1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Так как ~у„'(1е, х)] существует, то Ьх = — [у' (1е, х )1 1 Ьу. (8) Уравнение (А — ЛЕ) Лх+ ЛАх — Л),х = 0 можно, например, считать уравнением в вариациях для уравнения (6), если заменить ЛА, Лх, Л), через ЬА, Ьх, Ь)л Ьх= — (А — ).Е), (ЬАх — ЬЛх), Ь),=(ЬАх, х). (7) Применение к дифференциальным уравнениям. Вернемся к дифференциальному уравнению с начальным условием: — = у' (Л х), х (О) = хе. (9) Здесь 7(Л х) и х — элементы пространства Е. Эта задача равносильна интегральному уравнению х (1) — хе — ~ г (т, х (т) ) У г = О. (10) о Обозначим левую часть уравнения (10) через Е(хв, х(1)). Функции х(1)ЕС~ [О, 1[ е), Е(хе, х(1)) — оператор, отображающий прямую сумму ЕЕСГ[О, 1[ в С1 [О, 1[. Если г (Л х) есть и раз дифференцируемая длГ (Г, х) функция от х, причем '„непрерывна по (Г, х), то *) Се есть множество всех непрерывно днфференцируемых фуНКцИЙ Х(г), ГдЕ 4~[0, 1), а Х(Г) ~Е.
478 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ~ГЛ. ЩЦ $91 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 479 х(1) — [ у(т, х(т))дт есть п раз днфференцнруемый операо тор из С1 [О, 1[ в С|а[0, ![. Отсюда следует. что Р(хе, х(г)) есть и раз днфференцнруемый по х (г) оператор. Поскольку хе входит в Р в виде отдельного слагаемого, то Р есть и раз лнфференпируемая функция в ЕЕ[ГС~ [О, 1[. Если х = х (Г) получает приращение Лх = Лх (Г), то главная линейная относительно Лх часть приращения Р (хе, х) будет Р„ Лх = Лх (г) — ~ У„' (т. х (т) ) Лх (т) г1с.
(1 1) о Правая часть (11) есть оператор из С1 [О, 1[ в С| [О. 1[. Этот оператор имеет обратный. В самом деле, для любой у(Г) из С1 [О, 1[ уравнение Рх Лх = у (г) Лх (Г) — [ Г'„' (т, х (т) ) Лх (т) ~й = у (г) о равносильно дифференциальному уравнению относительно Лх (г) "~~() =у'(1, х(г))Лх(г)+у'(Г) и Лх(0)=у(0). Последнее уравнение имеет единственное решение в силу теоремы существования (правая часть лннейна относительно Лх(Г) и, следовательно, условие Липшица относительно Лх автоматически удовлетворяется). Это решение реализует обратный оператор Лх(г)=Лх=[гР„] у(г).
й[ы находимся в условиях применимости теоремы о неявных функциях. 4[О АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ЧН! Решение х = х(г) уравнения (9) может рассматриваться как функция начального значения хе: х = х (Г, хв), причемм х(Г, хв) л раз дифференцируема по хв. В частности, если Е есть и-мерное пространство, то получаем теорему о непрерывно дифференцируемой зависимости решения от начальных данных. й 10. Касательные многообразия Случай прямой суммы.
Пусть функция [р(х) отображает банахово пространство Е„в банахово пространство Ет: х~Е», [р(х)цЕ . Рассмотрим совокупность И точек, удовлетворяющих уравнению ф(х)=0. Положим, что !р(хе) = О, т. е. хв Е Я, и что функция ф(х) непрерывно дифференцируема в окрестности точки х„: 'р (хо+ ") Т ч! (хо) ". Если оператор [р'(хе)~(ń— РЕ ) отображает пространство Е„на все пространство Е, то точку хв будем называть правильной. Будем считать во всем дальнейшем, что точка хе правильная. Обозначим через Т, совокупность элементов И Е Е, для которых [р' (хе) И = О. Те есть подпространство пространства Е. Назовем линейным касательным многообразием Т,, к многообразию Я в точке хв совокупность элементов хв+ И, где И ЕТв.
