1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 69
Текст из файла (страница 69)
[26). 11!. тсопеыА БОля — БРАуэРА хг г чисел 1 или 7, и т. д. Наконец, если х лежит внУтРи за (не принадлежит ни одной й-мерной грани, й = О, 1, ... ..., и — 1), то ф(х) мо1кет равняться любому из и+ 1 чисел О, 1, 2, ..., п, Назовем 1р(х) нормальной функцией вершин, Симплекс з нашего разбиения назовем репрезентативным, если его вершинам отнесены н+! различных чисел 0,1,2,...,а. На рис.
7 мы «риводим разбиение двумерного симплекса с указанным отнесением вершинам симплексов разбиений чисел О. 1, 2. Заштрихованный треугольник есть репрезентативный симплекс. ! Лемма 1 (Шперн е р а). Каково бы ни было симнлициальное разбиение симнлекса за 17 и какова бы ни была 17 нормальная функция вер1иин ф(х), заданная Рис. 7. на вершинах симнлексов разбиений, всегда существуют реярезентативные йимнлексы и притом в нечетном числе. Доказательство проводится по индукции. Для случая и = О, когда симплекс сводится к точке.
теорема тривиальна. Считая теорему верной для симплексов и — 1 измерений, локажем ее для симплексов и измерений. Пусть дано симплициальное разбиение н-мерного симплекса з и на вершинах х симплексов з разбиения определена нормальйая функция вершин ц1(х). Назовем (н — 1)-мерной репрезентативной гранью (н — 1)-мерную грань симплексов разбиения, на и вершинах которой функция ф(х) принимает значения О, 1, ..., н — 1.
Число (н — 1)-мерных !репрезентативных граней симплекса з разбиения обозначим через а(з). Возможны три случая. 1. функция гр(х) на вершинах симплекса з, принимает все я + 1 значений О, 1, 2, ..., и. т. е. з, — репрезентативный симплекс и он содержит единственную репрезентативную (и — 1)-мерную грань, а именно противоположную цополнгння вершине х, для которой >р(х) =и. Отсюда а(я,) =1 и ~ч'., а (я,) = р„, где р„— число репрезентативных и-мерных симплексов; сумма в левой части равенства берется по всем репрезентативным симплексам.
2. функция >р(х) на вершинах нерепрезентативного симплекса яя принимает и значений О, 1. 2, ..., и — 1. Одно из этих значений она должна принимать два раза. Следовательно, яя имеет две репрезентативные (и — 1)-мсрные грани, а(я,) =2. 3. Функция гр(х) на вершинах симплекса яз выпускаег одно из значений О, 1, 2,..., и — 1; следовательно, а(яз) = О.
Отсюда ~~'., а(я) =~> а(я,) (шос! 2). (2) Левая сумма берется по всем и-мерным симплексам я разбиения, правая по репрезентативным и-мерным симплексам я, этого разбиения. Произведем другой подсчет (и — 1)-мерных репрезентативных граней. Возможны два случая. 1.
Репрезентативная грань попадает внутрь основного симплекса яэ, она есть общая грань двух симплексов разбиений, и в сумме ~ а(я) мы ее считали два раза. 2. Репрезентативная грань попадает на границу яв. Из определения такой грани и функции гр(х) следует, что она может находиться только на (и — 1)-мерной грани (хэ, х,, .... х„ ,) основного симплекса. Обозначим через р„ , число (и — 1)-мерных репрезентативных граней, попавших на (хе, хп..., х„,). Имеем ~~Л~ а (я) = =о„, (вод 2). (3) Из (1), (2), (3) следует р„—.= р„, (шос$2).
Но для (и — 1)-мерных симплексов мы считаем лемму доказанной, р„, нечетно и, следовательно, р„нечетно и потому отлично от нуля. Лемма полностью доказана. 1!!. ТБОРемА Боля — БРАузРА Лемма 2. Пусть симплекс гь покрыт и+1 замкнутыми множествами Ры Р,, ..., Р„таким образом, ч по каждая его и-мерная грань (х1, х1, ..., х! ) поо' Р ь крыта множествами Р;, Рг, ..., Р; .
При втгих условиях в га существует точна, принадлежащая всем и+ 1 множествалг Ро 1'= — О, 1, ..., и. Разобьем г„симплициально и на вершинах х симплексов разбиений определим следующую функцию !р(х): рассмотри ч грань (х1, х1, ..., хг ), О-(й (п наименьшего числа измерений, заключающую точку х. Эга точка попадет в одно из множеств Р1, Р1,..., Р;, покрывающих гх1, хг,..., х! ), Примем гр(х) равным индексу того из этих множеств, которое содержит х (или любому из таких индексов, если точка попала в несколько из множеств Рг, Р1, ..., Р; 1. Ясно, что гр(х) есть нормальная функцию вершин.
В силу леммы Шпернера среди симплексов нашего разбиения должен существовать репрезентативный симплекс гн На его вершинах х функция гр(х) принимает все и+1 значений О, 1, ..., п, т. е. вершины г, принадлежат и+1 различным множествам Ро Будем производить симплициальное разбиение гь на все более и более мелкие симплексы. Пусть диаметры симплексов т-го разбиения не превосходят Ь, где Ь вЂ” УО при т ч-ь оо. Рассмотрим последовательность репрезентативных снмплексов,1г1, гз, ..., гт, ... 1-го, 2-го, ..., разбиений. Вследствие компактности гь множество вершин симплексов !г ) имеет предельную точку х*.
