1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Пусть Рл(Ь) — многочлен л-й степени относительно Ь и ф„(й) — многочлен ш-й степени относительно Р. Тогда при Ь =Ят(д) Рл (Ь) = Р„(!Чт (а')1 есть многочлен степени не выше ил«относительно д. Докажем зто предложение методом индукции по и. Пусть и= 1, т. е. Р, (Ь) = О,Ь+ ош где а,— линейный относительно Ь оператор. Если т а (д) = Х Ьюа', то в силу пятого свойства форм а,Ь+ аз= а,Ят (й)+ ае —— ~~.", а«б,д'+ аз «=о есть многочлен степени не превосходящей ш относительно д. Предложение для л = 1 доказано.
Пусть предложение доказано для всех многочленов Р,(Ь) степеней Ь ( ю — 1 относительно Ь. Рассмотрим л Рл (Ь) = ~~.", л„Ь «те — многочлен л-й степени относительно Ь. Имеем Рл (Ь) = Рл, (Ь) + алЬл = Рл, (Ь) + (а лат ') Ь, где Рл, (Ь) — многочлен степени п — 1 относительно Ь.
Если Ь=Я (К), лзб АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ЧН1 то в силу предположения ч-1 Р„( (л)=й<„1(т (Е) и а„й =(т<„от(д), ГЛЕ т<<„-11т (К) И Й(, Нт(д) — МНОГОЧЛЕНЫ СТЕПЕНИ, НЕ ПрЕ- восходящей (и — 1)л< относительно и. Отсюда л( ) (и-Нт (й)+)~(и-1) т(й) <)т (Е)' По свойству 1 произведение двух многочленов Л<„1> (К)Я (К) степеней не выше (а — 1)л< н ш относительно й' есть многочлен Й„т(у) степени не выше вл< отно сительно е. Итак. где Т„т(д) есть многочлен степени не выше пл< относительно е, что и требовалось доказать.
9 6. Дифференциалы и производные высших порядков Обозначения. Пусть Е„и Ет — линейные нормированные пространства и у = г (х) — абстрактная функция. определенная на Е„, с областью значений, расположенной в Е„. Пусть х ~ Е „, у, = у, (х) ц Е„и уа = уа (х) ~ Е . Символическое равенство у,(х)= уа(х) будет означать, что (( у< (х) — у, (хЦ = о ( (( х ((") (у, (х) равно у,(х) с точностью до величины порядка выше а сравнительно с ((х(().
Можно доказать следующие утверждения: Х Х Х 1. Если у,(х)-у,(х) и у (х)- уз(х), то у,(х) — уз(х). 2. Если у<(х)=уз(х), х=)Я) и ~)$(~=0(()х(~), то У< л Уа З В! ДИЕЕЬЯИНЦИЛлы И пГОИЗВОД. ВЫСШИХ ПОГЯДКОВ 457 3. Если Р(й) и Я(й) — многочлены от й с совпадающими коэффициентами при членах первых и степеней, т. е. л Р(й) — Я(й) = ~~з~ аяй", то Р (И) =- Я (й) . Будем предполагать, что операции умножения, фигурирующие в последующих формулах. имеют смысл. 4. Если ~)А(х))! ограничено в окрестности х = О и х х у,(х)=уя(х), то А(х)у,(х) А(х)уя(х).
Аналогично у, (х) А (х) = уз (х) А (х). 5. Если у(х)=у,(х), г(х)=зг(х), то у (х) г (х) = у, (х) гг (х). В самом деле. в силу свойства 4 у(х) г(х)="у(х) гг(х) =у,(х) гг(х). Отсюда и из свойства 1 следует свойство 5. Формула Тейлора. Мы определили сильный дифференциал первого порядка, рассматривая аппроксимацию функции )'(х + й) многочленом первой степени относительно й. Пусть теперь существует многочлен Р„(И)= а,й+ а й + ... + а„й" степени и относительно И такой, что У (х + й) — У (х) = Р „(й), у'(х+ й) — )'(х)= Р„(й)+ ы„(х, й), т, е. где ),'яг„(х, й)/( (е((!й/)) )/йй", е()!Иа) — ьО при //й!/ — ьО. (2) Многочлен Р„(й) назовем конечной строкой Тейлора и-й степени для функции Г (х+ й), его и-я член, умноженный на п1, назовем и-м сильным дифференциалом функции ~(х), а функцию у (х) и раз дифференцируемой в точке х.
Обозначая п-й сильный дифференциал через с["у'(х, Ь), имеем д" г (х, Ь) = п! а„Ь". Соответствуюшая с[" ['(х, Ь)'симметрическая и-линейная форма имее'т вид д"У(х; Ьн Ь,, ..., Ь„)=п! а,И1 ° ° ° Ь» Эту и-линейную форму а„назовем п-й сильной производной функции у(х) в точке х и обозначим у[л!(х). Таким образом, д"у'(х, Ь) = уЧЮ (х) Ь".
