1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(13) Задача (11), а следовательно н (12), как известно, корректно поставлена. Если еше заметить, что для достаточно гладких функций разностные отношения сходятся к производным равномерно в прямоугольнике 0 ( $ ( а, 0 ( ! ( Т. то для таких функций ~( — А) х(!)~ -эО при Лг — РО и, следовательно, условия согласованности также выполняются. Решения системы (! 3) определены первоначально лишь в узлах решетки, т. е.
в точках вида ()'Л$, пЛг). Линейной интерполяцией мы доопределим нх во всех остальных точках прямоугольника 0(з (а, 0(~ (Т и обозначим зги решения и($. !). Снова и($, пЛ!) будем рассматривать как элементы х„пространства Се[0, а[ и считать их приближенными аначениями решения х(г) в точке ! =иЛг. Если предположить, что Л$ и Лг не независимы, и считать, что Л~ = у (Лг), где д(а)ьО при а-эО, то аппроксимирующую краевую задачу можно записать в виде рекуррентной формулы % 2] РАзностные схемы и теогемл льксА лаз Покажем, что для решений разностной краевой задачи имеет место принцип экстремума: Наибольшее (наименьшее) значение решения ео внутренних точках решетки не мелеет ирееосходилгь (быть меньше) наибольшего (наименьшего) значения решения е граничных точках. Для доказательства предположим обратное. Пусть ]! ит Ь вЂ” максимальное значение решения, принимаемое во внутренней точке, причем будем предполагать, что иь и /е — наименьшие значения индексов и и Г.
для которых ич = р. Нанну сав уравнение (13) для этих значений индексов, получим ит иш-! ит 2ит+ ит Ь Ь сэ Ь+1 Ь ! -! дг (АИ Но это равенство невозможно, так как его левая часть в силу иез ) ит-! Ь Ь положительна. а правая в силу иЬ'~ иЬ'.! и и ~ит Ь Ь ! отрицательна.
Полученное противоречие доказывает принцип экстремума. Из принципа экстремума следует. что функции и (з, г) принимают наибольшее и наименьшее значения на границах прямоугольника О < С .( а, О < г ( Т. Если теперь записать равенство (1б) в виде х„= [С (Аг)1" ф, то согласно только что сказанному имееи знр!х„Я)~ = ]](С(д]г))" ]р]] < зпр (гр(гь)! = ]]]р ~, $ откуда получаем.
что ]ЦС(ГьЦ" ]] (1 для любых И и и. Следовательно, аппроксимация устойчива, и согласно теореме Лакса отсюда вытекаег, что решения разностной краевой задачи сходятся . к решению краевой задачи для дифференциального уравнения. 434 АНАЛИЗ В ЛИНЕЯНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ЧН[ $ 3. Дифференциал абстрактной функции Определения. Пусть Е„и Ез — линейные нормированные пространства и у = г (х) — абстрактная функция, определенная в Е„, с областью значений, расположенной в Еж По аналогии с определением дифференциала функции конечного числа переменных введем два определения дифференциала абстрактной функции.
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше). Пусть Ь вЂ” произвольный элемент пространства Е„. и предположим. что существует линейный оператор 1~(Е„-+Е ) (вообще зависящий от х) такой. что У (х + Ь) — $ (х) = [Ь+ и (х, Ь). ([) где ) [[ -ь 0 прн [[Ь (~ -ь О. 1Ь1 (2) В этом случае [Ь называется сильным дифференциалом или дифференциалом Фреше функции У'(х) в точке х, соответствующим приращению Ь аргумента, и обоаначается йг'(х, Ь).
Линейный оператор 1, вообще аависящнй от х. обозначим у'(х). Тогда ду(х. Ь)=Г'(х)Ь, у'(х)~(Е„-~Е,). Оператор ~'(х) можно рассматривать как функцию от х. определенную на множестве точек [х) [=Е, в которых /'(х) дифференцируема, со значением в (Е„РЕ ). Назовем /'(х) первой сильной производной нли производной Фреше функции Г" (х) в точке х. Равенство (1) можно ааписать в виде у (х+ Ь) — у (х) = У'(х) Ь+ о ([[ Ь [[). (4) Первое слагаемое правой части этого равенства есть линейная функция от Ь, аппроксимирующая у'(х+ Ь) — [ (х) с точностью до величин порядка малости высшего, чем [[Ь [[.