Рассмотрим сначала случай, когда пространство Е„есть прямая сумма подпространства Те и некоторого подпространства Т[. Каждый элемент хЕЕ имеет вид х=И+(, ИЕТв 1ЕТА. Линейный оператор [р'(хв) отображает Те на все пространство Е„. В самом деле, [р'(хв) отображает Е» на все пространство Е , значит, для всякого у ~ Е» найдется эле- Ь ю1 КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ мент х Е Е„такой, что Ф'(хз)х = у. Но х = И+ ~, И ~ Те ~ ~ Ть и ~р' (хе) И = О. ПоэтомУ р'(хе) % = ~р'(хз) х = у. Определим линейный оператор А из (Ть -+Е ) посредством равенства А ='р (хз)ь. Оператор А в силу только что доказанного отображает Ть на все пространство Е„.
При этом, если $, $, ~ ТЬ и АЬ = А$ы то Э = ЭР В самом деле, пусть А(Э вЂ” Э,)=0, т. е. <р'(хз)(ьь — $,)=0. Отсюда  — $1 6Ть. Но так как Е„есть прямая сумма Те и ТЫ то $ — $,=0, 1=1Р По теореме Банаха оператор А имеет обратный линейный оператор А Те о р ем а 1. Если пространство Е есть прямая сумма подпространств Тз и Т;., то существует топо- логическое, т. е. взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение друг в друга окрестностей точки хз в многообразии 2)( и в линейном касательном многообразии Т е причем соответственные точки удалены друг от друга на расстояние высшего порядка малости сравнительно с их расстоянием до точки касания х.
В окрестности точки хз элементы х имеют вид х = х, + И+ Э, И Е Т,. й Е ТЬ. Уравнение многообразия Ж запишем в виде Ф (И. Ы = ф (хз-+ И+ й) = О. (1) При И=а=О также и Ф(0, 0)=0. Далее, частный дифференциал функции Ф(И, Э), отвечающий приращению Ь$ при И=$=0, имеет вид ФЬ(0, О) Ь~ = гр'(хе)сьй = Ась$ (2) 482 АнАлиз В лннеиных пвостванствлк 1гл. щн Р Оператор А=Фа(0, О) имеет обратный. Поэтому в силу теоремы о неявных функциях в окрестности точки И = О.
Э = 0 уравнение (1) равносильно уравнению $=ф(И), где ф(И) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию ф(0) = О. Таким образом, каждая точка х ~% в окрестности точки хе имеет вид х = хо+ И+ ф(Ь) И ЕТе, ф(И) ц Та. Мы построили, следовательно, отображение точек х = ха+ И окрестности точки хе в Т„на точки х = ха+ И+ф(И) окрестности точки ха в %, которое есть взаимно однозначное и непрерывное (т. е. топологическое) отображение. В силу равенства Фа(0, О) И+Ф, (О, О) ф (О) Ь = Фа(0, О) Ь+ Аф (О) Ь = 0 имеем Ф~(0, И) = ф (О) И = — А Ф» (О, О) И = — А '~р (хе) Ь = О.
Поэтому Р(И)+ф(0)+ф'(0) И=о, т. е. ~!ф(И)/! = о(/!И)(). Но //ф(И)/) есть расстояние от точки хе+И линейного касательного многообразия Т, до соответствующей точки х = хе+ И+ $(И) многообразия И. Это расстояние есть величина высшего порядка малости сравнительно с ()И(! или с аИ+ф(И)а, т. е. с расстояниями точек хе+И и хе+И+ф(И) до точки касания хе, что и требовалось доказать. Общий случай. В общем случае мы не можем утвер'- ждать существование такого подпространства Та, что е = ТофТс Однако теорема 1 в несколько ослабленной форме верна. как мы увидим это ниже, и в общем случае.