и формула (1) принимает вид Г(х+И) — Г'(х)=у'(х) И+ — Г»(х) Из+ ... ... + — [у'ю(х)И". Заметим теперь, что е["У(х, Ь)= — „„У(х+!И)1 з. (3) В самом деле, из (1) следует л-1 У'(х+ ГИ) = Г'(х)+ ~~.', Гьа»И»+ 1"а„И" + ю(х; ТИ), ь=! где р !!н(»[гл)!! =0 [пп 1+О Имеем ф',ьь)=О, [л — „(!»а»И") = п ! а„И", 458 АнАлиз В линейных пРОстРАнстВАх [Гл. Тиг 4 О! ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОД. ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 45Ч и, наконец, — „,.-(', )~,,= - - . Аг.+о (дг) '1=о и = )пп — „~ ( — !) С,ы (х, (Ь вЂ” — ) К!Ь). ь=о В силу (2) имеем при Ы-ь 0 Ф (х; (а — — ) ВЕЬ) (АГ)ь откуда ио ись Ы(» ~Ь) 11=О В таком случае й",Г" (х, Ь)=п! а„Ь" = и1„1(»+ И) !, Если й".г'(х, Ь) существует в некоторой области, причем соотношение (2) выполняется в этой области равномерно относительно х, то мы будем называть й"у(х, Ь) равномерным сильным дифференииалом.
В этом случае в правой части (3) стоит равномерная разностная производная. Введем теперь другое определение и-го дифференциала. пусть первый дифференциал йг"(х, ь) = у'(х) ь сушествует в окрестности точки х. функции у'(х), а значит, и йу (х, Ь) могут быть в свою очередь дифференцируемы по х.
Мы приходим ко второму последовательному дифференйиалу й[йГ(х, Ь), Ь1) = й К(») Ь, Ь11= сЧ'(», Ь1)Ь. Обозначая ~ч (х, Ь1) =ун(х).ЬР назовем ун(х)о второй последовательной производной. Имеем й(йУ(х, Ь), Ь,)=Ун(х),Ь,Ь= — „, й,У(х+~,ЬР Ь)/,,= 1 = — ~ дг .г (х+ И+ 11Ь1) !1=о~ ~ 1 п=о дь = — У(»+ И+ ~1Ь1) 1, = 1 460 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ЬЧ11 Аналогично определяется п-й последовательный дифференциал, а ииенно, в предположении, что существует (и — 1)-й последовательный дифференциал й(й(...
(йУ(Х, й,) ) й, ...) И„,) = У[ — 1(Х), йл,йл, ... й, и что этот дифференциал как функция от х дифференци- руЕМ. т. Е. ЧтО у[л-11(Х)О днффЕрЕНцнруЕМа, ПОЛуЧаЕМ й(й(й(' ' 0Ч(»' /11) йа) ' ' ') Ил ') йл) л й(./[-И(Х)зйл 1йл 2... /11, /1л)= = й/ (Х /1л)/1л 1/1л-а ° ° ° /'1. (4) Вводя обозначение йу[л — '1(Х, йл) = /1"1 (Х)О Ил, получим и-ю последовательную производную /[л[(х)о и (й(й(... (Ч(х, И1))й ...)Ил,)йл)= =/[л/(Х)зйлйл 1 ...
ИР Равенство (4) принимает вид й/'(Х; йл, йл Р ..., И,) =~['1(Х)ОИ„И„1 ... И1 —— л дл д/1 д/, ... д/л ~ 1 + .ые ' ' 1=1 11=12= " =[л=о Полагая й, = й, = ... = Ил = й, получаем ил й",У(Х, й)О=У" (Х)О/1л= — и/л У(Х+/й)11 О (б) Из совпадения непрерывной равномерной разностной п-й производной с последовательной (см. стр.
410) и формул (3) и (5) вытекает предложение: если в области б суи[ествует и-й равнолгерный сильный дифференциал й"у(х, И), непрерывный по х, то в 0 с>т[егтвует и и-й последовательный дифференциал й"/ (х, й)о, причелс й /(х. И),=й"У(х. И), или /[л/ (Х) — /[л[(Х) ОМ ДИЕЕГИЕНЦИЛлы н пгоизвоД. выСШИХ ПОГЯДХОВ 461 Обратно, пусть существует и-й последовательный дифференциал » У(х' И)0 У (Х)ОИ причем уть~(х)0 есть равномерно непрерывная функция от х в некоторой области (г.
