1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Вследствие ненРеРывности ф'1х) в точке хо длЯ всЯкого г) О существует число е„е,-эО, нри г-ьО, такое, что ||ф' гх) — ф'гхо)|! <е„нри ||х — хо|! <2г. Отсюда ||ф'(хо+8+ $о) ф'(хо)|! <е и из 14) следует !!То То-1|! <А ||/ ||ф гхо+ "+$о) о — '<,)|! ||$. — $.
|! <||А '||,||$. ||$„— $„,|! (2||Т,— Т, 1|! (2||А ||е,||$„,— $„з|!. При достаточно малом г 2||А '||~,~(— и, значит, 1 ||$л $о-г||< 2 ||$о-о $о-г||. Пусть !!6|! =г; если ||$~||<г, 1=1, 2, ..., и — 1, то 1 ||$о — $п-!|! < 2 ||$о-1 — $о-о||-< " 1 1 ||$о $о|| 2о ~ ||$~ || ||$о|| = ||$1+1$о — $1)+ ° ° ° +1$п — $о-о)|| < <!|$о||+ ||$а $1||+ ° ° ° + ||$а $и-1|! < <||$1||(1+ 2 +" + 2о- ) <2||$г|!.
486 АнАлиз в линепных пРостРАнотВАх [Гл. УН! Так как $з — — О, то Т,= — А <р(хз+Ь) и ~( $1 ) ( ~( 2 () Т[ ) ( ~( 2 ) ) А ' ~~ (( <р (ха + Ь) )~ Далее. [р(хо+И)=[р(хо)+[р (хз)И+е(Ь), е(И) оЦЬ[[). Но [р(х )=0; далее, Ь~ Т, следовательно, р'(ла) Ь = О. поэтому откуда [р(ха+И) =е(Ь), Ц, ~~ ~( 2 [[ А 1[[1 е (И) [[. При достаточно малом г ) 0 и [[И!/~г 1 ~(е(ЬЦ~~ ~ 1 1[И[1. Поэтому 2 ч ч 2 1 1 В.!! < г и, значит, Мы находимся все время в условиях, при которых ![в.
— В.-Л < — И.-~ — а.-з 1! . 1 или А [р(хз+Ь+$)=О, (р (хе+ Ь+ $) = О. "о+1'+ В Е%. или Следовательно, Поэтому последовательность ф,Д сходится к элементу $ О Е„, причем [[$[[.д.[[Ь[[, и, более того, в силу (5) Щ(~(2!)$1[[( 4[[А '[[[[е(Ь)[1. (6) Соответственно Т„из Е [Те сходятся к Т из Е [Те и $~ Т. Уравнение (3) при й-ьсо, ~„-Р~, Т,-РТ переходит в Т= Т вЂ” А ~р(х +И+~), 48т а йй кАСАтелъныв многоовРАзня Эту точку ставим в соответствие точке хо+и ЕТ,. Неравенство (6) показывает, что ((Ц = о(8Щ), т.
е. что Расстовние 8Ц междУ точкой хо+и ~ То и отнесенной ей точкой хо+й+$~8л есть величина высшего порядка малости сравнительно с расстоянием 8Ц до точки касания хо. Пусть теперь х= хо+и принадлежит %, т. е. ф (хо+ и) = ф (хо) = О. Имеем ф(х +и) — ф(хо)=ф'(х ) и+е(и)=0. где е(и) = о(йий). Отсюда ф' (хо) и = — е (и). Обозначим через Т тот элемент пространства Е„/То, которому принадлежит и. Тогда ф' (ло) и = А Т.
Отсюда АТ= — е(и) и Т= — А 1е(и), '8Т()~())А ~()/е(и)8. Среди элементов пространства Е, принадлежащих Т, есть элемент $ такой, что 'й'Ц (2!/Т// (28 А 'ййе(и)'й. Так как фЕТ, и~Т, то и — В ЕТо, хо+ и — $ ЕТлк Эту точку ставим в соответствие точке х = хо+ и. Для расстояния 8Ц между этими точками имеем оценку й Ц = о ('й и 8). Теорема полностью доказана.
Пространства, линейные в малом. С понятием наса- тельного' многообразия связано понятие линейного в малом пространства, важное для некоторых исследований. Рассмотрим два метрических пространства Х н Г. Пусть дано топологическое, т. е. взаимно однозначное и взаимно бйВ АнАЛиз в лннеиг1ыд г(РОстРАнствлд 1гл. у111 непрерывное отображение пространства Х на У, причем точке х из Х отвечает точка гр(х) нз 1'. Отображение 1р называется почти изометрическим а точке хе из Х, если расстояние любых двух элементов х, и хт из Х и расстояние их образов в 1" связаны неравенством р(х,, хт)(1 — е) 4р(гр(х,), ф(хя)) ~(р(х1, хт)(1+ в), где е стремится к нулю вместе с р(х,, хо)+р(хт, х ). Пример.
