1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким обРазом, отрезок [го 11~1[ разбиения А разбит на Ь1, — Ь1 отрезков [гр г.~1[ разбиения В, где у =ЬР йь+ 1, ..., Ь,+1 — 1. Для этих значений у в силу (15) имеем Ц х(гг) — х(С1) Ц «(в(Ь). Поэтому л -! л -1 Ь1+1 8(А, х(г))= Х х(11)(г1,.1 — еВ= Х х(г1) Х (гг+1 — г1) 1=0 л 1 -1 Ь1+1-' Я(В, х(1))=,~'.! х(г,)(ггь,— гг)= ~~'., ~~'., х(г )(гг+1-г1).
1 О ~ 1О 1Ь, ЦВ(А, х(с)) — 8(В, х(г))Ц= ! л-1 Ь1ь~ Ц =/! д д 1.л»-.1.,»л„,— *,1!!< [1ла 1 ьь л-1 ь1».1-1 «( ~ ~~'., Ц х (гь) — х (гг) Ц (гг+1 — гг) «( 1=О 1=Ь1 л — 1 «(а(Ь) ~ ~ (г,„— г,)=а(Ь)(Ь вЂ” а), (16) 1=О 1=»1 что и требовалось доказать. Лемма 3. Пусть Аь и А,— произвольные Ь- и е-раз- биения отрезна [а, Ь[. Тогда Ц 5 (Аа х (1) ) — Ю (А„х (Е) ) Ц «( (в (Ь) + а (е) ) (Ь вЂ” а). В самом деле, всегда можно выбрать такое разбиение В отрезка [а, Ь[, которое будет одновременно иамельчением как Аь, так н А,.
Поэтому в силу (13) ЦВ(Аь, х(Х)) — 8(В. х(г)) Ц «(а(Ь)(Ь вЂ” а). ЦЮ(Ао, х(С)) — В(В, х(1)) Ц «(а(з)(Ь вЂ” а), откуда ЦВ(Аь, х(е)) — 8(Ао. х(Е)) Ц м,(а(Ь)+а(з))(Ь вЂ” и), что и требовалось доказать. 41В АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ~ГЛ. СЧП Докажем теперь теорему. Рассмотрим последовательность 6„-разбиений (Аь ) отрезка !а, Ь), для которых 6„-РО при и-ьсо. Для соответствующих интегральных сумм 8(Аь, х(1)) е согласно лемме 2 имеет место неравенство ~~8(Аь . х(ь))-8(Аь,, х(ь))~!.4(еь(6„)+гь(6„+р))(Ь вЂ” а), причем правая часть неравенства стремится к нулю при п-ьсо в силу равномерной непрерывности функпии х(г).
Таким образом. последовательность (8(Аь . х(Т))) сходится в себе. Но так как 8(Аь, х(г))~Е и Š— полное пространство, то эта последовательность имеет в Е предельный элемент 8. Пусть теперь дана другая последовательность е„-разбие- ний (Ае ~ отРезка (а, Ь), ее-ьО, В силУ пРедыдУщего 18(Ае, х(е))1 при п-ьсо сходится к некоторому пределье ному элементу 8,. )Аокажем, что 8,=8. В самом деле, объединим обе последовательности раз- биений в последовательность Аьр А,, Аьр А,, ...
Соответ- ствующие этой последовательности интегральные суммы 8(Аьр х(()), 8(Ар,, х(1)), образуют сходящуюся последовательность. и ее предел 8ь, ра- вен пределам 8 и 8, подпоследовательностей 18(Аь . х(г))~ и 18(Ае, х(1))). Следовательно. 8 = 8е = 8е ье и теорема доказана. Назовем 8 интегралом от х(~) по (а, Ь) и обозначим ь ~ х(г)~. е Свойства операпии интегрирования.
ь ь ь 1, ~ [х(Ф)+ у(ЦИ= ~ х(~)Ф+ ) у(г)ж. е е е 2. Если с — любая точка между а и р. то ь ь ь ~хдж=~хяа+~х(г)а. ФП диееввннцивовлнив и интвгвивовлние 419 п я) ,] Ьх«)~=ЛУх(),~. л л Свойства интеграла 1 — 8 очевидны. ь ь 4. ] х(г)ь!г < ~ ]]х «И] У. (17) л л В самом деле, для разбиения Аь=(гь, 11, ..., г„] имеем ! л-1 1ь1А,. 1лл-/$х дьл„,— ш1]< 1=О л-1 ~( Д Цх«,)]]«,+,— ~1)=Я(Аь ]]х«)]]).
