1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(1б) Введем в рассмотрение оператор В(х, у, у), положив ф(х, у) — ф(х, у) = 1 = ~ ф'((х, у)+г(у — у))вт'(у — у)=В(х, у, у)(у — у). е АнАлиз В линеиных пРОстРАнстВАх 1гл. чш Нетрудно видеть, что В(х, у, у) непрерывен по совокупности переменных и В(х, у, у) — ~В при х — ьхо, у, у — эуо. В силу непрерывности операторов г" (х) и Дх) можно указать такое Ь: ) О, что ~~В '))() — В(х, у(х), Дх)))! <д(1 при рх — х<Д <Ьо. (16) Тогда из неравенства (15) получаем, что |~У'(х) — /(х)(,'~( — 'йВ ~))(гр(х, у(х)) — гр(х, г (х))/~. и следовательно, так как р у(х) — уо() ( с,(~х — хо(~ (см. замечание 2), ~/ у(х) — у(х)~~/.~~ с~~~р(х, у(х)) — гр(х, у(х))!!-~~ ~( с (р х — хо//+ (!,у (х) — уо!/)" (! го (х — х,, 7(х) — уо) (! ~( (с(1+с,)" й х — х ~~"/!ы(х — хо, Р(х) — Уо))~.
л1ы видим, что (17) у (х) „' / (х). Так как оператор у(х) а раз дифференцируем в точке хо, то из последнего соотношения вытекает, что и оператор /(х) также и раз дифференцируем в точке хо. Аналогичными рассуждениями показывается дифференцируемость оператора у'(х) в остальных точках шара ~(х — хо,'( ( Ь. Покажем в заключение, что 'г.р (хо ") = [Ф (хо уо)~ Фх(хо уо) Ь (18) т. е. что ~'(") = — К( )Г''р'("' у.) В самом деле, по определению и,(Ь) есть оператор (много- член по й) такой.
что 'Ч(хо ") =Й(хо ") Т п1("). Так как гР(хо+А, Уо) =~Р(хо+/г, Уо) — Ф(хо Уо) ТФ (хо" Уо)" % и пвиложения тногвмы о неявнык еь'нкцияк 473 [тг(хо' уо)1 'р(хо+~ ув)Т [гр (хе уе)[ %к(хо уо) 'г откуда следует (18). 9 9. Приложения теоремы о неявных функцияк Изменения решения при изменения уравнения. Рассмотрим пространство С'[О; Е[ функций Г(х), определенных на некоторой области О пространства Е, со значениями, лежащими в том же пространстве: х~ О, г(х)~е, причем функции у (х) дифференцируемы, у (х), Г' (х) непрерывны и ограничены по норме. Пусть [)У![= впр()[г (х)[)+[) У'(х))[).
С' [О; Е[ есть линейное нормированное пространство. Рассмотрим уравнение У (х) = О, х ~ О, У' ~ С'[О; Е[. ПРедположим, что Уо(хе) = О длЯ некотоРого ха ~ О и опе- РатоР Яхе)ц(Š— ь Е) имеет обРагпый. Тогда имеет место следующая Теорема 1. Сутеслгеуют такие константы Ь) О, е>0, что длк любого У~С'[О; Е) такого, чтз [[г' — Га~[( б, уравнение у (х) = 0 имеет решение х=хе+Лх, где ([Лх([(е; ари етож, если г -ьДе, то Лх-ьО. В самом деле, будем рассматривать г" (х) как функцию х ~ О и у ~ С' [О; Е[: у (х) = Ф(у'. х).
Из построения функции Ф(г. х) следует, что Ф(г, х) н Ф,(г, х) непрерывны. При этом Ф„(У, х) =,г (х). По предположению Де(хе)=0 и [~е(х)[ ' существует. Это значит, что Ф(Де, хе)=0 и [Ф,'(ге, х )[ существует. В силу теоремы о неявных функциях для некоторых б ) 0 и е ) 0 уравнение Ф(Уе+ЛУ.