Пусть Ы вЂ” многообразие в Е„заданное уравнением ф(х)' О, ҄— линейное касательное многообразие к к)1 в правильной точке х,~эт1 и Е ТоЯ Т(, где Т, — совокупность элементов И, для которым ф' (х,) И О. При некотором г > 0 каждому элементу ха+ И, 1И1(г, из Т относим элемент ха+ И+1 (И) из Ю1 (см. теорему 1 настоящего параграфа). Получаем топологическое отобРажение Х окРестности точки хе в Т на окРестность точки «э х,в%.
Отображение Х почти изометрично в точке х,Е Т, (или х, Е ~И). В самом деле, пусть хь хэЕ Тж, х1 = ха+ Иг, 1И11< г; тогда х, соответствует Х(хД х,+И +1(И)бит, х, соответствует Х (х,) = хо + И, + Ь (И,) Е %1. Имеем Х(х,) — Х(хт) = И, — И,+ [С(И,) — $(И,)], откуда ЦИ! Ияэ 1ь(И!) ь(И2)1~(1Х(х!) Х(хт)6~< ~1И,— И,1+11(И,) — $(И,)1.
(7) Функция 1(И) имеет непрерывную производную 1'(И), причем ь'(О) =О. ПоэтомУ пРн 1И1(г 1$' (И)1(а„где ег-ьО пРн г-+0. Далее 1 д (и,) — й (и,) 1 = ~ 1' (и, + г (и, — и,) ) иг (и, — и ) о <~ 11'(и,+г(и,— и,))1иг(и,— и,1. о 489 злдлчи нл экстяеыум а п1 Если 1Л,11 + 1Л,1 < г, 1 Л, 1 < г, 11 Лэ 11 . г; то следовательно, при О < Г < 1 1л,+т (л, — л,)1 1$ (Л,) — 1 (Л,) 11 < ег1Л, — Лэ1. Поэтому неравенства (7) запишутся в виде Ц х, — х, 1 (1 — е,) < 1 Х (х, ) — Х (хэ) 1 < ~1 х, — х, ~1 (1 + е,).
Дадим теперь определение линейного в малом пространства. Пусть дано метрическое пространство Х. Если каждзя достаточно малая окрестность произвольной точки х ~ Х допускает почти изометрическое отображение на окрестность нуля некоторого банахова пространства, то пространство Х называется линейным а малом. Предыдущий пример показывает, что в пространстве типа В всякое многообразие, все точки которого правильные, есть линейное в малом пространство. Понятие дифференциала распространяется на функции, заданные в линейных в малом пространствах. Пространства допустимых линий в ряде классических вариационных задач суть пространства, линейные в малом, и вариации рассматриваемых в них функционалов дают примеры дифференциалов функций в пространствах, линейных в малом.
5 11. Задачи на экстремум Рассмотрим применения некоторых из введенных выше понятий к вариационным задачам. Пустьл (х) †функцион, определенный в пространствеЕ„. Точка хам Е называется точкой минимума (леакеилгума) этого функционала, если для всех точек х некоторой окрестности точки хе, у(х))~у(хе) (соответствешю у(х) <. .с У(хз)). Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Тем самым доказано, что наше отображение есть отобра кение почти изотермяческое. 490 Анчлнэ В линейных НРОстРАнстВАх [гл. чн1 Теорема 1.
Если хв есть точка экстремума функционала г (х) и последний дифференцируем в этой точке, сЧ (х,, Ь) = У' (,) и, то г"'(х ) =О. т. е. дг (хв, Ь) =0 при любых ЬцЕ„. В самом деле, У'(хв) Ь = — йг У (хе+ 1Ь) !1=э. Но у (хв+1Ь) есть числовая функция аргумента 1, достигающая экстремума при 1=0; поэтому йУ(х, Ь) =/'(х )Ь = — „У(хе+ 1Ь)11 в = О. Так как Ь вЂ” произвольный элемент из Е, то требуемое доказано.
Рассмотрим теперь задачу нахождения условного экстремума. Пусть ф(х) — функция, определенная на Е„. с областью значений в Е„, хЕЕ„., гр(х) цЕ, и Г(х) — функционал, определенный на Е„. Точка хв, для которой ьр (хэ) = О, называется точкой условного минимума (соответственного максимума) функционала )'(х) при условии |р(х) = О, если У(х) ~~У (хв) для всех х из некоторой окрестности точки х, удовлетворяющих условию |р(х) =О. Т е о р е м а 2. Если точка хэ условного минимума функционала 1(х) при условии |р(х) = 0 есть правильная точка многообразия |р(х) = О, то суигествует такой линейный функционал 1, определенный на пространстве Е, 1~Е~, что для функционала Е(х) = у (х) — 1|р(х) имеем Р'(хе)=0, то есть ЙГ(хо, Ь)=0 при любых Ь из Е.
