1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 59
Текст из файла (страница 59)
тору Йз(Г), определяемому равенством х (Г) = Йэ (г) хе, )ге (0) хо = х (О ( Г ( Т), который дает решение рассматриваемой задачи. В силу линейности оператора А оператор )сз(Ф) для всех г также линейный. Предположим, кроме того, что )се(!) х-ь х при г-ьО, х~ 0(И). Будем говорить, что задача лоспгавлена корректно. если А)(гс) всюду плотно в Е и семейство операторов )с (Г) равмомерно относительно г ограничено на 0 ()с). Ясно, что это определение корректности совпадает с обычным оцределением, которое дается в математической физике.
При сделанных предположениях оператор Йэ(г) при каждом г можно продолжить по непрерывности до линейного оператора )с(!), определенного на всем пространстве Е. Абстрактную функцию х(Г) = й(Г) х мы будем называть 426 АнАлиз В линейных ЙРостРАнстзлх !Гл. чнт обобщенным решением аадачи (1) — (2), определяемым начальным значением хеЕЕ!()с). Заметим, что семейство операторов Я(1) также является равномерно ограниченным на отрезке 10. Т). Кроме того, )с(1)-+1 в смысле точечной сходимостн нри 1 — ь+ О.
Сделаем еще одно допущение. Будем предполагать, что если мы, отправляясь от начального значения хе, определим решение х(1) в точке Ф=Фе, а затем, отправляясь от х(1е) как от начального вначения. найдем х(1) для 1) 1е, то мы придем к тому же результату, что и нри нахождении х(1), отправляясь непосредственно от хз. Применительно к оператору Я(1) это будет означать, что )э (1 1о) 1» (1е) = 1» (1) Я (1 ) й (1 ) = Л (1, + 1 ) или. иначе, (3) х„+ — — С(Ы)х„л=О, 1, ..., М вЂ” 1. (4) хз задано, для любых Ю1, 1з > О. Сделанное предположение выполняется в большинстве случаев.
важных для приложений, и вытекает из принципа научного детерминизма, утверждающего. что последующие состояния физической системы вполне определяются ее предыдущими состояниями. Можно сформулировать условия, какие должны быть наложены на оператор А, чтобы равенство (3) имело место. Об этом см., например, в 135]. Введем теиерь понятие о коиечноразностной анпроксимации задачи. Пусть хн х,, ..., хх — система точек нростран- ства Е, которые мы Принимаем за приближенное значение функции х (1).
Именно, полагаем, что х„= х (а Ы), л = 1, 2,..., гч'; !ч' Ы= Т. Предположим, что для определения этих точек мы имеем некоторое операторное уравнение, которое для простоты будем считать связывающим лишь две точки с соседними номерами. Так как х„является приближенным значением х (л Ы).
то естественно предполагать. что оператор, входящий в уравнение, связывающее х„и х„+и зависит от Ы. Будем, кроме того. предполагать, что уравнение можно разрешить относительно х„+Р Тогда мы приходим к рекуррентному соотношению Фм РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 427 где С(11г) — ограниченный линейный оператор, которое будем называть нонечноразностной аппроксимацией задачи 1) — (2). Так как х((и+1)дг) — х(пдг) х +,— х дг дг С (Аг) х„— х„С (ЛГ) — 7 с (Аг) — г ах то должно аппроксимировать —. Но, с другой стороны, в силу (!) дх — =Ах, иг и, следовательно, для того чтобы соотношения (4) действительно аппроксимировали краевую задачу, необходимо, чтобы с (Аг) — г выражение в некотором смысле аппроксимировало оператор А. В соответствии с этим будем говорить, что конечноразностная аппроксимация (4) задачи (1) — (2) удовлетворяет условию согласованности, если // ( — А) х (г) ~ -ь О при гьг-+О равномерно по 1, О:(г (Т.
на некотором множестве 1. точных решений х(г), причем множество начальных вначений х„, соответствуюших решениям х (г) ~ Е, лежит всюду плотно в Е. Пусть х„+,— — С(гьг)х, й=О, 1. 2, ..., !т' — 1, х, задано ( ) 4 есть конечноразностная аппроксимация краевой задачи (1) — (2), Применяя формулу (4) последовательно для й=О, 1, ...