Слабый дифференциал (дифференциал Гато). Слабым дифференциалом функции )'(х) в точке х называют выражение Рг~*,ч- с и ~-май! и+~*и — '"'=А'и де аз) ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИЙ 435 в предположении, что предел, стоящий в правой части равенства и понимаемый в смысле сходимости по норме. существует е). Примеры. 1. Пусть Ех Е =С[а, Ь] и ь У(х) / К(г,з)б(з,х(е))бз, а где ядро К(Г, з) непрерывно в квадрате а<К э<Ь и Р(и, о)— функция двух переменных, определенная в полосе а ( и ( Ь, — со < о <+со и непрерывная в этой области.
Тогда У(х) есть абстрактная функция, определенная на С [а, Ь), со значениями в том же пространстве. Допустим, что функция д (и, о) не только непрерывна, но н имеет частную производную д„(и, е) равномерно непрерывную в полосе а<и<Ь, — со<о<+со. Тогда У(х) будет сильно дифференцируемая функция. В самом деле, для любой функции А (з) Е С [а, Ь] имеем ь у (х+ А) — у (х) = ~ К (Г, е) л (3, х (5) + А (3) ) пав а ь — ~ К (й з) и (з, х (з) ) Не = а ь ~ К (й з) [е (з, х (з) + А (з) ) — и (е, х (з) )] бз я По теореме Лагранжа е (з, х (з) + А (з) ) — и (з, х (з) ) л (г, х (з) + 0 (з) А (е) ) А (е), где 0< 0(з) <1.
Далее имеем е' (е, х (е) + 0 (е) А (з) ) = л„ (з, х (з) ) + а (з, х (е), 0 (з) А (е) ) ьь), ь) Иногда слабым дифференциалом называют „. л..+ ю=.сж ь-ьз где предел понимается в смысле слабой сходимости элементов. Заметим также, что дифференциал Гато однороден, но аддитивность его не предполагается. ь') а (е, х,и) д (з, х + и) - д (з, х). ИЗВ АПАЛПЭ В Лсн!ЦПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ (ГЛ. 'ЛП где при Ц й Ц-ьб, т. е.
при И (з)-РО равномерно на [а, Ь) а (з, х (з), В (з) Ь (з) ) -ь О также равномерно на [а, Ь), так как функции, непрерывная в замкнутой ограниченной области а < з.~, 'Ь, [х ( < сп ( и [ < с,, равномерно непрерывна в этак области, Поэтому у (х + И) — У (х) = ~ К (С, з) а„ (з, х (з) ) И (з) с(з + а + ~ К (С, з) о (в х (з), В (з) й (з) ) И (з) с!з: (Ь + м (х, й), а где ь СИ= [ К(С, з) Ь' (з, х(з)) И(з) сгз а ы (х, И) = / К (С, з) а (з, х (з), В (з) И (з) ) И (з) асз, а Прп атом ь ! с,аъ!!- !) КФ, ! 1, !1,в!!асс!Исси*/с )а < в ах / К (С, з) [ Ц и (з, х (з), В (з) И (з) ) Ц (Ь вЂ” а) Ц И Ц = !,с = с Ц а (з, х (з), В (з) Ь (з)) Ц Ц И Ц, и потому Цм(х, И)Ц < с Ц а (з, х (з), В (з) И (з) ) Ц ь О нрн !) Ь Ц -ь О.
Следовательно, у(х) дифференцируема по Фреше и ь сг/(х,й)= / К(С,з)Д,(з, х(з))И(з)сгз. а 2, Рассмотрим в пространстве С' [а, И) непрерывно дифференцнруемых функций у(С), а<С<И, с нормой ЦуЦ =вал(! у(с)[, [у'(С)[) с функционал простейшей вариационной задачи у [у) = ~ р (с, у (с), у' (с) ) а( а а з) ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКНИИ 437 Оба определения дифференциала отвечают обоим нзвес~пым определениям вариации.
