1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Оператор У согласно теореме Плаишереля осуществляет взаимно однозначное отображение Ц( — оо, со) на себя с сохранением нормы, т. е. является унитарным оператором. Обратный оператор имеет вид У 'х = У*х = = 1 х (т) е-"' е[т. )Г2п Г Пусть х (г) — произвольная функция нз 0 (А), т. е. х (г) Е Ц(-со, оо) и существует — Е Ьа(-со, со). Тогда" ) л» (г) а[[ у(Г) = У» = — 1 х(т) ептгтт = !.[.ш = 1 х(т)еп'г[т= 1 /' 1 /' 1 а 1 епт ~' 1 /' Л»(т) .~.(,) ! ~,п .,1= а 1 1 ! 1 ш (х(а)а[а[ х( а)е-[а[! )г2п Ы 1 1 l Н»(т) пг — — — 12.ш 1 — е"'ат.
)2пи" а) Символом !Л,ш обозяача[от предел в среднем. 4 21 ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 403 В силу принадлежности х(Г) и — пространству уа( — ОО ОО). а'» Ж Х(а) И Х( — а) СтРЕМЯтСЯ К НУЛЮ ПРИ а-РСО И, СЛЕДОВательно, предел первого слагаемого правой части предыдущего равенства есть нуль. Вместе с — и преобразование ах (Г) а'г Фурье этой функции принадлежит Е,,( — со, со). Поэтому (у (Г) = — = 1 — е'" 1(т = г (() ~ 1.
( — ОО, со). 1 / Лх(т) СЛЕдОВатЕЛЬНО, у (() ~ ь2( — СО, СО), Гу (Г) Е ьз( — СО, Со), т. е. у(()~П(В). Пусть. наоборот, х(У)ЕА)(В). Тогда ! 1 ь е —,г ь 112/ /'~хР>~Л< ~Г'а ~/'~(х(ОР (() < а а а для любого конечного или бесконечного промежутка, не содержащего точки 1=0, и, следовательно, х(() абсолютно интегрнруема на ( — со, со). Поэтому интеграл у(()=() х= — ~ х(т)е-"'г(т 1 абсолютно сходится. Введем функцию г (Г) = = / тх (т) е-"' е(т = 1 г" 2п -ПТ вЂ” — л( тх (т) 2(т. — ) 2п ../ — (т Имеем ~ л(т) 2(т= = 1 х(т)(е-"" — 1)г(т+с )Г 2п =((у® — у(0))+е, (12) Отметим.
что несобственный интеграл, фигурирующий в этой формуле. сходится абсолютно и равномерно по г на СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОЬ 1ГЛ. Щ! всей оси. Из (12) цолучаеи с у (т) = —,. / г (т) ц1 т+ с, 0 откуда следует, что — существует и принадлежит лу (т) йт Ц( — со, со), т. е. у(~) ц В(А), Итак, мы доказали. что Ух ~ В (В) для х ~ 0 (А) и У 'х ~Ай(А) для хЕ0(В). Пусть х ~ О(В).
Имеем в силу (13) (,1-1х — Р(А) — 1 / г(т)от+с. о Следовательно, А(1 х =1 — =г(а) = I тх(т)е ' е1т=У Вх. 'ки 2п Отсюда УА(У х = Вх, н унитарная эквивалентность операторов А и В доказана. Пусть А н  — произвольные унитарно эквивалентные операторы й)АУ =- В. Если ВΠ— ОО < А ( со, есть спектральная функция оператора А, то, очевидно, Ыь = БЕа.У также является разлом1еннем единицы. Пусть  — самосопряженный оператор, построенный с помощью разложения единицы Е1 Имеем Вх= ~'). (Еьх=-1ип ~~ Х,Е(Л„) х= =и ° ~ ь.,ии1ыи-' =и~и а'; ии1ии)и-' л=-ии Ф -сю ии =и~ 1 сии)и *=иАи В аи ПРимеРы неОГРАниченных ОпеРАГОРОЕ 405 'Таким образом, есть спектральная функция оператора В, унитарно зквнвалентного оператору А. Отсюда вытекает, в частности, что спектры операторов А и В совпадают.
В нашем конкретном примере, когда А = à — „, В = Г, мы получаем, что и' гтт ' оператор А имеет чисто непрерывный спектр, ааполняющий всю вещественную ось. Для функш1й от оператора А получаем представление В (А) х = — В Я) х (г) е"-' г(т ) е-": ~~~ = 2л,! =(г' 'Р(В) Ух; в частности, спектральная функция оператора А может быть представлена в виде Установленная нами выше унитарная зквивалентность оператора дифференцирования оператору умножения на независимое переменное не является какой-то специфической особенностью оператора дифференцирования.
Оказывается. что для любого самосопряженного оператора существует разложение всего пространства на такие попарно ортогональиые инвариантные подпространства, на каждом кз которых рассматриваемый оператор унитарно зквивалентен (точнее, изоморфен) оператору умножения иа независимое переменное в пространстве функций. суммируемых с квадратом на интервале ( — ОО, со) с некоторым весом р(Г). ГЛАВА т!П НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В этой главе мы рассмотрим операции дифференцирования и интегрирования в линейных нормированных пространствах и некоторые их применения.
5 П Дифференцирование и интегрирование абстрактных функций числового аргумента Пусть Š— линейное нормировагшое пространство и Л вЂ” множество точек числовой прямой. Оператор х=х(г), вообще нелинейный, отображающий Р в Е, будем называть в дальнейшем абстрактной функнией числового аргумента г. Примеры таких функций часто встречаются в анализе и его приложениях. Достаточно указать некоторые функции числового аргумента в дифференциальной геометрии, однопараметрические совокупности решений дифференциальных уравнений, семейства операторов, например интегральных, зависящих от параметра, и т. д. В дальнейшем для простоты изложения мы будем предполагать.