Выбрав произвольное Ь ) О, рассмотрим те симплексы г , для которых б Ь б ( —. В шар радиуса — с центром в х' попадет по край- 2' 2 ней мере одна вершина одного из симплексов г, а следовательно, в шар радиуса б вокруг х' все и+1 вершин такого симплекса. Так как вершины г принадлежат и+1 различным множествам Р, Р,, ..., Р„, то в любой б-окрестности х' найдутся точки всех множеств Р,, 1= О, 1, ..., п. Следовательно, х* есть предельная точка для всех Ро а так как Р, замкнуты, то х* принадлежит всем Рг, ! = О, 1,..., и. Теорема Боля — Б рауэ ра. При всяком непрерывном отображении у (х) и-мерного симплекса г в себя существует неподвижная тонг!а этого отображения, т. е.
дополнения точка х'~г такая, что у гх*) = х'. Введем на г барицентрические координаты и ро И1 ро Х р~=1 г=о Дла точек г все Р, )~ О. ПУсть точка х1Ро, нп..., Р„) ~ г перейдет при преобразовании У в точку у(то, и,, ..., ч„) ~г, л у=у гх). Снова ~ ч,=1, о,.) О, 1=1, 2, ..., и. Пусть о=о точка х1по, рп ..., р„) лежит на грани (хс, хо, ..., х~„), О (я (и. Координаты р1 точки х при У~то, 1п ..., 1 равны нулю. Так как 1=п, +р, + ... +)т, =~о;) чг +у~ + ...
+т 'о '~ 'о о о ' ' 'о то невозможно одновременное выполнение неравенств Ро (т! 1г! (тг ' " Ро (чо 'о о 1 1 о о и по крайней мере для одной из этих координат будем иметь 1тг )~то О 'Г Поэтому если обозначить через Р, множество точек, у которых координата р, не возрастает при преобразовании /, то всякая точка х грани (х;,, х~, ..., х~„) покроется одним из множеств Р;, Р;, ..., Р~ Множества Р, удовлетворяют всем условиям предыдущей леммы *). ПоэтомУ на г сУществУет точка х*(ио, Р,,..., )о„), принадлежащая всем этим множествам. Ни одна из координат р*, при преобразовании у не возрастает, и если г"(х') = =у" 1т', ч,*, ..., т'„), то )т )~тн 1=0, 1, ..., и. (4) ~) Замкнутость Ро следует из непрерывности у'. !!!. ТеОРемА БОля — БРАуэРА Из (4) и свойств барицентрическик координат вытекает, что Теперь из (4) и (5) следует, что 1А'!=Уг, 1=0, 1, ..., и, т.
е. у(х*)= к*, и, следовательно, точка х" есть неподвижная точка преобразования. Теорема Боля — Брауэра доказана. Следствие. При непрерывном отображении ограниченного замкнутого выпуклого тела $ л-мерного банахова лространства Е в себя существует неаодвизкная точка. Пусть ен ег...., е„— базис в Е. Элементу х = Е!е! + ;-гег + ... + ;„е„ отнесем точку х= !С!, Бг, ..., Э„) ЕЕ„, где Е„ есть а-мерное евклидова пространство.
Это соответствие !р изометрнчно и нзоморфно и переводит замкнутое выпуклое множество $г=.Е в замкнутое выпуклое множество $~Е„. Пусть У в непрерывное отображение $ в себя. Тогда У = !ру' гр ' есть непрерывное отображение $ в себя. По теореме Боля — Брауэра существует неподвижная точка х' этого отображения !ру'гр ' (х') = х*. Но тогда угр !(х').=гр '(х*) и х'=<р '(х*) есть неподвижная точка отображения у; дополнения 17.
Два определения и-й производной функции вещественного переменного Существуют два определения и-й производной числовой функции х(г) в точке г. 1. Введем обозначение ьых (г) '1»', ( — П с„х(г+ (и ~) ьг'~ а=о и назовем Ьл>х(г) Пентрпрованной разностью п-го по- рядка функции х(г) в точке г. Тогда положим хт'(Г) = >>гп — е Ьа>х(Г) а<.+о (ы) в предположении, что этот предел существует. Если указанная центрированная разность стремится к х<">(Г) равномерно иа отрезке а ( г (Ь, то х<">(г) называется равномерной разностной производной п-го порядка. 2.
Определим последовательную и-ю производную функции х(г), обозначив ее х<">(Г)з, п-кратным последовательным дифференцированием функции х(Г) в предположении, что все предшествующие производные х'(Г)е, х" (Г)е...., х<" '> (г)е определены в окрестности точки г. Пусть х<н>(Г)а определена на отрезке а (Г (Ь и непрерывна. Тогда существует х<">(Г), причем х<"> (г) = х<"> (>)а. В самом деле, как легко видеть, — Ь"„х(Г) = х'Ю(Г+ВЛГ),, — —" ( Е ( — ". (ы)" 2 2' Так как при Лà — ьО правая часть равномерно стремится к х<">(г)а, то х'"> (Г) = Иш — „Ьа<х (Г) = х<" (Г)а. ы.+о (ЬГ)" Можно доказать и обратное предложение — из существования на некотором отрезке непрерывной равномерной разностной производной х<">(Г) следует существование на этом !Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
