1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Из (6), (7), (8) следует 0 = ]У (х+ И,) — 7 (х)]+ ]7 (х+ й(Ь, + Ьз) ) — У(х+ И,)]— — У(х+~(Ьг+Ьг)) — У(х)] = = 1]ОГ (х, Ьг)+07 (х, Ьз) — ОУ(х, Ь1+Ьз)]+ге,+газ — гзз. Отсюда ОУ(х, Ь,)+ 07'(х, Ьа) — ОУ(х, Ь,+Ь )= — (ге,+гз — гз), и, следовательно ]! 07 (х, Ь,)+ОУ'(х, Ьз) — 07 (х, Ь,-]- Ьз) ]! < '< г ( ]! гз~ ]! + !! гзг ]! + ]! ыз ! ! ) < е. Так как е выбрано произвольно, то ]! Оу (х, Ь|)+ О/(х. Ьз) — 07 (х, Ь1+ Ьз) ]! = О и (5) доказано. Так как, кроме того, О/(х, Ь) непрерывен по Ь. то он есть линейный и ограниченный относительно Ь 440 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ !ГЛ. ЧНГ оператор: Ру(х, Ь)=у'(х),й. Так как Ру(х.
Ь)=у'(х),й равномерно непрерывен относительно х, то у'(х), равномерно непрерывен относительно х. Докажем теперь, что у (х+ Ь) — у (х) = у (х) й+ о (!! й 1! ). (4') Тогда Ру'(х, й). как главная линейная относительно Ь часть прирапгения у'(х+Ь) — у'(х), будет совпадать с пу'(х, Ь). Имеем 1 ( + Ь ) у ( ) 3 ~, у ( + Ь ) г Г з 1 1 ) аага -ааа.аааа-(1у'а -аааа,аа)а Га,аа.а, о о (9) где ! = !" 1Га а-ааа,— !а*а!аа)а о Вследствие равномерной непрерывности у' (х), инеем при 0 (1<1 )~У'(х+гй),— у'(х),'~.С„а(бйб)-ь0 при ))Ь~~ — ь0. Отсюда 1 бе!0 ( ~ / [у'(~+гй),— у'(х),)паз ~~й)) ( !о 1 ~~ / !) у' (х+ г11), — у ' (х), !! Ж )! Ь )) ~( а ( )( Ь 1! ) !! Ь )1, о и равенство (4) доказано.
Таким образом, РУ(х, й)=гч(х. Ь), У'(х),= У'(х), что и требовалось доказать. овидтном опенлтогн. метод ньютона 441 В дальнейшем, не оговаривая этого особо, мы для всех рассматриваемых дифференцируемых функций ~ будем предполагать, что О/(х, ь)=Фу(х, л). Заметим.
что если з шаре !!х — хь!! с. г имеет место неравенство !!У (х)!!<Е н хн хз принадлежат этому шару, то !! у(х,) — у'(х,)!! ~(А!! х,— х,!!. В самом деле, ввиду выпуклости шара !!х — хе!! г вместе с х, и хя этому шару принадлежит весь отрезок !х,), где х,=(1 — Г)х,+Юхя=Г(х,— х,)+хн б«(Г«(1; поэтому н так как !У'(хс) !! <"" Г(х,) — у(х,)= ~ у'(х,)(х,— х,)йс. з то !!У(хя) — У(х,) !!«« ~ !!У (х,)!! !!х,— х, !!с(Г «(С!! ха — х, !!. о ф 4. Теорема об обратном операторе.
Метод Ньютона Используя понятие производной оператора, можно доказать локальную теорему о существовании обратного оператора. аналогичную теореме о существовании функции, обратной к монотонной функции, имеющей производную, не обращающуюся в нуль. Те о рема 1. Пусть оператор у =У(х) определен в некоторой окрестности пгочки хе пространства Ел и отОбражает вту окрестность в простринство Е . Предположии. что У(хь) = уо 442 лнллнз В линейных поостолнствлх 1гл. шы 2. Производнаи Т'(х) существует в рассматриваемой окрестности точки хо, огракичена в втой окрестности и непрерывна в ней.