Аналогично обстойт дело н с другими функционалами варнацяонного исчисления. Само определение дифференциала абстракт« ной функции естественно возникло в зарнацнонпои исчислении. Теорема 1. Если существует сильный диффвреня циал йг(х, Ь), то существует и слабый Ру(х, Ь) и Ру (х. Ь) = й г (х, Ь). В самом деле у (х+ ТЬ) — у (х) = бу (х. ГЬ)+ ы (», СЬ) = =гйг" (х. Ь)+ы(х. ТЬ), где в силу (2) !)ю(х, ГЬ) й=о(ЬСЬй)=о((ГИ)Ь~~)=о(Г) есть величина порядка малости высшего. чем с при г-«О.
Повтому О+м — пы о е««~« при г-«О. Итак. Ру(х, Ь)=1!а =дГ(х, Ь), у (»+ ТЬ) — г (х) г«а причем мы доказали и существование слабого дифференциала н его равенство сильному. В определение Ру (х. Ь) не входит требование его линей- ности относительно Ь. Если же вто имеет место, то Ру'(х. Ь)=7Ь= 7"(х),Ь, где у'(х), есть линейный оператор У'(х),Е(ń— «Е ) относительно Ь. Назовем У'(х) слабой производной функ- ции у'(и) в точке х.
Теорема 2. Если в. шаре й'х — хе~~ < г существует слабый дифференциал сЧ(х, Ь), равномерно непрерыв- ный по х и непрерывный по Ь. то в нем существует и сильный дифференциал бу(х, Ь), причем б г (х, Ь) = Ру (х. Ь). В самом деле, прн 'йЬ|1 <г(х), где число г(х) — зто радиус шаровой окрестности точки х, принадлежащей шару езв АЯАлиз В линеиных пРОстРАнстВАх ггл. Рг!1 11х — хв11 (г. во всех точках х,=х+ГЬ, 0 (г (1, существует дифференциал О/(хн Ь).
Так как 0у(х Ь)= 1!щ у( '+""' ы.+о АГ х,+ЬГЬ=х+(г+ЬГ)Ь=», то 0~(хп Ь)= 1нп =„— у(х,)=„— Г'(х+ГЬ). у(х +Аг) — у(х ) Л Докажем адаитивность дифференциала 0у (х, Ь) по аргументу Ь: Оу (х, Ь, + Ьа) = 0г (х, Ьг)+ 0г (х, Ьа). (5) Заметим прежде всего, что в силу предположенной непрерывности функции 0у'(хп Ь) = — /(х+ ГЬ) имеем у (х+ ГЬ,) — у'(х) = / -„-~(»+ тЬ,)~тт= о = ~ 0 у (х + ТЬП Ь,) ат = 10 у (х, Ьг) + гвн (6) о где г», = ) Щ(х+ тЬП Ь,) — 0Г" (х.
Ь,)] гтт. о Аналогично У(х.+У(Ь,+Ь,)) — У'(х)=80У'(х, Ь,+Ьт)+аз (7) где ('10~(х~+т(Ь,+Ь,), Ь,+Ьа) — Оу(», Ь,+Ь,)) тт. о Г (х+ ((Ь +Ь )) — ~(»+ йг)=10$(» Ьа)+~а ( ) з з1 ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИИ 439 где ыз= ] ]ОУ(х+И,+ТЬИ Ьз) — ОУ (х, Ьз)] агт. е Так как 07 (х, Ь) непрерывен по аргументу х, то длв произвольного е ~ О при достаточно малом 1 ) 0 и О < т < Т ]! ОУ(х+ТЬИ Ьг) — ОУ(х, Ь1) ]! < —, ]]~Ч(х+т(Ь~+Ь~)' Ь~+Ьа) 01( ' Ь1+Ьз) ]! < з ' ]]ОУ( +И,+ Ью Ь) — ОУ(, Ь,)]]< — ',. Поэтому ]!" ]]= ! ]Ог'("+'" "г) — ОУ(" Ь)]нт < З' в и аналогично ]]~ ]]< у ~ ]]~.]]< у~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
