1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда ~~'„().д — т») Е (Л ) < А — ~Р т Е(Л») ~( ~~'„(1»» — тд) Е (Л»). »=1 д=! »=1 Положим и!ах(р» — )»)=-6. Тогда из этих неравенств по- » лучим и — ЬЕ ~( А — ~ ч Е (Л») ~( ЬЕ, »=! т. е и — 6(х, х) «( А —,~'„т»Е(Л») х, х ~(Ь(х, х). д=! Отс!Ода следует, что и А — ~ т»Е (Лд) ~(6, д=! т. е. мие А=1[я!~~) т»Е(Л )= ~ Х!ТЕ», »-+и д д=! и! что и требовалось доказать.
Для вполне непрерывного оператора эта формула переходит а формулу (10) Ь 4. 3 а и е ч а н и е. Так как сходимость послеловательности операторов (А„[ к оператору А в смысле равномерной слодимости в пространстве операторов влечет за собой точеч- $ и РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЮЮ!ОГО ОПЕРАТОРА 341 ную сходимость [Ал] к А, а также сходимость квалратичных форм (Алх, х) к квадратичной форме (Ах, х). то ив теоремы 3 следует: л Мле 1) Ах=-1!и!~~Ь ТАЕ(ЛА)х= ~ ),!ГЕ!.х, е=! УЛ л М -е 2) (Ах, х)=11п!~~~~~те(Е(ЛА)х, х)= / ЛЯЕАх, х) лла любого х Е Н. Функции от оператора.
Резольвеита. Спектр. О п рел е л е н и е Р(А). Определим теперь интегралы вида М!е ~ Р(Ц т! гл тле Р (Х) — произвольная ком плекснозначная ступенчатая на отрезке [лг, М[ функпия, а [Ег[ — разложение единицы, порожденное самосопряженным операторои А. Если Хе †точ разрыва этой функции, то условимся считать, что Р(),) = Р(Х,+О). Продолжим Р(Л) на полуинтервал [ле, М+е), положив там Р(Л)=Р(М). Пусть Р().е)=т» на Л„=[7.е, ра), й=1, 2, ..., и, причем ЦЛ„= [ле, М+ е). е=! Полагаем по определению Мее л Р(),) г)Е, = ~ ТАЕ(Л,).
Легко видеть, что имеем также равенство Мее Р Р (Х) йЕ! = ~~Э РАЕ (Л ), л! е=! где ˄— любые частичные полуинтервалы, на которых Р(А) постоянна и которые в сумме дают [гл, М+е). Оператор СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. УП 342 М+е Р().) йЕ» обозначим Р(А) и назовем функцией олераее ссора А, соответствующей функции Р()) вещественной переменной Х.
Мы получаем, таким образом, соответствие между ступенчатыми функциями вещественной переменной и функциями оператора А. Это соответствие обладает следующими свойствами; 1) если Р(Х) = аР,(А)+[)Р (й), Р (А) = а Р, (А) + РР, (А) то (аддитнвность соо! ветствия); 2) если Р(Л) = Р!(Л) Ра().), то Р (А) = Р, (А) Ра (А) Р (Л) = аР, ().)+ [)Ра().) имеем Р(А) = — ~ (ас'"+[)с!Атг)Е(ее ) = е е е = а,~~~ с',ПЕ (Ье')+ [) ~~'„с',"Е (Ле) = — а Р, (А) + рР (А), а для Р(А)=Ре(А) Ра().) вследствие ортогональности Е(!) ) (мультиплнкативность соответствия); 3) Р (А) = [Р (А)[*, где черта над функцией означает переход к комплексно сопряженной функции; 4) [)Р(АЦ 4 гпах[Р(Х)[! 5) для любого ограниченного линейного оператора В из АВ=ВА следует Р(А)В=ВР(А). Лля доказательства свойств 1) и 2) разобьем полуинтервал [ги.
М+е) на части сее, на которых обе функции, Р,(Х) и Ра()е), постоянны. Тогда для 55[ РАЗЛОЖЕННЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 343 и Е(Л!) при !г ~ !' имеем Г (А) = — ~, с! "с!дЕ(Л ) =- А=! Л Л А л у л = ( ~! с"'Е(Л )) ~ ~~Л~ с1ПЕ(Л,) = Е'! (А) Ет(А). ~Л=! 1=1 Далее / л (Г(А) х, у) = ~ ~ саЕ(Л„) х, у А=1 х, ~ сдЕ (ЛА) у = (х, Р(А) у), А=! откуда следует, что [Г (А)[* = Е(А). Наконец л )улл)..