491 э 1и зАЛАчи ИА экстгемум Докажем прежде всего, что сг/(хе, Ь)=0 для всех Ь, определяющих линейное касательное многообразие в точке хе. т. е. для всех Ь~Т0. В самом деле, пусть ЬЕТ0 и (/(хе, Ь)=с+О. При любом г точке хе+ ГЬ соответствует в силу теоремы 2 предыдущего параграфа точка х +ГЬ+и(Г) многообразия ф (х) = 0 такая, что (( и (Г) ,'~ есть величина высшего порядка малости сравнительно с Г. По определению дифференциала мы имеем / (хе+ И + и (() ) = / (ха) + юК/ (хэ, 1Ь + и (1) ) + ге (1) =— = / (хе) + /' (ха) (Ь+ /' (хе) и Я + га (1) = =/(хе)+ сг+/'(хе) и(у)+00ггч).
При г -» 0 /'(хе) и (1) + 00 (1) есть величина высшего порядка малости сравнительно с ст, и поэтому знак разности /(хе+ ГЬ+ (()) — /(.О) совпадает со знаком сс, так что с переменой знака Е эта разность меняет знак. Но тогда точка х не может быть точкой экстремума функционала.
Следовагельно, предположение, что с+О, неверно. и требуемое доказано. Итак, в условиях теоремы г1/(ха, Ь)= 0 для всех Ь, для которых <р'(хе)Ь= О, т. е. сХгр(хе, Ь) =. О. Из этого следует, что г(/ (хе, Ь,) = д/ (хе, Ь ), если Ь, и Ьа принадлежат одному и тому же классу смежности Т Е В '1Т0. Введем функционал Х (Т) ~/ (хе' Ь)' где Ь вЂ” любой элемент из Т. Имееи 1Х (Т)1 = ~ 4Ч (хо Ь)1 = 1/~ (хо) Ь1 4 У~ (хо) ~1 ~1 Ь ~1, 492 Анализ В линвиных пРОстРАнстВАх [Гл.
чн! откуда, переходя в правой части к точной нижней границе по И ~ Т, получим )у(Т))~()()" (хеЦ !)Т8'. Следовательно, )((Т) — линейный функционал, определенный на Е )Т . С другой стороны, Т=(ф'(хв)) ' у, где у — элемент нз Ез такой, что !р'(хв)Ь=у для любого И ЕТ (см. стр. 483). Слеловательно, с(Т(х, И)=у(Т)=)(((гр'(хв)) лу) =1(у). Так как у = гр' (хс) Ь = гл!р (хв, И), то мы получаем, что с(у(х, И)=1сллр(х„, Ь). Отсюда, полагая гч(х) = У(х) — Ьр(х), будем иметь, что стг (хз Ь) = О для всех Ь Е Е„, что и требовалось доказать. П р и и е р. Изолеримегнрическан задача. Будем искать экстремум функционала у (х) при условии е!(х) = О, ! 1, 2, ..., и, где у (х), в!(х) — функционалы, определейные на е. Рассматривая !т, как компоненты и-мерного вектора Чл обозначим через лт(х) вектор с компонентами ф (х), ! = 1, 2, ..., в.
Пусть экстре!!ум достигается в точке хэ~Е. В свау теоремы 2 существует линейный функционал г(!Р) такой, что для гл(х) =У(х) — Щ(х) л!Г(хл, А) =О. Но так как в и-мерном пространстве векторов !а э Уэ= Х А,вн 1=1 где Х! — постоянные, то г (х) ~ / (х) — " ', Л лг (х). л=л Следовательно, в точке хэ экстремума э У'(х,) — ~ А!В! (хе) =О. ! 1 Получаем правило множитылей Лагранжа. ДОПОЛНЕНИЯ 1. Классы А», Р) 1 функция х(1), определенная и измеримая на отрезке !О.
11, называется лринадлеэкагцей классу 1»(0, 1) или, иначе, функцией с суммируемой р-й степенью, если 1 у ! х (С) !» й1 ( о Интеграл понимается в смысле Лебега; р — некоторое положительное число. В дальнейшем считаем, что р )~ 1. Если р = 1, получаем класс суммируемых функций, который обозначим через г'. (О, 1). Докажем, что если х(С)Е1.»(0, 1) и у(С)ЕЬ»(О, 1), то и х(8)+у(г) ~У. (О, 1). Возьмем два числа: а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
