1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 70
Текст из файла (страница 70)
ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ч-й ПРОИЗВОДНОЙ 5<8 отрезке равной ей последовательной производной х<"<(1)о< х< "л (Ф)о — — х<" л (С). Проведем доказательство для случая а= 2. Пусть функция х(8) имеет на отрезке [О, 1[ непрерывную вторую равномерную разностную производную х" (Г). Обозначим через у(1) интеграл л Й у(Г) = [ [ х" (т)ат<лтл. о о Вторая последовательная производная у" (Г)о равна подынтегральному выражению х" (<), и так как у" (Г)о= х" (1) непрерывна, то она совпадает со второй разностной производной у (г)о †' у (г). [у (<) — х (г)[" = О.
Таким образом, имеет вторую последовательную производную у" (1)о = х" (<)о то получим тогда, что х" (г)о = х" (г). Итак, пусть на отрезке [О, 1[ имеет место тождество и" (1) = О. Положим и, (г) = а(1) — [а(0)+ [а(1) — а(0)[ <[. Имеем и, (0) = а, (1) = 0 н а," (<).= — О. Пусть е — произвольное положительное число. Рассмо. трим функцию [3 (1) = а, (С) + с<о. Покажем, что разность а(<) = у ® вЂ” х(1) может быть только линейной функцией: х (1) = у (() [ — а + И.
Так как функция у (1)+ а+ бт 5!О ДОПОЛНЕНИЯ Так как (е!г)о=2е) О, то ба(!)=2е > О. При 0 (У (1 имеем [) (Г) ( е. В самом деле. если бы для некоторого 8~[0, 1] мы имели [)(!) ) е, то максимум [)(!) был бы больше е, а так как р(0)=0, [1(1)=е, то этот максимум достигался бы во внутренней точке !о отрезка [О, 1]. В точке максимума !о вторая центрированная разность Ад![) (!о) =- Р(!о+ Аг) — 20 Ро)+ Р(то — Аг) (0 ибо [) ((о) ~~ [) (!о — А!) Отсюда ог (!о) = !!гп †Ад![)(!о) ( О д! о (дфг Но тогда при 0 (! (! а,(!) =р(!) — е!г (])(!) (е. Аналогично доказывается и неравенство а, (т) ) — е. Итак, при любом е > 0 имеем — е (аг(г) (е, откуда и, значит, аг(!) =— О, а(!)=а(0)+ [а(Ц вЂ” а(0)] 1= а+ И, что и требовалось доказать.
Заметим в заключение, что для числовой функции л(!г,тг, ..., 1„) от л вещественных переменных имеет место равенство А.;, г,, ..., !„; шл (!! ~г ° ° ° ° ! ) = и мы получили противоречие с предположением [)" (го))е)0. Следовательно. [)(!) (е, 0 (! (1. 1У. ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ и.н ПРОИЗВОДНОП 511 где и АР 1,, ..., 1„; Д1х (11 ° ° ° ги) = ( — 1)и х(тн т,, ..., ти), 1Р1,,...,1 т; =11+ Гас при 1=1Н 12, ..., 1» и т1 =11 для остальных 1 н сумма берется по всем подмножествам (1О 12, ..., )з), О (11~~11~~ ... ~~1А~(Е множества (1, 2, ..., Е). Здесь, как и в дальнейшем, О,— числа, заключенные между О и 1. Это равенство доказывается методом индукции.
При и= 1 оно сводится к теореме о конечных приращениях. Пусть оно верно для смешанных разностей (» — 1)-го порядка. Имеем 1г 1Е ., 1м М 1' 2' = 111,,'„, 1„ Р 1, „, , 1„; Д1х (~1, 1и, + 111 . 1и)— — Ли1 1, „1, 1, ..., 1 1 Д1х (11 ° ° ° ги, ° ° Еи) = Г) Г и — 1 =- М, [~1Р ..., 1, „1,,Р ..., 1„: Д1~(Г - ~~1+ З, -~ И1+1 "' и и, +О,, Ы..... 1„)] (2) (последнее равенство получено на основе применения теоремы о конечных приращениях). Но в силу предположения индукции д,"-,',,„Р ..,Р, „х(ГИ ..., 1,, +О,, ЛГ, ..., 1„)= из,, Ф. Отсюда и из (2) следует (1).
