 Рг ~1е и, следовательно, х ~ 0 ((71+)'г) (А)). Таким образом, 71 (А) + уг (А) 1= Ц1+ уз) (А). (! 7) Выясним, когда в формуле (17) имеет место знак равенства. Так как (Л (Л)+ Л(Л)1 — Л(Л) = 7'1 (Л) то 0 ((71+7)(А)) й 0 (уг(А)) <=0 (71(А)). Отсюда и из (17) 0 ((71 + уг) (А)! й 0 (уг (А)) с 0 (71 (А)) й 0 (Уг (А)) 1= <=0 ((,Г'1+,Гг) (А)) Из этих включений следует 0 ((Л+ уг) (А)) й 0 (уг (А)) = 0 (~1 (А) ) й 0 (~г (А)) .
Аналогично находим 0 Н71 + Уг) (А)! й 0 (71 (А)1 = 0 У1 (А)) й 0 Уг (А) !. Следовательно, равенство в формуле (17) имеет место, если имеет место хотя бы одно из двух включений: 0 ((71+ уг) (А)) 1=0 (71 (А)) или 0 ((71+Уз)(А)! =0 (7'г(А)!. Так будет, например, если один из операторов, 71(А) или )'г(А), ограниченный. Ф Щ РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 335 Но (Елка(А) х, Уа(А) х) =ЦЕАУТ(А) х Ц~= = ~ ~ У ()л)~ел((Е„х, х).
Поэтому ГГ(Ел|а(А) х, Уа(А) х) = ~Уа().)~~ лг(Елх. х), н (!8) принимает вид ~ ! у, (Л) Га (),) / т Н (Елх, х) < ОО. Отсюда следует, что х~0 [(ЛЯ(А)). Итак, 0 (~л (А) ~а (А)) г" 0 ((~л~а) (А)) = 0 Язв) (А) ) . (19) т. е Ул(А)/а(А)Г=(ГГЯ(А). (20) Выясним. когда з формуле (20) имеет место знак равенства, Пусть х0((глг',)(А)) и х0 (уа(А)). Тогда / ~ Л (Х) ~ т ГГ (ЕАУ'а (А) х, ~а (А) х) = = ) 1у' 0.) Л () и' а (Ел~, ) < 05 Это означает, что Г а (Л) х ~ 0 (У', (А)!, и, следовательно, х Е0 У,(А) Уа(А)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
