1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Тогда !а+Ь! (!а!+!Ь!. Рассмотрим два случаш 1) !а!) !Ь!, тогда ! а + Ь , '( 2 ! а ! ! а+Ь !» (2» ! а !» «(2»(! а !»+ !Ь !»); 2) !Ь!)~!а!, тогда ! а+Ь!» (2»! Ь!» (2»(! а !»+!Ь!»). Таким образом, всегда !а+Ь!» ( 2»(!а !»+! Ь»). Положив теперь а=х(с), Ь=у(с), получим !х(С)+у(1) !» (2» (! х(Г) !»+ ! у(1) !»). дополнания Так как ! ! х (1) !» г(1 < со и ! ! у (1) !» »11 < оо, то и У ! х (1) + у (1) !» Ж < о что и требовалось доказать.
Пусть дано множество числовых последовательностей х = Я,! таких, что Х !~ !'< Обозначим зто множество через 1». Совершенно так же, как и в предыдущем случае, убеждаемся в том, что если к~1» и у~1», то к+ уб1, т. е. если х=(з]. у=(Ч~!. Х!сг!'< Х!кй!'< то Х ! $г+ т(г !' < Неравенство Гельдера. В различных математических исследованиях широко используется известное неравенство Буняковского. Мы установим сейчас обобщение итого неравенства, принадлежащее Гельдеру. Рассмотрим функцию т = 1', где а ) О. Имеем т'=а1" ') О при 1) О.
Значит, т= 1~ — возрастающая функция для положительных 1, и потому для таких 1 определена однозначная функ- 1 ция 1 та 495 1. КЛАССЫ Ср. Р)1 Построим график функции т= Га; возьмем два вещественных положительных числа 9 и т), построим соответствующие точки на осях ! и т н проведем через зти точки прямые, и параллельные осям. Получим два криволинейных треугольника (рис. 6). площади кото- " рых суть соответственно 1 †.! 1 ч а+1 1 о 1 — -11 5а ь! Ча ~2) ( а+1+ ! а Положим а + 1 = р, — + 1 = л. Инеем 1 а 1 1 — + — = 1. Р ч Числа р и д, связанные соотношением (1), назовем сопряженны.ни друг другу.
Очевидно, при Р) 1 также д р 1. Итак, для любых $ и т) и пары сопряженных чисел р и д имеем ср 1!! ( — + —. Р ч (2) Возьмем две функции: х(1) С Ер(0, 1) и у(1) ~ Ьр(0, 1), и положим 1л (г) 1 1 У (г) 1 и т)= 1 < 1 )~но! ~~~ о С другой стороны, очевидно Рн б ~1 + ~2 ~~ ь2)' причем равенство имеет место лишь при г) =,',а. Таким образом, дополнения Подставляя эти величины в (2), найдем ! х (!) ! ! у (1) ! ! ! ')о й~)х(ГИядг~ ~)' )у(1))одг~ о )х(1) )я ! у(!) )о ! рб~ ! х (1) )я дг о О~ ! у (!) )о Л! В правой части стоит сучмируемая функция.
Значит, функ- ция, стоящая в левой части, также суммируема. Интегрируя. найдем Полученное неравенство есть неравенство Гальдера для интегралов. В частном случае при р=д=2 оно обращается в неравенство Буняковского. Пусть теперь х = Я!), у = )т)!) и х ~ 1р, у Е1 . Положим в неравенстве (2) )ч;! Х )г;!' ~!ь!' Получим )гг)!"!! ! (д» )' (х~,~ )' ( ! ! ! )сг!' )н!)' р~%!' ) Х )пг)о ! !' !=1 ! !х(!) ))у(!) )дг 1 1 ( — + — — ' ! (' !) ( '!о ) 1х (1) )Я д!) Ц' ! у (!) )о лг~ о или ! ! ! / ! '!р1 ' ~ )х(1)у(1))д1 (! ~) )х(1))яд ! ~/ )у(1))од1! . (3) о о о т. клАссы гр.
