1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если предельный переход в формуле (10) равномерен в окрестности каждой рассматриваемой точки с. то х("'(1) называется п-й равномерной разнос>иной производной. ро п-я последовательная производная хш> (г)е определяется п-кратным последовательным дифференцированием 410 АнАлиз В линейных пРОстРАнстВАх 1гл. Рн! функции х(Г): х (г)в= —,", х(!), хе(г)в= — „", х (г)а х<"' (г)е = — „х<"-и(г)в.
Тео рема 1. Если в окрестности точки ь' существует непрерывная и-я последовательная производная х<т(Г)в, то в втой окрестности существует и п-я равномерная разностная производнан х<ю(Г), причем х<"> (!) = х<ю (г)е. Обратно, если в окрестности точки г существует равномерно непрерывная равномерная разностная производная х<">(г), то в во!ой окрестности существуе<п и равна ей последовательная производная х<"!(!)а.
эти предложения справедливы и для числовых функций*). Переход к абстрактным функциям совершается с помошью часто применяемого в функциональном анализе метода. Проведем этот переход для первого предложения. Для любого линейного функционала у С Е" <р (г) = у [х (г)[ есть числовая функция, причем в силу (8) у [х' (г) [ = [у' [х (!) [[' = <р' (г), у [ е (г)!![ = у [.
' (г) []' = " (г) г'[х< > (г),[ = р< > (!) )[алее ,У ~ — „бь,х (Г)~ = = — „'„„~Р ( — 1)"-'с„'р (г+ (й — ",, ) лг) ь о = — „'. б"., (Г)= Ро(Г+бйв)=~Уо(1+8~М1') "1 См. Дополнение ЬЧ. аи ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 411 где — 2 <О < —. так как хей(1), по предположению пел и прерывна в окрестности точки Г, то ~~ ~х< >(Г+ О ОГ)а х~ ~(У < еы. где ед,-ьО при М-+О равномерно в окрестности точки Е Отсюда )У'[ д „Ьд~х(Г)1 —.г ггхез(Г)а]~ <ед, ((Д.
(11) Неравенство (11) справедливо для любого у ~Е*; поэтому ! дг ч бдгх(Г) — хоз(0)а() <ед~ и, следовательно, хоз(Т)а= 1цп — „Одах(Г), ы.ьа (АГ)д причем стремление к пределу — равномерное в окрестности каждой рассматриваемой точки Е что и требовалось доказать. Частные производные. Введем понятие частных производных абстрактной функции. Рассмотрим функцию от и числовых переменных со значениями, расположенными в линейном нормированном пространстве Е: х=х(СР 8я.....
С„)ЕЕ. Можно рассматривать ГР Гя, ..., Г„как компоненты и-мерл ного вектора Г = ~~'.~ Ггао где е, — орты, т. е. и-мерные 1=1 единичные попарно ортогональные векторы. Определим п-ю смешанную разностную производную д" дГ, дГа ° ° ° дГа рассматриваемой функции в точке Г = ~а Ггао с=а Образуем л-ю смешанную разность д ~,,,'„ г„; ых (га) = Х ( — 1) «[Га+Ы(е~ +а~,+ ... +ес„)11 412 АнАлиз В лнне1чных НРостРАнствах 1гл. РН1 здесь («Р «з, ..., «»), 0 («1(«з( ... («» (а — некоторое подмножество из 1.
2, ..., а и сумма берется по всем таким подмножествам. Центрированнан н-л смешаннал раэноств в точке «о б1Р 1,, ..., 1„1 ых («о) есть л-я смешанная разность, взятая в точке л 1 то — — «,1 — — «»«7 еа 2 Именно, л л Ьгг гл ..., 1„; ых(«о) =йгг 1,,...,1„; ых~«о — 2 й«,ДНег 1=1 Тогда н-й смешанной раэностной лроиэводной д«1 д«» ... д«л фУнкции х(«) в точке го=(«1, «о...., «,) называетсЯ ПРедел при «а«-ь0 отношения 1 01„1„..., 1„; ых («о)* если этот предел существует. Нарялу с этим можно определить л-ю смешанную последовательную производную — результат последовательного дифференцирования функции х(«н «а, ..., «л) по «», по ,, ... И, НаКОНЕЦ. ПО «», ГДЕ й1, ЙЗ...., йл — ПРОИЗ- вольная перестановка индексов !.
2, .... а в предположении, что последовательно полученные производные д д ( д д«» ' '' ' ' '' " ' д«» 1 д«» — Х («1 «О «л) — Х («1 «О . " «л)) ° л Л-1 Л д ( ~''' Х(«1' «а' ' ' «л) '''1) л существуют в окрестности точки «о. диФФГРн!циРОВА!!ив и ннтв!Ри!'Озлн!!е 413 Теорема 2. Если в окрестности точки 7о= г о о о = 1»» бь °... 1») существует какая-либо смешанная последовател»ния п-я производная б)ункции х1!), непрерывная в Уо, то в во!ой точке существует и п-я слгешанная разнос!пная производная, причем обе производные совпадают.
Пусть у — прх!звольиый линейный функционал из Б'. Тогда гг !'!' те' ' ' ' ~л) у!х!'!' 1»' ' ' ' ' ~л)! ес.!ь числовая функция от Рн гз, ..., сл; поэтому ») ! и 1а!)» й!н г,, ..., г: лг!РФ ° ° ° 1л) = ! л О < О! ( 1, 1 = 1, 2, ..., и, лля произвольной перестановки й!, йе ..., Ал индексов 1, 2, ..., п. Следовательно, ! л йг, ю, ..., !; д! к (!! ° ° ° »л) ')— == 1!!)л гйгн г,..., г„; л! гй А ° ° ° тл) ='= д 1 д о р(!,+О,М, ..., 1»+й»Лг)...)= =о!» ~' 'дт» ! =![ — ... — О,»о,лы ...! ... !1. д ! д о О!» ! д!» так как линейный функционал у можно выносить за знак дифференцирования.
