1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В самом деле, у (х+ г!) = у (х)+ Р„(л), 9> (х+ л) = <р (х)+ !)„(Л), где Р,(Ь) и Я„(г!) суть многочлены и-й степени по Ь: и л Рл (л) = ~ а» (х) Ь~, Д„(Ую) = ~ Ьа (х) Ь", причем коэффициенты ал(х) и д„(х) — непрерывные функции от х. Отсюда у (х + й) <р (х + )г) = г" (х) <р (х) + + [У (х) (;)„(й)+ Р„(й) <р (х) + Р„(Ь) (;!„(Ь)1. Выражение. стоящее в скобках, есть многочлен с коэффициентами, являющимися непрерывными функциями от х. Отбросив члены, содержащие л в степени выше л-й, получим многочлен й„(й) = Х са(х)ьа «=1 с коэффициентами, являющимися непрерывными функциями от х: У (хл (л)+Р (!!) !р (х)+ Р (гг) а (л) Ь гт (!г), Поэтому у (х+ Ь) ср(х+ л)-/ (х) <р(х) +)т„(л), (9) и равенство (9) доказывает, что Р (х) = У (х) гр (х) есть п раз непрерывно дифференцируемая функция от х.
з и диеееввнцивовлние еянкции двтх пьяеменных Заметим в заключение, что для функционалов, определенных в комплексных линейных пространствах, из существования первого дифференциала в окрестности некоторой точки слелует существование в ней всех дифференциалов высшего порядка, з также представимость функционала аналогом ряда Тейлора. $7. Дифференцирование функций двух переменных Рассмотрим функцию двух переменных ор(х, у), где х Е Е, у~Е, ор(х, у)~Е,.
Можно рассматривать (х. у) как элемент прямой суммы Е ЯЕ„пространств Е и Е„. Функция ~р(х, у) называется п раз дифференцируемод в точке (хо, уо), если ф(хо+" уо+й') 'Р(хо уо) и а1(а К)+ (а я) +а (л, е)т+ ... +аь(й, д)". К = У (хо+ й) — У(хо) У (хо+ ") = уо+ У и Л Р„(Ь)= а,й+а,до+- ... -+а„й".
то Тогда ||я|| = 0(||й||), а аначит, . ||(д. я)|| = ||й||+ ||я|| = О(||)г||). (2) Здесь а„(й, д)ь — однородные формы )г-й степени элемента (й, д) ~ Е„Щ Еж Очевилно, а„(й, д)ь есть сумма и-линейных форм вида аьй,ит ... йь, где каждое из Ьь равно а или д.
Т е о р е и а. Если ф (х, у) есть л раз дифференцируемая функция в точке (хо, уо) и у=г (х) есть л раз дифференцируемая функция х в точке хо, причем уо= Г'(хо), то оо(х, Г(х)) есть я раз дифференцируемая функция от х лри х = хо. В самом деле, если 466 АнАлиз В линейных НРостРАнствАх !Гл. РП1 Так как ф(х, у) есть и раз днфференнируемая функция (х, у), то И ф(хо+И Ую+К) — ф(до Уо)7а!(И И')+а2(й К)'+ ...
+а„(И, д)" (3) ( мы в силу (2) заменили в (3) символическое равенство (И. е) ИЪ символическим равенством =). Но поскольку из (1) след)' дует, что ад(И, д')" ад(И, Р„(И))д, то 'р(хо+ И уо+ а) 'р(хо уо)=„~ ад(И, Р„(й) )", (4) 2=1 где ад(И, Р„(Ь)) есть сумма членов вида адй,й,,... Ид, в которых каждое й1 равно И или Р„(И). Поэтому ад(Ь, Р„(И))д, а следовательно, и вся сумма в (4), есть многочлен относительно й. Отбрасывая в нем члены степени выше и относительно И, мы получим многочлен )с,(И) степени и относительно И, для которого и 22 (И) И ~~~~~ (! Р (И) )д Д=1 Итак 'Р(до+И уо+К) ф(хо уо)=агсо(И) И что и требовалось доказать.
Введем теперь понятие частных производных функций двух переменных. Имеем 22!р !(хо Уо)' (И К)! = а1 (И К) = а!И+ а2У 22 !р((хо Уо)1 (И Ю)! =аз(И К)'=- = анй + а12ИК+ аз!ай+ а220' и т. д. Введем обозначения а, =!р' (хо, у ), аи гртк 1хо' уо)' теопемл о неявных етнкцнях Имеем а — «1 'Р(хо+2И уо)!1=о = ае ф(хо' уо+~Ю)! =о' а2 2 1Р(хо+ 2И Уо)11-у д' = дт,де ф(хо+11И. Уо+12К)!1, 1,=о д2 ф(хо+11И, УО+ ~як) 11 1=и й2 ф (х уо+ РЕ) 4- ° а,И = 1р'И аф'= ф ф' а И2=1р" И2 11 а12Ий=ф" Ии а21дИ = 1р" иИ К~ =ф А'~ УУ ит.