ЛИТЕРАТУРА 1. Алекс андрон П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948. 2. А х и е з е р Н. И., Лекции по теории аппроксимаций, «Наука», 1965. 3. Ах и евер Н. И. и Гл азм а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Гостехиздат, 1950. 4. Ьа над С., Курс функц!онального анал!зу, Киев, 1948 (на украинском нзыке). 5. Биркгоф Г., Теория структур, ИЛ, 1952. ]5а] Виленкин Н.
Гь н др., Функциональный анализ (серия: «Справочная математическая библиотека», «Наука», !964). 6. В у л и х Б. 3., Введение в функциональный анализ, Физматгиз, 1958. 7. Гельфанд И. М., Рзйков Д. А., Шилов Г. В., Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1959. 8. Гильберт Г. (Н ! ! Ьег! ().), Огипбхйне е!пег аИпеще!пеп ТЬеог!е бег Ипеагеп !пгедга!8!е!сЬипдеп, 1924.
9. Гильберт Д. и Курант Р., Методы математической физики, ГТТИ, 195!. 10. Дан форд Н. и Шварц Дж. Т., Линейные операторы, общая теория, ИЛ, 1962. 11. Дитк ин В. А., Операционное исчисление, УМН, т. И, вып. 6 (22), 1947. ]1!а] Диткии В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление (серия: «Справочная математическая библиотека»), Физматгиз, 1961).
12. Канторович Л. В. и Ак илов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959. 13. Канторович Л. В., Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, т. Ш, вып. 6 (28), 1948. 14. Колмогоров А. Н. н Фомин С. В,, Элементы теории функций и функционального анализа, Изд. МГУ, вып 1, 1954; вып. 2, 1960. 15 Колмогоров А. Н., Хит Хогщ!егЬагйей е!пез аИдеве!пеп !оро!ой!зсйеп Ипеагеп йаищез, ЗщгИа Ма!И., 5 (1934). )Г» Кра с носе л ьс ки й М. А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, ГТТИ, 1956. 17.
Крейн М. Г. и Крейн С. Г., 2иг !'езрасе без (опспопз сопцпиез дейл!ез зиг ип Ысощрас! бе Наиздогй е! зез зоизезрасез нет!-огбоппбз, Матем. сб., 13 (55), 1943. ЛИТЕРАТУРА 513 18. Крейн М. Г. и Рутман М. А., Линейные операторы, оставляющие инваоиантным конус в банаховом пространстве, УМН, т. Ш, вып. 1 (23), 1948. 19. Лаппо-Данилевский И. А., Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений, ГТТИ, 1934.
20. Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, Физматгиз, 1959. [Вйа] Н а ни арк М. А., Линейные дифференциальные операторы, ГТТИ, 1954. 21. 11 з т а н с о н И. П., Теория функций вещественной переменной, и'ТИ, 1957. 22, Н а т а н с о н И. П., Конструктивная теория функций, Гостехи:лдат, 1949. 23. Не мы цк и й В.В., Методнеподвижных точек в анализе, УМН, иып. 1, 1936. 24. П л е с и е р А. И., Спектральная теория линейных операторов. 1, УМН, вып.
1Х, 1941. 25, Плеснер А. И. и Рохлин В. А., Спектральная теория линейных операторов. П, УМН, т. 1, вып. 1 (11), 1946. [25а[ Плес пер А. И., Спектральная теория линейных операторов, «Наука» (печатается). 26. П о н т р я г и н Л. С., Основы комбинаторной топологии, ГТТИ, 1947.
27. Рисс Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954. 28. Рихтма Пер Р. Л., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ, 1960. 29, Слл прион В. И., Курс высшей математики, т. Ч, Физматгиз, 195. 30. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, ЛГУ, 1950. 31. Т и т ч м а р ш В., Введение в теорию интегралов Фурье, ГТТИ. 1948. 32. Урыс он П. С.. Труды по тополе~ни и другим областям математики, т.