3. [у'(х )[ ' существует. Тогда в некоторой окрестности точки уо существует обратный оператор х=)' (у), принимающий в точке уо значение хо и непрерывный в окрестности точки у . Рассмотрим уравнение х= А(х; у). (1) где А (х; у) = х — К (хо)[ ' Ч (х) — у) (2) и у играет роль параметра. Нетрудно видеть, что если при заданном у ~ Ег уравнение (1) имеет решение х, то Т'(х) = у, и обратно. Для доказательства существования решения уравнения (1) приманим принцип сжатых отображений. При фиксированном у ~ Е получаем А'(х; у)=1 У'(хо)[ У (х) = [/ (хо)[ (у (хо) у(х)) откуда вытекает, что при [! х — хо[! (г [! А' (х; у) [! ( !! [~'(хо)[ !! [[,('(хо) — ~(х) [! ( у (г), где д(г)-+О при г-+О в силу предположенной непрерывности у'(х). Поэтому оператор А(х; у) по переменной х удовлетворяет условию Пипшица [[А(х,; у) — А(х,: у)[! <д(г)[[х! — х,[!.
хн хгб8(хо, г). (3) Оценим разность А(хо; у) — х . Имеем [! 4(хо! У) — хо![=!! У'(хо)Г'Ч(хо) — У)!!= = !! У'(хо)1 (У вЂ” Уо) !! (!! [У'(хо)[ !![! У вЂ” Уо[! то есть [[А(хо[ У) хо[! (!![У (хо)Г !![[У Уо[! (4) Далее, в силу неравенств (3) и (4) [! А(х; у) — хо[! ([! А(х; у) — А(хо[ У)[[+ +[[А(хо У) — хо[! (Ч(г)[[х — хо[[+!![У'(хо)[ '!![!У вЂ” Уо!! 2 41 теОРемА ОБ ОБРАтнОм ОпеРАтОРЯ метод ньютонА 443 Выберем теперь г„так, чтобы д = о (г„) < 1, и рассмотрим у из шара [! у уо [! < гу=(1 лл) гл [! [У (хо)] !!' Тогда предыдущее неравенство дает [! А (х; у) — хо [! ( д [! х — хо [[+- и, следовательно, оператор А осуществляет сжатые отображения шара [! х — хо [[ ( г„в себя. Поэтому каждому у, ! у — уо[! ( гу отвечает единственное х такое, что[[ х — х [[(г и ~(х)=у.
Тем самым на шаре [[у — уо[[(г определен обратный оператор х=ф(у) со значениями в шаре [! х-хо[! <г,. Ясно, что ф (уо) = хо. Из неравенства (3) вытекает, что [! 1р (у,) — 1р (у ) [! = [! х, — х2 [! = [! А (х,; У,) — А (х2; у ) [! < <[[А(х,; у) — А(х,; уо)[[+[[А(х,; у,) — А(ха; у) [! ( ()! [у (хо)] !([! У1 У2 [[+ 12 [! х1 — хо[! . Отсюда (1 — ч) [! ф(У1) ф(У2) [! < )! [у (Хо)] (([! У1 У2]! или [[ф(У1) — 1Р(У2)[! ( 1 ', [[У1 — У2[! ° [[[у'(х.)] '[! (б) т. е. обратный оператор ф(у) удовлетворяет в шаре [! у — уо [[(г условию Липшица и, следовательно, непрерывен. Теорема доказана.
Согласно принципу сжатых отображений обратный оператор ф(у) можно получить как предел последовательности операторов фл(у). определяемых по правилу 'Ро (у) = хо фл(У)=А(фл-1(У)' У) ([!У вЂ” Уо[! <гу. и=1. 2, ...). (6) Так как А(х; у) непрерывен по совокупности переменных, то методом математической индукции можно показать, что все последовательные приближения 1рл(у) являются непрерывными функциями у. 444 АнАлиз В линейных пРОстРАнстВАх 1гл.