д. Если ф(х, у) имеет непрерывный по (х, у) второй дифд д ференциал, то а12Ик = а21дИ, так как операции — и— дт1 два переместительны, если д2 — ф(х +11И, УО+.1 а) является непрерывной функцией от 21 и 22. ф 8. Теорема о неявных функциях у=У(х) (2) Рассмотрим прямую сумму Е»ЩЕ пространств Е» и Е„ и оператор ф(х, у), переводящий Е Щ Еа в Е;. х ц Е», у Е Ет, х=ф(х у)цЕ' Будем считать, что 1) 'Р (хо Уо) = О (1) 2) ф(х, у) непрерывен в окрестности точки (хо, уо), 3) ф(х, у) имеет непрерывную производную ф' (х, у) в окрестности точки (хо, уо) и существует ~ф'(хо, у )) Теорема 1. При выполнении условий 1) — 3) существуют положительные константы Ь и е и оператор у =у'(х), х ~ Е„, у Е Ет, определенный в окрестности ~)х — хо)~ (Ь точки х, и такой, что уравнение 46$ АнАлиз В линейных ЙРостРАнствлх !Гл.
шн равносильно в некоторой окрестности тонки хе уравнению гр(х, у) = О, (3) т. е. каждая пара (х, у), /)х — хе!! < 3, удовлетворяюиеая уравнению (2), удовлетворяет также и уравнению (3), и обратно, каждая пара (х, у), удовлетворяюивая уравнению (3) при [!х — хе/! (Ь, !)у — уе!! ( е, удовлетворяет уравнению (2). Оператор ~(х) непрерывен по х и Г(хо)=Уз. Ло казате льство. Уравнение (3) равносильно следующему уравнению: У=А(х, у), (4) где оператор А (х, у) определяешься равенством А (х.
У) = У вЂ” [~Р,' [хо, Уе)1 ' гР (х, У). (5) Лля доказательства сушествования и единственности решения уравнения (4) применим принцип сжатых отображений. Так как дА (х, у) = à — [р,'[хе уе)[ Ч,'(. У) = = [<р' (х, у )! [~р' (х, у ) — <р,',(х, у)[, то ~~(б(г) (!!х — хе!1~(г ![У вЂ” Уе!!~(г) где о(г) — ьО при г — ьО (6) в силу предположенной непрерывности ~р'(х, у). т . Г!оэтому оператор А(х, у) удовлетворяет условию Липшица по у )!А(х, у,) — А(х уе)!!«(р(г) !!уг — уе~! ° (7) !(х — хо!! (г !!Уг уе!1~~. г Лалее [[А(х, Уо) Уе[[~([![гр (хе' Уе)[ ![[!ф( Уе)!!~~р(г) Цх — хе![:.' г), Эз1 ТЕОРЕМЛ О НЕЯВНЫХ ФУНКНИЯХ где (8) р(г)-УО при г-ь0 в силу непрерывности ~р(х, у) и условия ~р(хе, уе) =О. Выберем число е ) 0 настолько малым, чтобы д(е) = = д ( 1, — это возможно сделать в силу (8).
Из неравенства (7) вытекает, что при (1х — хе~/(е оператор А(х, у) на шаре !!у — уе/!-...е пространства Е„является оператором сжатия. Выберем теперь 6~(е настолько малым, чтобы р (6) ~( (1 — д) е. Тогда при 11х — хе!(~(6 оператор А(х, у) отображает шар 1!у — уе!! < е в себя и уравнение (4) имеет единственное решение в шар 11у — уе)(-~е. Обозначим это решение через у = у(х). Мы видим, что у = у (х ). Йля завершения доказательства теоремы нам осталось показать, что оператор 7 (х) является непрерывным. Имеем 7 (х) = А (х, 7' (х) ), откуда !(7'(х) — 7 (хо)!1~(!!А(х, г" (х)) — А(х, 7'(хо))!1+ + (/А (х, ~(хо)) — А(хо У(хо))!!.(д !!У(х) — у(хо)!! + +!!!'Р'1" У.)! !!!!'Р( У)!! и, следовательно, 1!.Г(х) — /(хо)!1~( 1 !! [ср'(хы уо)! !)!!гр(х' уо)!!' (У) гды видим, что оператор 7'(х) непрерывен в точке хе.