л~=((х тл!л). *)(< ,А=! ! < ~чР„[с [(Е(Л ) х, х) (щах [Г(Л)[ (х, х). л=! Отсюда [[Г(А)'[= апр [(Г(А)х, х)[~(п!ак [Р())[. !! л !! = ! Свойство 5) очевидно. Из определения Г(А) следует, в частности, что Е(Л) = =-уд(А), где уа().) — характеристическая функция полуинтервала Л. Пусть теперь Г(Х) — произвольная непрерывная на [лг, М[ функция.
Продолжим ее на полуинтервал [т, М+е), полагая Е().) = Г(М) для Л~(Л, М+е). Существует последовательность ступенчатых функций Гл ().) равномерно на [т, М+е) сходящаяся к Г().). Рассмотрим соответствующие функции от оператора Гл(А). Имеем [[Гл(А) — Г (А)~! (гпах (Г„()) — Г ()!)[-РО ПРИ Л, И вЂ” лСО, !ГЛ. Ри СПЕКТРАЛЪИАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ В силу полноты пространства операторов существует опе- ратор В=1!ш Ре(А) и Положим по определению иее В = ~ Р (Л) йВ,. Будем в дальнейшем обозначать В также через Р(А) и на- зывать функцией от оператора А соответствующей не- прерывной функции Р(Л) вещественной переменной Л.
Легко убедиться в том. что определение Р(А) не зависит от выбора последовательности )Р„(Л)). сходящейся к Р(Л), н что свой- ства 1) — 5) сохраняются и для случая непрерывных функ- ций. В частности, имеем Мче А" = / Л" псе, и = О, 1, 2, ... Резольвента. Полученное соответствие между функциями вещественной переменной и функциями от операторов может быть широко использовано для выяснения ряда свойств саыо- сопряженного оператора, в частности спектральных свойств. Мы ограничимся здесь следующими тремя теоремами. Теорема 4. Для того чтобы для данного Ла сугце- ствовала резолевенгпа гср,, = (А — ЛеЕ) достаточно выполнения одного из следующих условий: 1) Ле не вещественно; 2) Ле лежит вне отрезка (т, Л4); 3) если Л,Е(т, М1, то существует полуинтервал [а, Р), а( Ла( Р, внутри которого ВА постоянно.
Во всех зтих случаях А!+ е ~~.=У Л;, В самон деле, в первых двух случаях функция У(Л)=, ', % 6! РАзложение ЕАмосопРяженнОЕО ОпеРАтОРА 345 непрерывна в [и, М -[- е) при достаточно малом е. Поэтому М+е мае лые и так как (Л вЂ” Лв) ЙЕА = А — ЛвЕ. то В третьем случае разобьем полуинтервал [лт, М + е) на три полуинтервала [ле, а), [а, Р) и [р, М + е).
Пусть ф(Л)=,, „иа [ле, а) и [р, М+е) и линейна на [а. Р), 1 причем ф(п)=, ер(р) = 1 1 в — Ла р Ла В силу постоянства ЕА в полуинтервале [а, Р) в ~ ф(Л)е(ЕЕ=О в для любой функции ф(Л). Поэтому можно записать Ч~е Следовательно, > Л ( (Л )в)етЕл = Е. Отсюда вытекает, что есеа существует и равна Ла ее Л вЂ” А, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ (гл. Егг Теорема 5. Если для вещественного Х существует й~,, то Ле лежит внугпри некоторого полуинтервили (а, б).
Хань а, в котором ЕА постоянна. Возьмем для произвольного х ~ Н равенство Мча ('4 — ) сЕ) х = ~ () — )'о) с(Елх л~ и применим к обеим частям его оператор ЙыЕ(Л), где Л = (а, Р) — некоторый полуинтервал, содержащий внутри себя точку ).е. Получим Отсюда з (~Е(Л) х(( ()(ЙА,(! ~ (Л вЂ” йо) йЕхх а Но, как легко проверить, ~ (Х вЂ” Ае) йЕех (с ~~Е(Л) х'а, а тле с=пыл(Р— Ла, Ле — а). СлеДовательно, ((Е(Л) х(( ( с ()ИА,() (~Е(Л) х((. Выбереи теперь полуинтерзал ~а, р) настолько малым, 1 чтобы с~(йт,~( ( —. Получим 2 ' (~Е(Л) )! ~( 2 )(Е(Л) )!.
Но это возможно, лишь если Е (Л) х = О, и так как х — любой элемент из Н, то Е(Л)=0. Тем более Е(Л)=0 для любого полуинтервала Л~Л, а это означает, что ЕА постоянно в (а, р). Из теоремы 4 непосредственно вытекает, что множество регулярных точек самосопряженного оператора А есть открытое множество, а следовательно, спектр самосопряженного оператора А представляет собой замкнутое множество, рас- $51 РЛЗЛОЖЕНИЕ СЛМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 347 положенное на вещественной прямой (замкнутость спектра произвольного ограниченного линейного оператора в вещественном банаховом пространстве была установлена в гл.