1, ГТТИ, 1951. ЗЗ. У и т е к к е р В. и В а те о н Г., Курс современного анализа, ч. !1, изд. 2-е, Физматгиз, 1963. 34. Хаусдорф Ф., Теория множеств, ОНТИ, 1937 (Приложение). 35, Хилл В. и Филлипс Р., Функциональный анализ и полу- группы, ИЛ, 1962. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абстрактная функция 406 — †, дифференцирование 408 — †, интегрирование 415 — †, Формула Тейлора 457 Аксиома проиэволыюго выбора 4Цер.
мело) 14 — тождества 15 — треугольник» 15 Аксиомы гильбертова пространства 83 — метрики 15 — нормы 68 Аппроксимация конечноразностная 427 — — сходящаяся 427 — — устойчива» 426 Арчела теорема 2Э6 Базис 61, 60, 164 — оргонормальный 92 Банаха пространство 68, 247 — таорема 159 Запаха — Мазура теорема ЖО Запаха — Хана теорема 173 Вязана — Штейнхауса теорема 149, 172 Бесконечнамерное многообразие 62 Бесселя неравенство 91 Билинейная врмитова форма 307 Биортогональные последовательности 179, 208 Боля — Браувра теорема 505 Вариация 477 Вектор, длина 63 —, норма 83 Векторное пространство 58 Верхняя граница 13 — грань 13 Вещественное линейное пространство 56 Взаимно однозначное отображение 12 Вложеии» оператор 295 — теорема С.
Л. Соболева 119 Внутреянее пРоизведение 207 Внутренняя тачка 78 Вполне непрерывный оператор 261, 287 — упорядоченное множество 14 Всюду плотное множества щ Выпуклое множество 70 Гаго дифференциал 434, 435 Гельдера неравенство для интегралов 496 — сумм 497 Гильберта теорема 246 — функциональное уравнение 389 Гильбертово пространство 27, 83. 84, 194. 198, 200 — — координатное 27. 84, 187, 198. 223 — †.основной параллелепипед 233 Гипермзксимальный оператор 369 Гиперплоскость !в линейном про.
странстве) 145 Гоиеаморфиэм 18 Граница веркина 13 — нижняя 13 Грань верхняя 13 — нижняя 13 График оператора 356 Евклидова пространстпо 19. 30. 53, 58. 68, 180, 198, 199, 223, 423 Задача изопернметрпческая 492 Замкнутая ортонорь~альная система 91 Замкнутое множество 18. 78 — расширение минимальное 354 Замкнутый оператор 353 шар 17 Замыкание 17, 78 — оператора 354 Значение собственное 162 Изометричные пространства 33 Изоморфные пространства 59, 72 Ивопериметрическая задача 492 Инвариантное подпространство Э58 327, Дефекта индексы 364 Дефектные еодпростра стза Щ4 Диаметр множества 41 Дифференциал высшего порядка 4зб — — — последовательный 459 — — — сильный 458 — — — — равномерный 459 — Гаго 434, 435 — сильный 434 — слабый 434.
435 — Фреше 434 Дифференцирование абстрактнык функций 408 Дифференцирования оператор 393 Длина вектора 83 Дополнение 18 — ортогональное 88 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Ивволюция 66 Индексы дефекта 364 Интеграл Римана 416 — Стнльтьеса 372 Интегрирование абстрактных функций 415 Кагшора теорема 223 Касательное многообразие 430 Квадратична» форме 452 — эрмитова форма 3124 Квадратный корень нэ положительного оператора 320 Квадратурнвя формула 213 Ковариантиый элемент !81 Колмогорова теорема 81, 245 Кольцо операторов !27 Компактное множество 222 — пространство 223 Компактность 222 — в себе 222 †, критерии 236 †2 — слабая 254 Компактный оператор 267 Комплексное линейное пространство 58 — пространство 26 Кондрашова теорема 295 Коиечнамерное многообразие 6! Конечноразностнея аппроксимация 427 — — сходящаяся 427 — — устойчивая 428 Контравариантиый элемент 181 К ус 270 — нормальнмй 260 Координатное гильбертово пространство 27, 84, 187, !98, 823 Корректно поставленна» задача 425 Коэффициенты Фурье 90 Красносельского теорема 246 Кратность собственного значении 285 Крейна теорема МО Критерии компактности 236 †2 Кронскера символ 89 Лаков теорема 428 Левый обратный оператор 128.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
