1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(6) а Пусть ф(/) — функция, удовлетворяющая следующим условиям: !) ф (/) 1 для О м, / л... —, 1 2' 2) ф (Г) О для Г > 1; Г1 3) ф(/) монотонно убывает на отрезке ~ —,, 11; 4) ф(Г) имеет непрерывные производные любых порядков на (О, со). Очевидно, что такие функции существуют. Пусть, далее, Уе(У~лег) Х(г) — бесселева функция нулевого порядка второго рода. Как известно (33), ДХ(г)+Д Х(г) = О, $4! ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ йй3 и Х(г) имеет одну особенность логарифмического типа прн г= О. Положим ь (х, у) = ~ф ( — ) — ф ( — )~ Х (г). 1 При г ~( р, = — ш!е (Аь А,) имеем ф( — „') — ф( — „') =! — 1=6, и при г~р, = шах(АЬ Ат) )( — „")=ф( — „")=О.
~ / Рэ(А~+А,РПЬ (О=О. О (л Пусть где с (А) = ~ ~) А [ф ( — „') х ( )1+ л,ф ( — „') х( ) ~пе тф а Можно доказать, что С(А) прн А-ьО стремится к конечному пределу С,. Из свойств функции ф(г) следует, что А а) э)А(г) ==О при г> А и при г < — (так как в этом послед!г! нем случае 4г ( — ) ==1 и (,А) А ~ф (Г) Х(г))+Лэф ( — ')Х(г) = АХ(г)+ Ъ,Х(г) =О), б) ЯА(г) имеет непрерывные производные всех порядков. Возьмем пэ(г) в качестве усредняющего ядра.
Формулу (7) можно написать в виде С(А,) )' ~ Фэ(В П) ПА(г) %КЧ = С(А ) )" $Фэ(В П) ал(г) ПЬКЧ а О Следовательно, Ь (х, у) равна нулю внутри круга г = р, и вне круга г=рт. Поэтому если р, меньше расстояния от точки Р(х, у) до границы области О, то ь (х, у) есть непрерывно дифференцируемая любое число раз функция. обращающаяся в нуль в некоторои граничной полосе области О. Подставим эту функцию в формулу (6) н используем второе определение обобщенной производной, получим ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~гл.
ч! н она приводит тогда к равенству между средними функциями с (й1) ОРо)л, = С (йо) (йо)», или с (ай (оро)А,= С(й ) (оро)л, показывающему, что две различные средние функции отличаются лишь числовым множителем. Но тогда и еа (х, у), являющаяся пределом средних функций, отличается от иих лишь числовым множителем С (й) ра(х у) = — (Чо(х, у))а С, Так как средние функции имеют непрерывные производные всех порядков, то ва(х, у) также имеет непрерывные производные всех порядков. После этого равенство (6) можно переписать в виде ) ) ((РРо+Лйо)Ь(а П) СоГЧ=О.
о Так как Ь ($, П) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль в граничной полосе, то из основной леммы вариациоииого исчисления следует, что Ьр,+Л,р,=й внутри О. Функция оро принадлежиг классу В'~~, определенному выше. Можно показать, что для случая двух независимых переменных отсюда следУет, что Фа ~г — — О. ГЛАВА ЪВ ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В Е Самосопряженные операторы Если мы будем рассматривать линейные операторы, определенные в гильбертовом пространстве, то благодаря самосопряженности этого пространства и наличию в нем скалярного произведения элементов можно выделить класс операторов, обладающих особым свойством симметрии или самосопряженности, и изучить операторы этого класса глубже, чем произвольные линейные операторы в произвольном банаховом пространстве.
Эти операторы играют особо важную роль в анализе и теоретической физике, и их теории посвящена обширная литература. Сопряженный оператор. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство н А — ограниченный линейный оператор, определенный на Н, с областью значений в том же пространстве. Рассмотрим линейный функционал г" (х) =(Ах, у). Как линейный функционал в гильбертовом пространстве, у (х) имеет вид: г' (х) =(х, у'), где у' — некоторый элемент пространства Н, однозначно определяемый функционалом У . Очевидно, что с изменением у меняется функционал ут, а тем самыи и элемент у', и мы получаем оператор у'= А*у, зоб СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [Гл.
УП определенный на Н, с областью значений в том же пространстве. Этот оператор А' связан с оператором А равенством (Ах, у) =(х, А'у) (2) и называется оператором, сон рлжзнным с оператором А. Оператор А* однозначно определяется формулой (2). В самом деле, если для всех х и у имеют место равенства (Ах, у) =(х, А'у) =(х, А;у), то отсюла следует, что А*у = А,'у для всех у, а зто и означает, что А*= А'.
1' Легко видеть, что проведенное здесь определение сопряженного оператора формально совпадает с определением. данным в гл. [Ч для случая банаховых пространств. Но там мы предполагали банахово пространство вещественным. в то время как гильбертово пространство комплексное. Однако легко убедиться, что в комплексных пространствах остаются справедливыми теоремы о сопряженных операторах, доказанные в гл. [Ч. В частности, А' — ограниченный оператор, причем [[А'[[=[[А [[.
(3) Найдем оператор, сопряженный с А', обозначим его А В силу равенства (2) имеем для любых х, у ~Н (А*х, у) =(у. А'х) =(Ау, х)=(х, Ау;., откула следует, что А*"= А. Аналогично А '= А" и т. д. Легко видеть, что (А + В)* = А*+ В*, () А)'=).А*, (АВ)' = В'А*. Самосопряженные операторы. Линейный ограниченный оператор А называется ограниченным самосолряженныэг (или эу,витовыл[) оператором, если А*= А.