Аналогичным образок проводится доказательство непрерывности в других точках окрестности )!х — хе~!~~6. Теорема доказана. Замечание 1. Согласно принципу сжатых отображений оператор 7" (х) может быть получен как предел последовательности операторов у= — 7'„(х), ~!х — хо!! ~(6 !!,ге(х) — уе()~(е, определяемых равенствами 7 о (х) == уо У ( ) — У вЂ” (х) — !'Ру(" Уе)! Р( Уа,( )), (10) lг=!, 2,... 470 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЪ!Х ПРОСТРАНСТВАХ |ГЛ. ЧП! При этом имеет место следующая оценка скорости сходимости: !||У(х) — гь(хН!~< 1 1((~ф'(хе, у)] '))((ф(х, у))!.
(11) 3 а м е ч а н и е 2. Если дополнительно известно, что в рассматриваемой окрестности ф'(х, у) существует и ограничена, ((ф„'(х, у)(~ (а. то справедлива оценка У( ') — У(хз)Ы с! 1~» — хо~! (12) Действительно, в этом случае )(ф(х, уе)((=()ф(х, уо) — |р(хо уо)()-(а Зх — хо!1 и неравенство (9) дает требуемый результат. Замечание 3. Пусть |р„'(х, у) ограничена, ~~ф„'(х, у) )) (ц и ф'(х, у) удовлетворяет неравенству й|р„'(х, у) — |р'(хе, уе)й < 2 х — х ))+Ь|)у — у (), (13) Тогда справедлива следующая оценка быстроты сходимости: !!У(х) — Уь(ЛН~ < сг ~!х — хе!1' И(х уе)~~ (14) Те о р ем а 2. Пусть в условиях теоремы 1 оператор ф(х, у) является и раз дифференцируемой функцией в некоторой окрестности точки (хе, уз) из Е ЦЕю Тогда оператор у=с(х) — также и раз дифферейцируемая функция х в б-окрестности точки хе.
Предположим сначала, что ф(х, у) является многочленом |р (х, у) = ~ аь (х — хз, у — уз)ь. ь=! Положим х — хе=д, у — уз=и, У(х)=уз+и(Ь). Тогда оператор и(Ь) может быть получен как Предел последовательных приближений ие(Ь) = О. иь (Ь) = и„, (Ь) — В 'ф (хо+ Ь, Уо+ иь ! (Ь) ), В=ф (хз уе) Так как результат подстановки многочлена в многочлен снова приводит к многочлену, то методом математической 471 4 в1 теОРемл О неявных Фянкгн1ях индукции убеждаемся в тои, что все а (л) являются много- членами от л. В нашем случае все частные производные первого и втоРого порядков функции ф(х, у) непрерывны, а следовательно, и ограничены в некоторой окрестности точки (хе, Уе) ° Поэтому (сы.
замечание 3) !!и (Ь) — и„(й) !! ( ЕД!й /!" !/ф(хе+ Ь Уо) !!. Так как и„(й) является многочленом, а !/гр(хе+ й, у,)!! — «О при !/й!!-«О, то последнее неравенство означает, что и(й) а раз днфференцнруема в точке л =О. Следовательно, У=Г(х) а раз дифференцируема в точке х= хе.
Перейдем к общему случаю. По условию теоремы ф(х У) =ф(х У)+(!!х — хе!!+!!У вЂ” Уе!!)" ы(х — хе У вЂ” Уе) где 'р(х у)= Х пе(х хо у — уо) и !!Ет(х — хе, у — у„),'! — »О при !!х — хе!!, !!у — уе!!-«О. Так как функция ф(х, у) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и является многочленом, то существует л раз дифференцнруемый оператор Г (х), для которого ф(х, Г (х))=-0. Из тождеств ~(х) =В '(Вг" (х) — ф(х, г (х))). р(х)=В (Вг'(х) — ф(х, р(х))) получаем, что /! г (х) — ут(х) !! ~ !! В ' /! ~/В (г (х) — г (х) ) — ф (х, р (х) ) + -+ <р (х, р (х) ) — ф (х, г" (х) ) + р (х, р (х) ) !! ( ( ! ! В ' !! !! В (р (х) — г' (х) ) — (ф (х, г' (х) ) — ф (х, г (х) ) ) ! /+ +!/В '/!!!ф(х, Р(х)) — ф(х, Р(х))!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