Тогда в атой же области существует совпадающий с ним и-й равномерный сильный дифференциал. Докажем это предложение индукнией по и. Прн п= 1 предложение тривиально. Пусть оно верно для и — 1. Так как У (х)о= У (х)о) то имеем тогда (Х+И)о — У (Х)0+У (Х)ОИ+ 2 У (Х)ОИ + + ~)~ У ~(х) И + (х' И)' где 'рго(х; И)(~ (е„,ЦИ(() аИ 'р" ', е„,(и)-ьО при и — ьО. Отсюда при О ~, Ю ( 1 У (х + (И)о =~ (х),+ Ц (х). И + — РУ (х).И + ... где ((го (Х; И) !! (еь, (С (( И (~) г" ' 'ПИ ~~" ' ( ев, (1 () Иа) в Поэтому у( -~-И) — е(х) = / у'(х+1И)ОИ»1= о 1 = / ~у'(х)0+ау" (х),И+ —,, РУ"'(х)ОИО+ ...
о ... +, ' „,1-У"'(х)ОИ" '~И»+а. АнАлиз В линейных пяостРАнствлх !Гл, чн! где )!!„= У ы (х; Я) л И. о Отсюда ,у(х+л) — г(х)+ г' (х)ой+ — г' (х)о)г + + з! У" ( ) ~'+ . + —,У'"'( ) )!" + ! 'Р)т'„~! < У !!Ы(х; глЯ~ 'РЦ Ж <е„(1!ЬР) 1!Ь~~ о е„(и)-«О при и-«О. Таким образом, сумма в правой части последнего выра- жения для у (х+ Ь) есть строка Тейлора для функ- ции у (х) и У!")(х!ой"= ("Р( . й), т.
е. !(АУ(х, Р!1о=ср'У(х, й), что и требовалось доказать. рассмотрим теперь и-ю производную сложной функции и произведения. 1. Пусть у = !Р(х), я =ф(у), х ~Е~, у ~ Ью г ~ Е;, тогда я=У(х), где У" (х)=ф(!Р(х)). ПУсть Уоч ф(хо) и хо=ф(уо)= у(хо).
Если ф(х) и ф(у) и раз дифференцируемы соответственно в точках х„н уо, то и Г(х) л раз дифференцируема в точке х . В самом деле, по предположению в Е существует многочлен л-й степени Р„(л) такой, что 'Р (хо+ ") — гР (хо) = Ро (л). А С другой стороны. в Е„определен многочлен л-й степени Я, (д) такой, что ф(Уо+ К) — ф(У~) Х а„(Е). В частности, при К = 'Р(хо + л) Ч'(хо) а и диеевиинциллы и пгоизвод. высших повядков а68 и, следовательно, при Ф(хо+") = 'Р(хо)+ К = Уо+ Ю имеем У(хо+И) — У(хо) =ф(ф(хо+И)1 — ф1<Р(хо)1 л Я.(Ю) (6) Но К = <Р (хо+ ") — 'Р (хо) =„Р, (И)' И (3, (й') =„Я„(Р„(И) ). поэтому В силу свойства 2 многочленов, ~„(Р„ (И)) есть многочлен относительно И.
Этот многочлен может быть аппроксимирован с нужной точностью многочленом )т„(И) и-й степени относительно И вЂ” отрезком многочлена Я„(Р„(И)) Я„(И') у 4Р„(Р„(И) ) у )Р„(И). (7) Далее, так как функция ф дифференцируема в точке хо, то М=11 Р(хо+И) — ф(хо)11 = О(11И11) поэтому символ = можно заменить символом, н равен- А' И л л ' ство (6) примет вид Г'(хо+И) — Г (х,) 7О„(Л). И Отсюда и из (7) следует Х(х.+И) — Х(х.) =" Р. (И). (8) Р (х) = ф 1~Р (х)1 и раз непрерывно днфференцируема по х. В самом деле, в этом случае коэффициенты многочленов Р„(И) и Я„(И) суть непрерывные функции от х. Значит, и коэффициенты многочлена Я„(Р„(И) ) суть непрерывные Существование многочлена гс„(И), удовлетворяющего соотношению (8), доказывает наше предложение.
Если ф(х) и ф(у) и раз непрерывно дифференцируемы по х, то и 464 Анллиз В линейных пРостРАнстнлх !Гл. чп! функции, а следовательно, и коэффициенты многочлена Я„()г) также непрерывные функции от л. 2. Пусть хЕЕ, у=У(х)~ЕЙ г=!р(х)ЕЕ, и определено произведение и элементов у ~ Е„и г ~ Е„приналлежащее Е,. Если г" (х) и !р(х) суть л раз непрерывно дифференцируемые функции от х, то и Р (х) = У(х)!р(х) л раз непрерывно диффереицируема по х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