что Я есть отрезок [а, б[ числовой прямой. Очевидно, абстрактные функции числового аргумента можно складывать и умножать на вещественные числа, т. е. они образуют линейное пространство. Функция х (г) называется непрерывной в точке отрезка [а, б[, если для любого е > О найдется б=б(гз, е) такое. что [[х(г) — х(ге)[[ С в при гЕ[а, б[ и [г — Я < б.
эп диФФеРенциРОВАние и интегРиРоВАние 407 Функцию, непрерывную в каждой точке отрезка [а, Ь[, будем, как обычно, называть непрерывной на этом отрезке, Очевидно, что операции сложения функций и умножения их на число не выводят за пределы класса непрерывных функций. Функция х(1) называется равномерно непрерывной на [а, Ь[, если для всякого е Р О можно определить число Ь такое, что прн 1!, се~ [а, д1 и [г! — Ег[ (Ь [[ (1~) — (Г~)[[ <е, независимо от положения точек г! и гг на отрезке [а, Ь[.
Лемма 1. Функция х= х(1), ЕЕ[а, Ь[, хц Е, непрерывная на отрезке [а, Ь[, разномерно непрерывна на этом отрезке. рассмотрим числовую функцию гр(1, т), определенную в квадрате а (1, т (д равенством <р (1, т) = 1 [ х (г) — х (т) ~ [. Легко видеть, что функция гр(г, т) непрерывна на этом квадрате, а следовательно, и равномерно непрерывна на нем. Поэтому для каждого е ) О найдется Ь ~ О такое, что [7 (сг, т!) — ср (сг.
тг)[ ( е (1) при [1! — 1г[ (Ь. [т! — т [ <Ь и независимо от положения точек (1!, т,) и (Ег, тг) в квадрате а <г, т<Ь. Положим т, = 1г, тг = 1г [С! — Сг[ < Ь. где Учитывая, что р(Ег, 1г) = [[х (Ег) — х(1г)[[ = О, получаем из (1) [ф(С! 1г)[ = [[х(1!) — х(1г)[~ ~< е при [г! — 1г[ ( Ь, и равномерная непрерывность х(Ф) доказана.
Нетрудно показать, что функция х(1), непрерывная на отрезке [а, Ь[, ограничена на нем (т. е. множество значений функции х (г), 1 ~ [а, Ь[, есть ограниченное множество пространства Е). 408 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ !ГЛ. ЧН1 Дифференцирование. Рассмотрим функцию х = х (Е), где ЕЕ [а, Ы, хЕЕ. Определим производную х'(Е) с помощью равенства Фх (1),(Е !. х (Е+ ЬЕ) — х (Е) ы.ло если предел в правой части существует в смысле сходимости в пространстве Е. Имеем (Е) — (Е ЛЕ) АЕ где и(Е.
ЛЕ)-ьО прн ЛЕ-ьО. Поэтому х(Е+ЛЕ) — х(Е)= — х'(Е)ЛЕ+и(Е, ЛЕ)ЛЕ. (3) При ЛŠ— ьО прззая часть равенства (3) стремится к О, откуда следует, что если х(Е) имеет производную в точке Е, то х(Е) непрерывна в этой точке. Легко установить следующие свойства операции дифференцирования: 1) [х Я+уЯ['=- ' Я+ у'Я; 2) [Ах(Е)['=Ах'(Е) для любого числового множителя Л; 3) пусть для элементов х ~ Е„определено умножение слева (или справа) на элементы у~Еу, непрерывное, дистрибутивное относительно сложения и перестановочное с умножением на числовые множители; тогда [ух (Е)[ = ух' (Е), (4) т. е.
постоянный множитель можно выносить за знак дифференцирования. Свойства 1) и 2) очевидны. Свойство 3) следует из непрерывности и дистрибутнвпостн операции умножения слева. а именно: лЕ . ух (Е+ ЛЕ) — ук (Е) йЕ АЕ.+О = !!ау к (Е -[- дЕ) — х (Е) . к (Е + АЕ) — х (Е) ггк (Е) =у !нп =у Л1-лз ЬЕ Аг-лО лЕЕ Аналогично [х (Е) у [' = х' (Е) у. (б) диееегвициговлиие и интеггиговлние 409 х = х (1), х ~ Е, и А есть оператор П р и м ер. Пусть из (Ех-ьЕ, ). Тогда (б) [Ах (Г)]' = Ах' (Г).
Л вЂ” А(Г)~(Е,.-ьЕ,) и х~Ех. [А (У) х)' = Л' (1) х. Пусть Тогда В частности, лля линейного фуикциоиала [У [х (г) Ц ' = У [х' (г)1, [у (г) х)' = у' (г) х. (з) (9) Производные высших порядков. Перейдем теперь к определению производных высших порядков. Можно дать лва определения п-й производной хы>(1) в точке 1 от функции х= — х(1) аналогично тому, как это делается для числовой функции числового аргумента').
1. Пусть Л,"„,, (1)= ~ч: ( — 1)е-ьС,',. ~и+йб1), гле С» — биномиальные коэффициенты. Лл>х(г) есть и-и разность от х(г) в точке 1. Соответственно СхП)=Лл~х(г — —,, Лг) называют п-й центрарованной разностью. Выражение х'">(г)=!пп „Ь~>х(г) д>-ьо (эг)" (1О) ') См, Дополнение (Ч. в предполо>кении, что этот предел существует, называется п-й разностной производной функции х(г) в точке Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