1П). Собственные значения самосоиряжениого оператора. Теорема 6. Для того чтоды Ло было собственным значением самосопрлженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы Ло было точкой ризрыза длн Ел. Необходимость. Пусть для некоторого хоче О Ахо Лохо = О. Тогда ((А — ЛоЕ)' хо хо) = О и, следовательно, Л!че (Л вЂ” Ло)2 д (Е1,хо, хо) = О. П~ Так как подынтегральная функция неотрицательна, а интегрирующая функция монотонно возрастает, то и (Л вЂ” Ло)' д (Е1,.хо, хо) = О 0 для любого полуинтервала [а, 6). В частности. для любого е)О мче () — Ла)г й(Елхо хо) = О ° л,+е н так как на интервале интегрирования (Л вЂ” Ло)г )~ ег, то тем более Лые ег ~ д(Елхо, хо) = ее Ихо, хо) (Ел.+ело хо)1 =О.
Лы е Следовательно, (.чо, хо) (Ел,+ехо хо) = О. т. е. ЕЛа+ е'ЧО (7) СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Гл. Ри Аналогично л,-е У (Л вЂ” Л )2 е( (Е х, х ) = О, откуда с учетом того, что Е = О, получаем Ел,-ехо = О. (8) Из (7) и (8) следует (Ел,+е Ел -е) хо = хо и так как е произвольно, то (Ел.+о — Ел,) хо = хо Следовательно, Ло есть действительно точка разрыва для Ею причем собственный элемент хо принадлежит подпространству, соответствующему проекционному оператору Ел„ее †. Достаточность. Пусть Е~.лоан Е~ и хо — любой элемент из подпрострапства, соответствующего' оператору Ел,„о — Ел . Тогда (Ел,+о — Ел,) хо = хо т. е. хо принадлежит ортогональному дополнению пространства Ее в пространстве Ле„ +о.
Поэтому Ел,+охо = хо Ел хо = О Тем более Ел.хо=хо для Л) Ло и, следовательно, ЕФ) хо=хо для Л = [Ло Ло+е). Но тогда л,ее А хо = АЕ (Ь) хо = ~ Л ~(Ел хо ле Леое Лохо=ЛоЕ(А)хо= / Лое(Елхо л, и, следовательно, ле+е ААо — )охо= ~ (Л вЂ” Ло) «Ел.хо. ле эй НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛГОРЫ 349 Отсюда 'й Ахо — Лоха)! 4 е йЕ(Л) хой ~~ е(( хо)~ и так как е произвольно, то (( Ахо — Лвхв!! =.
О. Попутно получено, что все подпространство, на которое проектирует оператор Ем+6 — Е1,, состоит из собственных элементов оператора А, соответствующих собственному значению Лв. ф 6. Неограниченные линейные операторы. Основные понятия и определения В предыдуших параграфах мы рассматривали линейные ограниченные операторы, определенные на всем гильбертовом пространстве Н. Однако целый ряд весьма важных линейных операторов не удовлетворяет этим условиям.
Таков, например. оператор дифференцирования А= —, котоРый опРеделен лишь на всюдУ плотном в Е61 — л, и) множестве функций, имеющих производную, суммируемую с квадратом. Оператор дифференцирования не ограничен на этом множестве, так как для х„(Г)=з!лиг имеем )(Ах„() =л 1~хл11 ° Если линейный оператор А определен на всюду плотном множестве пространства Н и ограничен на нем, то А равномерно непрерывен на этом множестве и его можно однозначно продолжить по непрерывности на все пространство. Для некоторого класса операторов имеет место и обратное утверждение. Т е о р е м а 1. Если линейный олератор А оиределен на всем иространстве Н и для всех х и у из Н справедливо равенство (Ах, у)=(х, Ау), то он ограничен и, следовательно, непрерывен. Предположим противное.
Тогла существует последовательпость [х„) ~ Н такая, что ((х„~~ = 1 и ))Ах„~( -ь ОО. (1) СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. Рп Рассмотрим функционалы Ун(х) =(Ах, хе)=(х, Ах„). Они адднтивны и однородны и, кроме того, (у'„(х)! = ((Ах, х„)( (((Ах)( ((х„)(=((Ах((= с, В силу теоремы Банаха — Штейнхауса нормы этих функционалов будут ограничены в совокупности: ~~ У„(~ ( с. Но ~~~„~~=)(Ах„1!; отсюда ((Ах„))(с, что в силу (1) невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