Ри! Суммируя по 1 аналогично предыдущему, получим неравен- с тв о Гельде р а длд сумм также обращающееся при р=д=2 в неравенство Буняковского для сумм. Неравенство Минковского. Пусть х (1) и у(1) принадлежат т'.р(0, 1). Покажем, что тогда 1 1 1 'тр / ~)хФ+у(1)'1 г)1~ (~/ 1х(Г)( аг~ + о о 1 1 +~~ )у(1)~рж! . (5) о Для доказательства заметим прежде всего. что если (1)Е1р(01)тоя(1))~Го(01) В самом деле, откуда и следует, что () г(Е)!р ) — сумиируеиая функция.
рассмотрим, далее, интеграл ~(х(Г)+у(1)! ж. о Применяя два раза неравенство Гельдера к функциям «(1)+) (()~ ЕЕ.о(0, 1) и х(Г)ЕЕ.р(0, 1) 498 ДОПОЛНЕНИЯ или у(?)~ ?.„(О, 1), получим ) )х(г).+у(?)) ~?? ( / ) х(?)+у(?)!' ') х(г)) а??+ о о 1 + ) ! х (?) + у (?) )е ! у (г) ) ?? ( о ! 1 1 )е ?? Г?? ' < ) ! (г) + у (?) )' '~ 'г??) ~ ~ ) (г) ) г?? ~ + о о 1 ! 1 ?' ' ?' ?я + ~ ~ ) х(г)+у(?) )! > ?г ! ~ /') у (?) ) г,??) хо о 1 1 ! 1 '(е) !? Г)'?' ' '!я / l ' 'й1 (~) х(?)+у(?))ег??) ~~ ! ) )х(?)!'с??) ~+! ~)у(?))ег??~ хо о о Деля обе части этого неравенства па 1 с 1 ) ) х (С) + у (?) ) е Л~ о ! 1 и вамечая, что 1 — — = —, приходим к нераеенслгеу Мин- 9 Р ковского длн интегралов (5).
Пусть теперь х=- );-;) Е? и у= )т);) ~?р. Покажем, что Совершенно так же как и в случае интегралов, убеждаемся в том, что если г= )ь,) Е?„, то г !)),)л ~)~? Рассмотрим 11. непРеРыВ!гость В сРеднем ФункциЙ класса ! (о! 499 'р Применяя неравенство Гельдера два раза к иоследовательностям (]я!+1)1]Р ] ц(в и ]$1] ~(р, соответственно ]т)1] ц1р, имееи СО Ш О Х ] гь + ч1]р < Х ] гь! + !11 ]р ] еь! ] + Х ] гь!+' 111] ] 111] < 1 1 1 -(Е ~и!- ! -'"]' [[В ~1,1 )'~-[д).,~ ]']= 1 1 1 =(е~с —;ъг]![Я1ьг]'-!1(г г]'].
Отсюда, деля обе части етого неравенства на 1 ~х]~,~.,] )' и замечая, что 1 1 1 — — =— ч р получаем неравенство Минковского длн сумм (6). В заключение отметим, что знак равенства в формулах (5) и (6) имеет место, лишь если у (1) = йх (Г), й > О, почти всюду на [О, 1) и соответственно т)1=йаг, й>0, 1=1, 2, 3, Все полученные неравенства легко переносятся на случай функций многих независимых переменных. П. Непрерывность в среднем функций класса Хр(О) Обозначим через Ь (О) класс функций гр(х, у), определенных в плоской области О, с интегрируемой р-й степенью, р > 1.
В 1. (О) можно ввести норму: ]]!р]] = Я] !р" ] !!ха!у) о. дополнения Свойства классов и пространств Ар(О, 1), неравенства Гельдера, Минковского, полнота и т. д. непосредственно переносятся на Ер(0). 'Докажем одну теорему, которая обычно не излагается в курсах теории функциИ вещественного переменного. те о рема.
лньбая функиия ф(х, у) Е гр(0) неарерывна в среднем, т. е. для любого е ) О могкно найти Ь ) О такое, что всякий раз когда рйг+Иг (Ь. При этом если точка (х+И, у+И) оказывается вне области О, мы полагаем !р(х+ И, у+И) =О. Пусть Нр — граничная полоса, состоящая из точек области О, удаленных от ее границы на расстояние, не превышающее р, н Ор — — О ', Н„. Будем считать р настолько малым, что шез(Нр) < т1, где г) — некоторое наперед заданное положительное число (границу области О мы считаем достаточно гладкой). Так как на Ор функция !р(х, у) ~ Ер(0р) суммируема, то по ! теореме Лузина найдется замкнутое множество Рч~Ор такое, что на Р„функция гр (х, у) непрерывна и шез (Оо '~ Р')(т1.