х.+Лх)=0 при [[Лу)[( б имеет решение хе+ Лх, т. е. у(х) = О, у' = ге+ Лг', х = ха+ Лх, причем ([Лх,'[( е; при этом, если б — ьО, то [[Лх[[-+0. Этим доказывается теорема. 4тя АнАлиз В линепных пРОстРАнстВАх 1гл. ч!и Заметим, что для Ф(г', х) = у (х) существует диффе- ренциал Фг(У, х) ЛУ'=ЛУ. Из существования Фг(~. х) следует, что х есть дифферен- цируемая функция от у', причем х 1 — ]ц';(уо хо)] 'Ф)(уо хо)Л)= — (-Г'(хо)] 'ЛУ. Правая часть этого равенства есть равномерный диффе- ренциал от функции х=«р(1) при х =х, т. е. счр(ге, Лу).
Применение к собственным элементам. Рассмотрим прямую сумму Н, = Н Я )т, где Н вЂ” вещественное гильбер- тово пространство, Й вЂ” числовая прямая; каждый элемент из Н, имеет вид ]х, 1], хЕН, 1Ей. Пусть у есть нелинейный оператор, определенный на Нн с областью значений в том же пространстве, задаваемый равенством у(А; х, 1)=]у, т], хЕН, 1Е)1, где у = Ах — 1х ~ Н, т = (х, х) — 1, и А — вполне непрерывный, самосопряженный линейный опе- ратор из (Н-ьН). Уравнение У(А; х, 1) =О имеет внд Ах — 1х = О, (х, х) = 1, т. е.
1 есть собственное значение, а х — соответствующий нормированный собственный элемент оператора А. Если ]х, 1] получает приращение ]Лх, Л1], то у (А; х, 1) получает приращение ] А Лх — 1 Лх — Мх — М Л х, 2 (х, Лх) + (Лх, Лх)]. Главная линейная часть этого приращения есть «(гг,У(А; х, 1; Лх, Л1) = ]А Лх — 1Лх — ЛГх, 2(х, Лх)]. Следовательно, у'(А; х, 1) есть линейный оператор из (Н, -з. Н,), переводящий (Лх, Л1] в ]А Лх — г' Лх — х Ы, 2(х.
Лх)]. Если 1з есть простое собственное значение оператора Аз «) и хе — соответствующий собственный элемент, то существует ") То есть собственное значение кратности «одним еэ1 пРилОжения теогемы О неяВных Функииях 475 обратный оператор [7" (Ав; х, ()! ', т. е. для любого ! [у т) Е Н, уравнение АоЛх 7ВЛх — хоЛ1=у, 2(хо Лх)=т (1) имеет решение [Лх, ЛЬ[, и это решение единственно. В самом деле, Лх = ахв+(Лх)и где а =(Лх хо) ((Лх)и хз)=0, Аналогично У=Ьхв+уи где Ь=(У, хв) и (уп хо)=0 Далее, так как (А,— ~,Е)х =О, то (4о Лх Го Лх) — хо Л(=(Ао — СВЕ) (Лх), — хо Л1 и ((Ав — ГВЕ)(Лх)и хв) =((Ав — ГВЕ) хв, (Лх),) = О, откуда и из уравнения (1) (Ао — ЬВЕ) (Лх), = у,, Лг= — Ь= — (у, хв), 2а=т. (2) (3) Так как правая часть уравнения (2) ортогональна хв (т.
е. ортогональна всем собственным элементам, отвечаюшим собственному значению 7в), то это уравнение имеет единственное решение, ортогональное хв: (Лх), =(Ао 1оЕ), Уг =(Ао 1оЕ), [У вЂ” (У, хо) хо! где через (Ав — 1вЕ), обозначен оператор Аз — ЬвЕ на подпространстве элементов, ортогональных хв. Итак, уравнение (1) при любом (у, т[ ~ Н, имеет ре- шение 2 хо+(Ао гвЕ! [У вЂ” (У, хв) хо! ЛЬ= — (У хо). Отсюда следует существование оператора [У'(Ав; хы Гв)! В силу предыдушей теоремы найдутся постоянные Ь ) 0 и е ) 0 такие, что при [[ЛА[[( б сушествуют собственное значениеСВ+Лг' и нормированный собственный элемент ха+ Лх оператора А = Ав+ ЛА НАо+ ЛА) ((+ Л() Е! (хо+ Лх) = О, (хв+ Лх, х„+ Лх) = 1, причем при [[Лх[[+[Лг[(е такое собственное значение и собственный элемент единственны.