Образуем факторпространство Е„)Те классов смежности по отношению к Те (см, стр, 64). Всякий элемент Т фактор- а ю! кАСАтнлъныв многоовРАзня пространства Е /То есть некоторое множество элементов пространства Ее, причем если х, и ха~ Т, то х! — хгбТо т. е. !р' (х ) (х, — х,) = О. Поэтому гр (хо) х! (р (хо) хг Оператор га'(ко) ~ (Е -ъ Е ) переводит любые две точки х, и хг из Т в одну и ту же точку из Е». Обратно, если !р' (хо) х, = <р' (хо) х,, то !р'(хо)(х,— х,)=0, т. е. х, — хам Т,, и, значит, х, и хг принадлежат одному и тому же классу из Е !То.
Следовательно, оператор !р'(хо) порожлает некоторый линейный оператор А, отображающий Е !То в Е„, именно, если Т Е Е !То, то АТ = <р' (хо) х где х — любая точка из Т; в силу предыдущего АТ не зависит от выбора точки х из Т. Пусть у — произвольная точка из Е . По предположс- Г »' нию оператор !р (хо) отображает Е на все пространство Е„. Поэтому найдется элемент х~Е такой, что !р'(хо)х= у. Но х принадлежит некоторому Т из Е„(То. По определению А Т = ~р' (хо) и = у.
Итак, оператор А имеет обратный А . По теореме Банала оператор А — также ограниченный. Т е о р е и а 2. Всякой точке х многообразия 9»! можно оанесаи такую точку х касательного многообразия Т, и, обратно, всякой точке х касательного многообразия Т можно отнести такую точку х многообразия л)с, что расстояние между ними есть величина высшего порядка малости по сравнению с расстоянием в»гих точек до точки касания хо (вто соответствие, вообще говоря, неоднозначно).
Доказательство этой теоремы есть несколько измененное доказательство теоремы о неявной функции, и сама эта теорема есть непосредственное обобщение последней. 484 АнАлнз В линейных НРостРАнствлх !Гл. ОП1 Пусть и~ТО. Построим последовательность [Тп! элементов из Е !То и точек [ал[, где $„~ Тп, следующим образом: $Π— — ОЕТО. Пусть уже построены все Тн $1 при !=1, 2, ... п — 1. Тогда определим Тп и $л следующим образом: Тп = Тп, — А !Р (хо+ Д+ ал 1). (з) Далее, на Тп выбеоем какую-ниоудь точку $„так, чтобы Ą— ~„,!! ~ 2[[тп — Тп,!!.
Такой выбор возможен, ибо !!Т.— Т.-1!! = !п! !!ь — $»-1[!. 16тп Так как В.,~Т. то по определению оператора А имеем АТ,- =!р'(ХО)зл-1. Поэтому (3) можно записать в виде Тп= — А [!р(хо+!2+йл-1) !р (хо)ьл-11. Так как Тл-1 = — А [!Р(хо+ )1+ Е„г) — !Р' (хо) Вл-21 Полагая икеем З! = Эл-г.+ 1(эл-1 — Ьл-2) 'р(хо+А+э ) р(хо+'!+ ь 2) 1 = ~ р'(х +!!+~,) 1(~„~ — ~„~). о Отсюда 1 Тп — Тп, = — А-' ~ [ р'(х.+ и+ М— о — р' (хо)1 г[! Йл-1 — Вп 2) (4) то Тп — Тп ! — — — А [гр(хо+Л+йл-1) 'р(х1+" +~п-2) 'Р (хо)(гь -1 — гь -г)1- клслтвльныв многооввлзия 485 1 101 Пусть ||Ь||Ф, ||$. г||(г, ||$. з||<', тогда ||$г||<г а значит, ||й+$,|! <2г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