При этом, очевидно, шез (О ", Р„)< 2ц. Пусть И и И удовлетворяют условию )г Из+Из (р. Для фиксированных И и И, удовлетворяющих этому условию, обозначим через Р„множество точек вида (х — И, у — И). г где (х, у) пробегает Рте Ясно, что Рч~О, что иножество Р„ ! г г замкнуто, так как оно получено из Р„ сдвигом на вектор ! Г= ( — И, — И), и что шез (Р„) = шез (Р„). Поэтому также - (О ~ Р'„) ( 2Ч. Пусть, наконец, Р„= Р„П Г .
Тогда Є— замкнутое множество, и на Р„функция ср(х. у) непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Кроме того, шез (О ~ Рч) = шез ((О ~ Р ) () (О ~ Рч)) < шез (О ~ Р'„) + + щез (О ~ Гг) < 4г). и, непРеРЫВность В спеднем Функгн!п клАссА ср!о! 501 Будем считать теперь 1) настолько малым, что для заданного е) О всякий раз, когда Ег=О и п1ев1Е) < 4!1.
Оценим интеграл ) Г~аа .1.а. а-1-аа — аа*. а1!'а аа)а. а Имеем 1 ())~аа '-а. аа-аа — а! ааг» ааа)а< 1О 1 <(~~! р1х+Ь, у+д) — р1х, у)~ «хну)" + '! !ч 1 -а~ )')"!а! -';а аа-аа'а аа)а»- 1 -а~ 11!аа.. аага аа)а. 'ао~ „ В силу 11) 1 < /! !а!*а-а, а-ааа~ а" аа) а- О' Рч ! ! / ~а1, аа) а аа)' < — '-1- — ' ' . 121 ~о,'ч Будем считать далее Ь < р настолько малым, что при ~/Ьлв.+Й! ( Ь ~ар!х-1- аа, у+ л) — аь1х, у)~ ( 21наев 1<а))Р дополнйния равномерно на гчч. Тогда < ) /1~~ .ьж, ~-ьч — ~(., и) ~.~~)' <т.
<ч лч Из (2) и (3) следует, что ! ~ !ф(х+гг, у+й) — ф(х, у)1»йхау) < е о всякий раз, когда угЫ+нз (Ь, и теорема доказана. Ш. Теорема Боля — Брауэра Мы докажем здесь известную теорему Боля — Брауэра о существовании неподвижной точки при непрерывном отображении замкнутого выпуклого тела и-мерного евклидова пространства в себя.
Эта теорема широко используется в функциональном анализе при доказательстве существования решений операторных уравнений. Так как все замкнутые выпуклые тела п-мерного евклидова пространства гомеоморфны друг другу, то достаточно доказать теорему Воля — Брауэра для непрерывного отображения и-мерного симплекса в себя *). Мы приведем замечательное доказательство этой теоремы, принадлежащее Кнастеру, Куратовскому и Мазуркевичу. Рассмотрим а-мерный симплекс аз и обозначим через хз, хн ..., х„его вершины.
Любую й-мерную грань симплекса (О ~(й ~(и) будем обозначать через (х~, х~, ... ..., х~ ), где хг, лг = О. 1, ..., й, образуют совокупность вершин этой грани. Пусть симплекс аз симплициально рззбит на некоторые симплексы г. Каждой вершине х симплексов а отнесем число ф(х) следующим образом. Рассмотрим грань наименьшего числа измерений основного симплекса зз, содержащую точку х. Пусть это будет грань (хг, хр, ..., хг ). Число ф(х) полагаем равным одномУ из индексов Га, Гн ..., 1а. НапРимеР, если х совпадает с вершиной х, симплекса гз, то ф(х) =1; если х лежит на одномерной грани (х,, хт), не совпадая ни с одной из ее вершин, то мы можем положить ф(х) равным одному из ') Встречающиеся здесь топологические понятия см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