По предположению, рассматриваемая п-я смешанная последовательная производная от х (7) непрерывна в точке го, поэтому ! ' !... — ' О!ч-о»л .... ечьл~! ...!— ! — ', дс» ! ''' д!» — — !4,.... с! ... [[[ <.„. ! л ») См. Дополнение 1!!. 414 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ, УП1 где ед,-+О при Ж-ьО. Следовательно, 1 л — т У~ дс „бог г„..., с„; т х (Се)]— — У вЂ” „' ." — „' (Г,)... -[)[ о (...
— „' (о)Ооой .... о!Оолоо)...)]— — "о, "(о" о))" ) <1)/О„. ) л Это неравенство справедливо прп любом у~Е". Значит, 1 д 1 д л бо, о ., . ) ) до х (Ге) — — ] ° .. — х (Ге) ... ].[] ~( ал (АГ)л г о' " л откуда следует, что 1 л (АГ)л боп оо,..., ол; Аох(оо)-+ дс ~ ° ° ° дс х(со) при Ы-ьО. и л)ы доказали существование предела выражения (АГ)л О)О, ОО, ..., ОЛ; т Х (Га) и его равенство и-й последовательной смешанной производной. С лед ст в и е. Две п-е смешанные последовательные производные, соответствующие различным перестановкамм индексов 1, 2, ..., и, в общих точках непрерывности совпадают. Коротко: п-я смешанная последовательная производная не зависит от порядка дифференцирования.
5 1! днээкиинциэовлнив и интвгэнэовлнив 41$ В самом деле, в этом случае имеет место равенство д г д 1 л а б1,1,..., г; ых[[1 ° 1л)' ы.ьо [дГ)" и м "' л' правая часть которого не зависит от перестановки йн йм ..., Й„. В дальнейшем, говоря об и-й смешанной производной. определенной в некоторой области, мы без оговорок будем предполагать, что она непрерывна в этой области и потому оба определения для нее совпадают, и будем обозначать эту производную символом дл дг~ дтпл ° ° ° дгл ( 1 ' ' л) Интегрирование. Выше в спектральной теории мы рассматривали абстрактные интегралы типа Стнльтьеса. Однако там интегрируемая функция была обычной вещественной или комплексной функцией вещественной переменной, а интегрирующая функция — абстрактной.
Сейчас мы рассмотрим интегрирование, где. наоборот, интегрируемая функция является абстрактной, а интегрирование ведется по вещественной переменной. Как и в спектральной теории, мы ограничимся случаем римановых интегралов от непрерывных функций. Пусть х=х(1), а (Р.(Ь, х~Š— абстрактная функция. Будем рассматривать всевозможные разбиения [ге ~н ' '' ~~1 отрезка [а, Ь] на отрезки [1н 8,+,], где ~О = " ( ~~ ( ~г ( ° ° ° ( ~а = У. Разбиение В= [га, гн ..., г„] называется измельчением разбиения А = [1э, 1н ..., 1„], если каждый из отрезков [га, за+,] есть часть одного из отрезков [1,, 1,+,]. При разбиении В каждый из отрезков [У,, С,+,] разбиения А подвергается в свою очередь разбиению на отрезки [гю г„+г] раз биения В.
Если все отрезки [1н 1,+,] разбиения А имеют длины, не превосходящие положительного числа б. 1,+,— — ~, (Ь, то разбиение А будем называть Ь-разбиейием отрезка [а, Ь] и обозначать Аа. 416 Анализ В линвиных пРОстРАнстВАх 1гл. чн1 Назовем интегральной суммой 8(А, х (С) ) абстрактной функции х(г) по разбиению А= [Ге, Ги ..., Г„] сумму ь-1 8(А, х(г))= ~~.", х((1)(г1+1 — 11) 1 О Рассмотрим функцию х(Г), Г~ [а, Ь], х~Е, где Е— полное пространство, и последовательность Ь„-разбиений [Аь ] ы отрезка [а, Ь] таких, что д„-«0 прн и — «оо, Построим интегральные суммы 8(Аь, х(Г)).
Если при и — «оо эти суммы стремятся к пределу 8= 1!тБ(АА, х(г)), причем предел Я не зависит от выбора системы разбиений Аь, то этот предел называется интегралом Римана от функции х(г) по отрезку [а, Ь] и обозначается ] х(г)бг. Теорема 3. Если х(Г) непрерывна на отрезке [а, Ь], ь то интеграл Римана ~ х(Г)с(Г существует. а Доказательство этой теоремы основывается на следующих двух леммах. Ле м м а 2.
Если разбиение В отрезка [а, Ь] есть измельчение его д-разбиения А=Аь, то ]]Я(А, х(8)) 5(В, х(Г))]] <е1(д)(Ь вЂ” а), (13) где гь(д) = ацр ]] х (т,) — х (тг) ]]. (14) ]п-н]КЬ Если точка г принадлежит отрезку [Гн г1ь1] Ь-разбиения А, то ]с — г ] <] гг„— г; ] <д. Поэтому в силу (14) ]]х(г) — х(Г,)]] <ь](д). (15) Пусть н — число отрезков [ГР Г1 1] разбиения А и т— число отрезков [вг,1з, 1] разбиения В. Так как разбиение В $11 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 417 есть измельчение разбиения А, то каждая иэ точек гр 1 = 1 2 " ., и. совпадает с Одноа из точек г/ гьь = г1 (здесь О = Ьо ( Ь, ~ ... с Ьл = т, т ) и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