..., и — 1. получим х„=[С(аг)]" х . Так как эта точка х„является приближенным значением при г=п11г точного решения х(Г)=ге(г)хе, то мы вводим следуюшее определение: конечноразностная аппроксимация (4) вадачн (1) — (2) называется сходнгцейсп. есаи для любой 4ге Ан»лиз В динкиных пРОстРАнстВАх [гл. шп последовательности (Ь»С[, стремяшейся к нулю, и любого хе ЕЕ [[С(Ь»1))"» х.— Л(г) х,[- О прь й-»оо и я»Ь»8-»Ф, О (Д (Т. Конечноразностную аппроксимацию будем нааывать устойчивой, если для любой последовательности [Ь»г), сходящейся к нулю.
множество операторов [С(Ь»г))', я=1, 2....; О(,яЬ С (Т. ограничено по норме в пространстве операторов. Если конечнораэностная аппроксимация устойчива, то все приближенные значения х„точного решения х (я Ьг) ограничены в совокупности для любого фиксированного начального элемента хэ. Имеет место следующая фундаментальная теорема. Теорема (Лаке а). Пусть дана норректно поставленная задача (1) — (2) и ее конечноразкостная аппроксимация (4), удовлетворяющая условию согласованности.
Для того чтобы конечноразностная аиироксимация была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была устойчивой. н е о б х о д н м о с т ь. пусть [[с (ь|г))»[, где ь|г-» О, О (яЬ Ф (Т, есть неограниченное множество пространства (Е-» Е). В силу замечания к теореме Банаха — Штейнхауса найдутся подпоследовательность [[С (Ь»с))~»[ и элемент хэ такие, что [[С (Ь Г))"» хе) будет неограниченной последовательностью элементов пространства Е. Так как О (я» Ь с ( Т.
то из последовательности [я» Ь»г[ можно выделить нодпоследовательность [я», Ь»,с[. сходящуюся к некоторому числу еэ Е [О, Т). Будем, следовательно, иметь ) [С(Ь»»г)) хе[[-» оо. П», Ь»»г -» го. С другой стороны, в силу предположенной сходимости аппроксимации Ц~С[Ь»ЯА»' хе — й (ге) хе['-»О. откуда ~~С(Ь»,й)1"'хо[[-» [[Я (со) хо[[ = с.
ам илзностныз схимы и тиовемл ллксл 429 где с — конечное число. Подучили противоречие. Следова- тельно, [[СЛ~г)["[ — ограниченное множество в пространстве операторов, и необходимость доказана. Лостаточ ность. Пусть х(г)= с[(Г)хе — одно из точ- нык решений краевой задачи, принадлежащее многообразию Е, фигурирующему з определении согласованностз. Тогда для любого е > 0 найдется Ь, > 0 такое, что )~ — А) х(Г)[[<— при О < ЛУ < б, и любых Г из [О, Т[.,[(злее, по определению точного решения имеем !) "["' "' — Ах(Г)~< —,' при 0<ЛГ <ба и равномерно в [О, Т[, или. учитывая, что х(Г+ Лг) = )т (Г+ЛГ) хе= рс(ЛГ) Й (г) хе= Й(ЛГ) х(г), И"'" '-").(')И при 0 < Лг < ба и равномерно в [О, Т[.
Отсюда при 0 < ЛГ <б=ш[п(б,, бя) [[[С(Лг) — )т(Лг)) х(г)[[ < еЛг, (6) и притом для всех г из [О, Т[ сразу. Пусть хе — начальный элемент, определяющий рассматри- ваемое решение х(Г). Положим ., = 1[С(Л,Г)[" — а(л, Л,Г)1,, где [Лег[ — последовательность, сходящаяся к нулю, и п„Л„Г-ьГ. Простым подсчетом с использованием равенства К(г,)К(га)=К(гг+гз), гн г,>о убеждаемся, что чь-1 [[С (ЛаГ)1™ "' гт' [(л, — (ш+ [) ) Ляг[в и — [С(Двг[ т(аа — т) Даг[' хо —— ле-1 = Х [С(Лег)[ [С(ЛМ вЂ” Й(Льг)[ й [(ва — (т+ [))Л„[[хе е 430 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ТЧН Отсюда лл-Г ЦААЦ ~( с!~ [С(Ьлг)Ц Ц[С(ЬАТ) — й (Ьлг)[)ч Х й Ннл — (яе+ 1) ЬАГ[ «еЦ.