Ч111 Далее. оценка [! Р (У) — ф. (У) !! <, — 1„[! ф (У) — Ро (У) [! -4 Ч" ~( ч [![)" (ХО)[ '!![[У(ЛО) — У[! показывает, что стремление последовательности 1р„(у) к предельному оператору 1р(у) происходит равномерно в шаре [[у — уо!!(г. Пример. В пространстве С[0, 1[ рассмотрим 'нелинейное интегральное уравиеиие 1 л(Г) — ~ К(й а, л(о) ) гКа ° у(т), (7) о где ядро К(й г, и) непрерывно в области 0<А а<1, — со < и < < + со и имеет а втой области иепрерывиую проиаводиую К„(1, о, и).
Пусть, кроме того, а) К (й а, 0) и 0 я К,', (й л. 0) ив 0; б) единица не является собственным аиачеиием ядра К„(й а, 0), т. е. линейное интегральное уравнение 1 л(1)- ~ К,,(г,а,О)а(а)ла 0 о ие имеет ненулевых решений. Записывая уравнение (7) в форме У(л) у (8) мы легко проверяем, что 1) У(0) = 0; 2) производная у' (х) существует в окрестности нули и ииеет вид 1 у (л)Ь А(Г) — ~ К„(й а, х(а)) Ь(а) и'а; о Воотому оиа ограничена и непрерывна в втой окрестности; 3) в силу б) [У'(О)[ ' существует. Тогда согласно только что доказанной теореме уравнеиие (7) для всех достаточно малых правых частей у(Г) имеет единственное решение, которое может быть получено методом последовательных приближений. Метод Ньютоиа.
В качестве еще одного примера исполь. зования понятия производных абстрактных'функций рассмо' а 0 тнОРемА ОБ ОБРАтном ОпеРАтОРе. метод ньютонА 445 грим метод Ньютона решения операторных уравнений. Как известно. для случая скалярного уравнения г (х)=0 метод Ньютона состоит в нахождении последовательности приближенных решений по формуле У (хл) х —. х — —., и~ г — и у' (д.„) ' При выполнении некоторых условий, налагаемых на функцию у(х) и ее производные, доказывается, что приближенные решения хи сходятся к конечному пределу и зтот предел является решением уравнения. Л. В. Канторовичем было показано, что метод Ньютона может быть перенесен на операторные уравнения. Мы рассмотрим здесь зто перенесение, причем с целью упрощения доказательств будем предполагать выполнение дово.чьно жестких ограничений л).
Итак, пусть дано уравнение у'(х) = О, (9) где у (х) — абстрактная функция, определенная на банаховом пространстве Е , со значениями з банаховом пространстве Е . Предположим, что в некотором шаре 8(хз. г), центр хз которого мы принимаем за приближенное значение решения уравнения (1), функция г"(х) сильно дифференцируема н ее производная у'(х) удовлетворяет условию Липшица 'йУ'(х) — )" ($) 11 ~((. !) х — ~ ~). (1О) Если, кроме того, сушествует [у'(х)1, то по аналогии со скалярным случаем можно строить последовательные приближения по формуле хл+г = хл — К (хл)1 ' У (Аи). Эта формула имеет, однако, то неудобство, что необходимо последовательно находить обратные операторы [у'(хи)] ', т.
е., по сути дела, решать линейные операторнгяе уравнеийя у'(Хи)Ь =- и. ") Более подробное изложение н прн менее стеснительных ограничениях см, (121. 446 АнАлиз В линейных пРостРАнстВАх [Гл. Очы Чтобы избежать указанного неудобства, Л. В. Канторовичем был предложен модифицированный метод Ньютона, в котором последовательность приближений находят по формуле х,,= „— [У'( О)! ' Г(х„). (11) где для любого п фигурирует один и тот же обратный оператор.
Мы остановимся лишь на модифицированном методе Ньютона. Введем следующие константы: Мо= !! У'(хо)! !! Чо= !! У'(хо)! У (хо) !!. Т е о р е и а 2. Если 1 "о = д[ОЧО~ ~ а и у — меньший корень уравнения ЛОГΠ— Г+ 1 = О, то в шаре [!» хОЫ гОЧ уравнение у'(х)=0 имеет единственное решение х' и последовательные приближения х„, определяемые по формуле (3), сходятся н этому решению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