(18) При Ь-» 0 интегральные суммы стремятся соответственно к интегралам ь ь / х«) Н и ~]]х(с)]]Ю, и неравенство (18) переходит в (17). 5. Если для элементов х Е Е» определена операция умножения справа (или слева) на элементы у ~ Е (см. стр. 408), то ь ь ~ х(г)ус(г= ~ х«)Юу (! 9) (постоянный множитель у выносится аа знак интеграла). В самом деле, для Ь-разбиения Аз= [ге, ~1, ..., ~„] имеем л-1 5(Аь, х«)у)= ~~'., х«1)у(~1+1 — ~1)= 1=О /л-1 =~~~'.,х«1)(11+1 — ~1) у=5(Аь, х«))у.
(20) 1=О При Ь-» 0 левая и правая части равенства (20) стремятся соответственно к левой и правой частям равенства (19). $ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 421 Но с [х(с)] есть непрерывная числовая функция от г, поэтому для иее у [х(Т)[сгг — у [х(Ь)] — / [х(л)].
а Итак. С[[ СсСю)=С~ Ссл — СРС СС с,а (24) у(с) = ~ х(т)сст. а где у(г) есть некоторая абстрактная функция г. 7. Интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной абстрактной функции х(с) есть дифференцируемая абстрактная функция верхнего предела и с ~ х(т)сст = х(г), а Очевидно, имеем с+ ьс у (г+ Ы) — у (г) = [ х (г) с[я с х (г) = — [ х (с) ест. 1 с' ат ./ Отсюда с+ ес у сс.. (гл'йг) - у (г) [ Р да — х (г) = —, а[ [х (т) — х (Г)] с[т. Равенство (24) справедливо для любого линейного функционала у ~Е*. Но тогда справедливо и равенство (23), что и требовалось доказать. Рассмотрим. наконец, интегралы с переменным верхним пределом.
Пусть х (с) непрерывна на [а. Ь] и а ( г ( Ь. Тогда существует 422 АнАлиз В линеиных НРостРАнствах [Гл. Упг Пусть задано произвольное е> О. Найдется такое Ь> О, что [[х(11) — х(ео)[[(е прн [11 — А,[(Ь. Но тогда, если [Ьг[(Ь, имеем !+А! !!'вв'О "" —.1о()< — ' / 1*11 — 1о1в (< !+А! 1 (е — [ о[т =е. [АГ[ ./ Последнее неравенство означает, что '(Ь)= !Нп У( [ А!+О А! существует и что у' (1) = х (А). Решение дифференциальных уравнений. Рассмотрим дифференциальное уравнение — = 7" (г, х), где х и 7(1, х) — элементы полного нормированного пространства Е и Е ~ [а, Ь[.
Будем предполагать. что 7'(Е х) непрерывна по г и как функциа х удовлетворяет условию Липшица: [[7" (1, х,) — 7" (Р, х,)[[ (Ь[[х! — х,[[. (26) Обозначим через Сл [а, Ь! пространство всех непрерывных функций х((), где 1~ [а, Ь[, а х(Е)~Е.
Введем в пространстве Си[а. Ь[ норму, полагая [[х![с = шах [[х (г) [[. ! Вместе с Е и Си[а, Ь[ есть полное пространство. Это предложение доказывается совершенно так же, как оно доказывалось для частного случая, когда Е=вт и Си[а. Ь[= =С[О, 1[. Рассмотрим наряду с уравнением (25) уравнение х(г)=хо+ / у'(т. х(т))о(т (а(го ц 1(ео+Ь(Ь) (27) !в % а1 РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 423 Обозначим правую часть этого уравнения через А,(х). А,(х) есть оператор, переводящий х=х(г) из се[ге, ге+ б] в некоторый новый элемент того же пространства. Имеем ]] Ас [х (1)] — Ас [у (1)] ]] = ~ [У (т, х (т) ) — у'(т, у (т) )] с]т с, С,+6 ~( ~] ]]у(т, х(т)) — у'(т, у(т))]]с(т. Отсюда в силу (26) с~с 6 ]] А(х) — А(у)]]с <7 ~ ]] х(т) — у(т)]]пст < с, ~( Сб снах]] х (С) — у (С) [] = 75]! х — у ]]с.
