1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Рассмотрим оператор Ах=х — ~У'(хо)! 'у(х). Этот оператор преобразует шар [[х — хо)!.4 вот[о в себя. В самом деле. Ах — «о=х — «о — [У'(хо)! У(х)= = [у'(хо)[-' У (х,мх — х.) — у(х)+Пхо)!— — [у'(хо)!" /(х ). Отсюда [[Ах — хо[! 4 !! К (хо)! ' !! У(х) — У(хо) — У'(хо) (х — хо) ![+ +!![у'(.,)! 'у(..)!! т. е. [! Ах — хо[! ~< Мо[[~ (х) — ~ (хо) — У' (хо) (х — хо) [[+ Чо $41 теОРемА ОВ ОБРАтном ОпеРАтОРе. метОД ньютОнА 447 Рассмотрим функцию <р(х) =у'(х) — 7 (хо) — У'(хо)(х — хо) Имеем о) ю' (х) = 7' (х) — У' (хо), Пусть х~8(хо, ТоЧ).
Тогда Цор (х)Ц Цго (х) У (хо)Ц < 7 Цх хоЦ < 71оЧо Поэтому ЦЧ<(х)Ц=Ц<р(х) — <Р(хо)Ц<7-гоЧоЦХ вЂ” хоЦ~(7 (ГоЧо)'. Таким образом. если х ЕЗ(хо, ГоЧа), то 1) Ах — х Ц ( г)1 71гЧго+Ч Ч (гИ 7Ч То+ 1) = т<а (т41о+ 1) = Ч го т. е. опеРатоР А пеРеводит шаР Цх — хоЦ~(зойо в сеоЯ. Покажем, что оператор А дает в этом шаре сжатые отображения. Имеем для «ЕЮ(хо ТоЧо) А'(х) — 7 — [У'(хо)1 <'(х) =оыо (ха)) Ч (хо) У (х))' н поэтому , А (~)Ц < М,ЦУ'(~) — 7'(х,)Ц < Л4(Ц~ — «,Ц< МКЧТ,. Так как То — меньший корень уравнения Иосг — 1+1=О.
то 1 — У'! — 4И, 2Ио Следовательно, ЦА )<<;М, Ч.г.=й, —,„— = —,— «,, 1 )' 1 4ло 1 — У! — 4Ио 2Ио откуда ЦА« — АЦ <ЧЦХ вЂ” Ц. (12) и требуемое доказано. Итак, оператор А осушествляет сжатые отображения шара 8 <х, 1 Чо) в себя и потому имеет в этом шаре единственную неподвижную точку х'.
Для этой точки х' = х' — 1У' (хо)1 У(х') о) 1!ронззюдная линейного оператора Ух у' (хо) х равна у' (хо). 448 АНАЛИЗ В ЛИНПЯНЪ!Х ПРОСтиАНСТВЛХ |ГЛ. ЧИ1 т. е. х' есть решение уравнения (9) у(х')=О. Точка х' есть предел последовательных приближений х„+,—— -Ах„=х,— [/'(хе)] у'(х„), (1 1) и теорема полностью доказана. 3 а и е ч а н и я 1. Выполнение условия й ( — может быть 1 0 4 достигнуто за счет достаточной близости к решению начального приближения х . 2. Скорость сходимости последовательных приближений в модифицированном методе Ньютона определяется неравенством которое легко может быть получено из (12).
Если же рассмотреть основной (немодифицированный) метод Ньютона, то скорость его сходимости будет более высокой. а именно: а ]!х„— х*~! ( — „1 (2йа) т)е. Подробнее об ятом см. в [13]. П р и и е р. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна 1 х(1) — ~ К(б з) л(з, к(з)) |та=О.
(13) е где ядро К(б з) непрерывно по совокупности переменных в квадрате 0(б з(1, функция и(з, и) непрерывна по совокупности переменйых в йолосе 0(з(1, — со< и <+оо и имеет непрерывную производную ли(з, и), удовлетворяющую по второй переменной условию Ляпшица ~К„'(з, и ) — л„',(з, ит)~ (Л]иг-из[. Тогда абстрактная функция 1 У(х) =х(Г) — ~ К(б з) К(з, х(з)) йз е преобразует пространство С [О, 1] в себя, сильно дифференцируема, 449 $61 ОДНОРОД»»ЫЕ ФОРМЫ И МНОГОЧЛЕНЫ причем ! у'(х)а А(с) — ~ К(г, з)л„'(а, х(з))а(з)»(з, о и производная У' (х) также удовлетворяет условию Днпшица Ц У' (х) — У' ($) Ц ~ аЛ 1 х — ф //, где а зкр!К(г, з)/.
Тогда, если единица не является собственным значением линейного интегрального уравнения »»(г) — л ~ к(г, з)л„(г, хо(з))д(з)аа 0 (14) о Мо = акр /! Яо(г а 1)1»гз о где Яо(Д з, Л) — резольвента уравнения (14), то при выполнении условия 1 "о = ьЛ(очо ~ 3- где 1 1 ъ- -» ( ~ », »».. »» | / ! Е» — 1 «» , »»», *»»» и / ~*. о о метод Ньютона, примененный к уравнению (13) при начальном при- ближении х»(Г), сходится к решению етого уравнения. ф 6. Однородные формы и многочлены Умножение элементов.
Часто приходится иметь дело с операцией умножения, когда множители и произведение являются элементами разных пространств. Рассмотрим три линейных нормированных пространства Е„, Е, Е, и введем операцию умножения, относящую произвольнйм элементаи х из Е„и у из Е элемент я=ху из Ею Потребуем, чтобы эта операция умйоже»»ня обладала следующими свойствами: 1) (х, + хну = х,у+ х у; 2) х (у, + уД = ху, + ху.,; 3) при х„— «хо и уа — «уо х„у„-» хоуо.
4йо АЙАлиз В Линейных пРостРАнствАх !гл чн! Операция ху при фиксированном х есть аддитивная и непрерывная по у операция, т. е. есть линейный оператор, определенный на Ет, с областью значений, расположенной в Е,. Аналогично ойерация умножения ху при фиксированном у есть линейный оператор, отображающий Е в Е,. Отсюда следует, что (Ах) у = А(ху), х(Лу) =)ь(ху).
Примеры. 1. Пусть А — линейный оператор, отображающий Е, в Е;  — линейный оператор, отображающий Е„в Е,. Тогда ВА — лйнейный оператор, отображающий Е» в Е» 2, Вели х (!) — функция из Е [О, 1], у (Г) — функция йз ьр, [О, 1[, то их произведение в обычном смысле » (!) = х (!) у (!) есть элемент из А [О, 1), где 1 1 1 — = — +— т Р! Рт 3. Внутреннее произведение двух влементов х и у вещественного гильбертова пространства можно рассматривать как результат умножения х иа у, где хсН, уСО и »ус Е=( — сю, со). 4.
Если х — влемент нз Е» и А — линейный оператор, отображающий Е» в Ет, то А» можно рассматривать как произведение А их: А Е(Е» -ь Е ') ЕА, хЕ.Е»' Ах~ Ет. Теорема. Если Е, Ет, Е,— линейные нормированные пространства и определено произведение ху=х (х ЕЕ», у 6Ет, г с Е,), то существуегп положительная постоянная А4 такая, что [[ху[[~( А4[[х[[[[у)[ (х сЕ», у с Е„). для любого натурального Е», у„Е Ет такие, что х„([ [[у„)[. Допустим обратное, Тогда числа и найдутся элементы х„ ~ [[х„у„[[ » па[[ Поэтому, полагая 1 хо = — х, ь п[[х„[[»' ,о 1 я
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