эп САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Примеры. 1. В л-мернои унитарном пространстве, которое можно рассматривать как конечноиерный аналог гильбертова, линейные операторы можно отождествлять с матрицами (аы), элемеитамн которых служат комплексные числа. Оператором, сопряженным с (аы), служит (аы). Самосопряжениый оператор есть врмитова матрица, т. е. матраца, для которой аы = аль В случае вещественной матрицы (аы) условие самосопряженности сводится к ее симметричности. 2. Для оператора Фредгольма в Ел[0, 1] с ядром К (В в) сопряженным оператором будет оператор Фредгольма с ядром К (е, О.
Условие самосонряженностн есть условие К(К в) = К(в, Г). В случае вещественного ядра это условие переходит в условие симметричности. 3. Расслютрни в 1.л[0, 1] оператор А, относящий каждой функции х(Г) ЕЕ, [О, 1] функцию Ах =гх(Г) Еил [О, 1ф Легко убедлпься в том, что этот оператор самосопряжеиный. В дальнейшеи слово «ограниченный» мы будем опускать. Из предыдущего следует, что если А — самосопряженнып оператор и Л вЂ” вещественное число, то ),А — также само- сопряженный оператор, и если А и  — самосопряженные операторы, то А+ — самосопряженный, а А — самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда операторы А и В перестановочны.
Наконец, легко показать, что если Аа — ь А в смысле скодимости по норме в пространстве операторов или в смысле точечной сходимости и все А„— самосопряженные операторы. то А — также самосопряжепный оператор. Если мы рассмотрим (Ах, у), где А — самосопряженный оператор. как функционал и от х и от у, то этот функционал, который мы обозначим А(х. у), как легко видеть, удовлетворяет условиям А(ахл'+[1хя, у) =аА(х,, у)+]3А(хя у), А(х. у) =А(у.
х). Такой функционал мы будем называть билинейной э)лиитовой формой. Эта форма ограничена в том смысле. что ]А(х, у)] (Сл[]х[]]]у,'], где Сл — некоторая постоянная (в рассматриваемом случае С,-[]"А][). Таким образом. каждый самосопряженный оператор А порождает некоторую ограниченную билинейную эрмитову СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПРРАТОРОВ 1гл. нп форму А (х, у) = (Ах, у) = (х, Ау). Обратно, если дана ограниченная билинейная эрмитова форма А (х, у), то она порождает некоторый самосопряженный оператор А, удовлетворяющий равенству А(х, у) =(Ах, у). В самом деле, зафиксировав в форме А(х, у) элемент у, мы получим линейный функционал от х.
Следовательно, А(х, у)=(х, у'), гле элемент у' определяется однозначно. Таким образом, мы получаем оператор А, определяемый равенством Ау=у" (х, Ау).=А(х, у). и такой, что Очевидно, А — линейный оператор. Легко убедиться. что А— ограниченный оператор. В самом деле, ~ (х, Ау) ( = ( А (х. у) ~ ~( СА )~ х ) ( (~ у ~! . Полагая х=Ау и сокращая на йАу(), находим !~Ау~~ < Сл ~~у У. Покажем, что А — самосопряженный оператор.
Для любых х и уЕТГ имеем (х, Ау)=А(у, х) =(у, Ах)=(Ах, у), откуда и следует, что А=А' и А(х, у)=(Ах, у). Квадратичные формы. Возьмем билинейную эрмнтову форму А(х, у) и положим в ней у=х. 11олучим квадратичную форму А (х, х), принимающую для всех х вещественные значения и такую. что А (ах+ру, ах+ ру) = па А (х, х)+ +а3(А(х, у)+аРА(у, х)+РРА(у, у).
Такую форму А(х, х) будем называть квадрагличной армиглоаод формой, соответствующей билинейной эрмлтовой э и САЯОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ где х,=х+у, х =х — у ха х+(у х4 х (у Нетрудно показать, что квадратичная эрмитова форма А(х, х) будет ограниченной, т. е. ] А (х, х) ] ( СА ]] х ]]з, в том и только в том случае, когда соответствующая билинейная эрмитова форма ограничена. Пусть лг= 1п1 (Ах, х) и М= зпр (Ах, х).
1~к~1=1 !к!=! Числа лг и М называются нижней и верхней ераницами самосопряженного оператора А. Покажем, что ]]А)]= и!ах()лг], ]М])= зпр ](Ах. х)]. Вк! =! В самом деле, пусть ]]х~]= 1. Тогда ](Ах, х)]~(]]Ах]! )]х]]~(]]А]]]]х]]!=]]А]] и, следовательно, Сл —— знр ](Ах, х)] (]~А,'1. ! (4) С другой стороны, для любого уЕН имеем (Ау, у) <Сл]]у]]. форме А(х, у). Если задана билинейная эрмитова форма А(х, у), то тем самым задана и соответствующая квадратичная эрмитова форма А(х, х). Верно и обратное: задание квадратичной формы А(х. х) однозначно определяет билинейную эрмитову форму А(х, у), соответствующую квадратичной форме А (х, х). Эта билинейная форма определяется равенством 1 А (х, у)= 4 ]]А гхн х!) — А (х, х )]+ + ! ] 4 (хз хз) — А (х „х4)]], а|о спектядльидя теояия опетлтояов (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