(28) с Если (б< 1, то согласно (28) оператор А дает сжатое отображение пространства С [Га, се+5! в себя и, следовательно, существует, и притом единственное, решение уравнения (27) (см. э" 7). Уравнение (27) равносильно уравнению (25) при начальном значении х (са) = хз. Следовательно, уравнение (25) имеет единственное решение на отрезке ]Ге Го+ б! такое, что х (Ге) = хе. В частности, при любом начальном значении х (и) = ха это уравнение имеет единственное решение х(Г) на отрезке [а, а+б]. Это решение можно продолжить на весь отрезок [а, й].
В самом деле, если а+б<б и х(а+б)=хи то, повторяя тот же процесс, построим решение на отрезке [а-]-б, а+2б] с начальным значением х, и т. д. Примеры. 1. Если Е есть л-мерное линейное пространство, то получаем обычную теорему существования для системы из л дифференциальных уравнений. 2. Если Š— одно из пространств гр, с, щ и т.
д., то получим доказательство существования решения соответствующих классов бесконечных систем дифференциальных уравнений. ф 2. Разностные схемы н теорема Лакса Решая приближенно краевые задачи математической физики методом конечных разностей, мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что в некоторых случаях сходимость процесса не имеет места при произвольном стремлении к нулю 424 АЯАлнз В лгн!киных НРостРАнствзх !Гл, ш!! разностей независимых переменных. Кроме того, при решении разностной краевой задачи в процессе последовательных вычислений значений неизвестной функции в узлах решетки может происходить настолько большое накопление погрешностей. что делается невозможным приближенно .
заменять решением разностного уравнения решение дифференциального уравнения. Так, заменяя при решении задачи Коши волновое уравнение дик д'и д!' дх! разности ым и-= их-, хин где и;, и и — — вторые симметрические разности по соответствующим переменным, мы будем иметь сходимость, лишь если опшшенне разностей независимых переменных — не Ь! Ьх превосходит единицы. Точно так же, заменяя краевую задачу теплопроводности ди дии д! дх! ' и (х, 0) = <р (х), О ~( х ~(1, и (О, !)=и(Е, С) =0 разностной схемой и+! и и и и ~ и ит — ит ит, — 2и +ит-! д! (дх)и !'ш=1,2,;...
М,!,- ио — !р (иг Ах), ио им где и"=и(1!Ах, ис!!), н последовательно определяя иит! 2дх через ии, мы будем получать при — ) 1 такое накоплет' (ох)! ние ошибок, которое делает невозможнйм применение указанной схемы. Было установлено, что эти два явления тесно связаны между собой. Мы изложим ниже для простейшего случая результаты Лакса [281 в атом направлении.
% т! РАзностные схемы н теоРемл лАксА 425 Пусть х=х(г), Оц",$ (Т,— абстрактная функция со значениями в банаховом прострамстве Е и А — линейный оператор. действующий в этом пространстве со всюду плотмой областью определения 1)(А). Оператор А может быть и неограниченным. Пусть, далее. х,— фиксированный элемент пространства Е. Будем рассматривать задачу — =Ах, О (Г с:Т, (1) х (0) = х .
(2) Решением этой задачи мы будем считать абстрактную функцию х(!) такую. что 1) х(г)ЕВ(А) при всех ГЕ[0, Т[, 2) разностное отношение х (Ф+ А) — х бб А при й -ь 0 сходится к х'(!) равномерно на всем отрезке [О. Т[, 3) х(Г) удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).
Пусть для некоторых хэ существует и елинственно решение задачи (1) — (2). Нетрудно провермть, что множество О()т) таких хэ есть линейное многообразие. Для каждого ! элементу хр ~ О (гг) однозначно соответствует элемент х (Г). удовлетворяющий условиям 1) — 3), и мы приходим к опера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