(7) В силу предположенной устойчивости аппроксимации найдется такая константа К, что ЦС(Ьлг)~ ~<К. (8) Тогда (6) и (8), примененные к (7), дают лл-1 ЦЕАЦ ( ~ КеЬАТ=Кенл Ьег~(КеТ. и=а Так как е можно выбирать произвольно, то отсюда следует. что ЦЕАЦ -ьО при ЬА1-РО, лАЬА1-ьЬ Далее будем иметь 1! ([С(Ь„1)[лл — й(1)1 «,Ц (3 ([С (Ь,г)[л» вЂ” й(~, Ь,г)) «.1+ + [~ [й (нл Ьлг) й (г)[ «о Ц = Ц «А Ц + Ц [й (не Ьлг) й (1)[ «а Ц (9) Рассмотрим последнее слагаемое.
Имеем й (нл Ьлг) — й (г) = [й(т) — 1[ й (г) при г=пАЬлг — 1) О, — [й(г) — 1[й (Г) при Т= 1 — ал Ьлг) О. 1= нл ЬАЬ В обоих случаях при пьЬА1-ьг [й (т) — 1[ -ь О, а й(Г) илн й(1) ограничены. Поэтому при гл плЬА1 Ц[й(на Ьлг) — й(г)[«е![ ~~ Цй(1)Ц Ц[й(т) — 1[«оЦ < еМ, (10) где е — «О при т — ьО, и 1И=внр Цй(1)Ц Ф а1 РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Н ТЕОРЕМА ЛАКСА аз1 и легко видеть, что все три слагаемых справа можно сделать как угодно малыми, первое в силу только что доказанного, а два других потому, что элементы хе лежат всюду плотно в Г и множества [[С(ЬАг)["А) и [гс(г)) ограничены. Итак.
[[С(Ь,Т)1"» — Д(с)) х- О при Ь„Р-ьО, ЛАЬАг-ьг всюду в Е, и достаточность доказана. Как пример применения теоремы Лакса рассмотрим реше- ние конечноразностным методом задачи Коши для уравнения теплопроводности: дг — — с ~", . 0(ь (а, 0(~ (Т, дг и (О. ~) =и(а, г) = О, и Я, 0) =фЯ). (11) За основное банахово пространство возьмем пространство С [О.
а) функций, непрерывных на отрезке [О, а[ и обращающихся в нуль на концах этого отрезка. Тогда непрерывную функцию и Д. г) двух переменных, где и (О, г) = =и(а, С)=0. можно рассматривать как однопараметрическое семейство и, ($) = х (г) элементов пространства Сз [О. а[, и краевую задачу (11) можно записать в виде их — Ах. х (0) = <р, иг (12) Аналогичная оценка имеет место при 8) илЬАЬ Слеловательно, из (9) и (10) получаем И[С(Ь„Ч" — ЛЖ1 х,[ 4![Х,[[+е)И и так как оба слагаемых справа могут быть сделаны сколь угодно малыми при и Ьаг-ьг. то (С [(ЬАС)] А Я (Г)) хр ь 0 на элементах хе, являющихся начальными аначениями решений многообразия Е.
Если х — произвольный элемент пространства Е, то можно написать [[С(Ь,С))"А — Я(С)1 х = [[С(ЬА~)1"А — Л(Ф)) х.+ + [С (Ьаг)[ а (х «е) й (Е) (» хе) 432 1гл, щн АнАлиз В линейных НРостРАнствлх где А — оператор дифференцирования лл А =с' —, лллл ' определенный на множестве )0(А) дважды непрерывно дифференцируемых функций пространства Се[0, а[, обращающихся при $=0 и $=а в нуль. В качестве аппроксимирующей краевой задачи выберем систему дг (лц)л (13) /=1, 2, ..., у — 1, а=1, 2, ..., И, /Л'=а, МЛГ=-Т, и краевые условия н(л) — н(Ю 0 ле ф (/ Де) о г ' ! (14) х„+, — — С(Ы)х„, х =ф, а=0,1,2,...,Ф вЂ” 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