4тб АНАЛИЗ В ЛИНЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ лГЛ. ШН Первое приближение (сглх, глф) к (слх, Ы) находится из уравнений: Ао Ллк — ~о гЛлк — гьлгко+ гЛАХо = О, (хо, сллх)=О. Умножая первое из этих уравнений скалярно на хо и принимая во внимание, что ((Ао — ~оЕ) д лх, хо) = ((Ао ~оЕ)хо Ллх) = О, получим Далее Ьлг =(ЬАхо хо) (.4о ФоЕ) гтлх = галгхо гЗАхо. (4) Уравнение (4) всегда иллеет решение, так как правая часть (4) ортогональна хо: (Алло, хо) — (гЛАхо хо) = гллг (гл 4хо хо) = Следовательно, л'ллх = (Ао — ~оЕ)л ' (Ь дхо — ~Ахо1.
Уравнение, зависящее от параметра. Тео рема 2. Г/усть у=у(Е х) есть функция элемента х~Е и числового параметра 1 с областью значений в том же пространстве Е; далее, фуннцин у(~, х) п раз дифференцируема по 1 и х и при 1=1о уравнение у(1о, х)=О ичеет решение х=хо, причем существует оператор ~у'(ло, хо)) . Тогда существуют константьг Ь) О и е ) О такие, чгпо при ( С вЂ” 1о! . Ь уравнение у(Е х) = — О (5) и веет и при талл единственное решение х = х(1) тиков, что !! х И) — х,!! < е.
Это решение х(1), как функции 1, п раз дифференцируема. Сформулированная теорема есть непосредственное следствие теоремы о неявных функциях. $9) ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 477 Пример Пусть А(1) — вполне непрерывный линейный оператор из (Н-» Н), причем А (1), как функция 1, л раз дифференциРУема н опеРатоР А (1,) имеет пРостое собственное значение Лэ с соответствующим нормированным собственным значением хэ: 4 (го) хо — ).эхо = О Рассмотрим прямую сумму Н, =НЯМ и определим функцию Ф (1; х, Л), где ( х, Л ) (- Н Д Л, Ф (1; х, Л) Е Н (В Й, с помощью равенства Ф(1; х, Л) = (А (1) х — ).х, (х, х) — 1). Уравнение для нормированного собственного элемента х(1) и собственного значения Л (1) оператора А (1) имеет вил Ф(1; х, Л)=о. Тзк кзк А(1) л раз днфференцяруема по 1, то Ф(1; х, Л) также л раз дифференцируема по 1. Как и в предыдущем пункте, убеждаемся, что существует Ь;,.: Г д .
-1 Ф (га. хэ Ло)) д (х, ).) Но тогда применима теорема 2 настоящего пункта и, следовательно, уравнение Ф(1; х, Л)=О, т. е. уравнение А(1)х — Лх=О, (х, х)=1 (6) имеет решение (х(1), ). (1)), которое является л раз днфференцируемой функцией параметра 1. Уравнение в вариациях. В предположениях теоремы 2 настоящего параграфа решение х(1) уравнения (5) есть дифференцируемая по 1 функция параметра 1.
Назовем вариацией Ьх функции х(1) ее производную х'(1) по 1 при 1=19. Ьх= — ~ ~=а Соответственно для у =у(1, х)— ду ~ Уравнение у(1, х(1))=О есть тождество, и дифференцированием его по 1 получаем ду (Ц х (Г) ), ду (Ц х П) ) дх ' дх При ~ = 1е имеем Ьу + у' ~Е, х ) Ьх = О. Это уравнение называется уравнением а вариациях для исходного уравнения у(Л х) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
