1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Предположим противное. Тогда мы можем выделить последовательность Лг ° ° Лю ° ° ° различных собственных значений, причем [ Л, ~ )~ и. Пусть хо хг, ..., х„, ... — последовательность собственных элементов, соответствующих этим собственным значениям Ах„= Л„х„. Докажем, что элементы хо хг, ..., хь при любом 72 линейно независимы. Лля и= ! это тривиально. Пусть х,, хг, .... хь — линейно независимы.
') Размерность надпространств нулей оператора А — Лl называется кратностью собственного значения Л. Из леммы ! следует, что все ненулевые собственные значения вполне непрерывного оператора имеюг конечную кратность. 1гл. и! вполни наива ывныи опивлтоиы Если предположить, что Ф х +,— — ~~'., с!х„ !=! (13) то, действуя на обе части этого равенства оператором А, будем иметь а Ла+!ха+! — — ~! Л!с!х!. !=! (14) Иэ (13) и (!4) следует (так как Ла+! Ф 0), что Но это невозможно в силу неравенств 1 — — !ФО ЛФ.~ ! УеыкЕа+! !!Уа+!!1=1 1 (~у»! ! — х(()~— такой, что для любого хЕЕм Оценим ((Ау — Ау„(~, полагая, напри- мер.
что л! ) а. Имеем Аул Аул= Лтуа+Т! Ул Л Ул Т!' Уа=Лглущ где х = Л„у„ + Т, у — Тл у . Заметим теперь, что Т у„, = Ау — Л у = А ~~5 с!х! — Л,„к~5~ сгх! = ! !-! / ! ! и е — ! = ~~' с,Л;х,— ~д с!Л х,= ь~(Л! — Л )с!х! ° ! ! ! Ф! н линейной независимости хп хм ..., ха. Пусть ń— подвространство, порожденное элементами х,, хм ..., ха.
Е! есть собственное подпространство пространства Е„+,. Поэтому найдется элемент $31 ПРИНЦИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 287 Поэтому Т, у ~ 1, Так ТА у„ЕЬ„,с=7. н то хЕ7. 'а У б е,ч-н Будем иметь )! АУ вЂ” АУ,)) = )) Л У вЂ” Л„У )) = ) Л ) )) у — у )) > У„Е Л„<=7.„с=Л Р Положим л = Л у и, следовательно, ни )Ау„), ни любая ее подпоследовательность не сходятся. С другой стороны, так как )у„) — ограниченное множество, то )Ау„] компактно и, следовательно. содержит сходящуюся подпоследовательность.
Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 7 характеризует так называемую «дискретность» спектра вполне непрерывного оператора. $ 3. Принцип Шаудера и его применения Пусть М вЂ” множество банахова пространства Е н А — оператор, вообще нелинейный, определенный на множестве М н отображающий это множество в себя.
Оператор А называется комлаклгныл на множестве М, если всякое ограниченное подмножество этого множества он переводит в компактное. Если, кроме того, оператор А непрерывен на М, то мы будем называть его влолне непрерывным на этом множестве (если А линеен, то это определение совпадает с прежним). Не уменьшая общности, множество М можно предполагать в дальнейшем ограниченным. Для вполне непрерывных операторов, которые отображают выпуклые тела банахова пространства в себя, Ю. Шаудером установлена теорема, обобщающая известную теорему Браувра о существовании неподвижной точки прн непрерывном отображении выпуклого тела л-мерного евклидова пространства в свою часть. Эта теорема Шаудера имеет многочисленные применения для доказательства существования решения различных уравнений.
Три леммы. Для доказательства теоремы Шаудера установим предварительно три вспомогательные леммы. Пусть М вЂ” множество элементов банахова пространства и (А„) — последовательность операторов, вообще нелинейных. определенных на М. Будем говорить,, что эта последовательность равномерно на М сходитсв к оператору Аз.
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. щ если для любого числа е> О найлется номер па, зависящий лишь от е, такой, что 11Аех — Аах11 < е при п) па и для любого х Е М. Лемма 1. Если последовательность 1А„1 вполне непрерывных на М операторов равно.керна сходится на этом множестве к оператору Аа, то Аа также вполне непрерывен на М. Докажем сперва непрерывность оператора Аа на М.
Пусть 1х,1~: М сходится к хаЕ М. Имеем 11Аох — Аохо11-< Аох — А„х 11+ + 11А х — А„ха11+11А„хо Аахо11 ° В силу того, что последовательность операторов 1А„] равномерно на М сходится к оператору Ао, для заданного е ) О найдется номер па такой, что при и )~ по 11Аех Аах~~1< з ° 11А хо Аохо11< 3 . фиксируем такое и. Так как оператор А„ непрерывен, то найдется номер та такой, что при т )~ то будем иметь 11А„х — Аихо,'1< з ° Но тогда при гп )~ та 11Аох — Ааха11 < е, т. е.
оператор Аа непрерывен. Докажем компактность оператора Аа, для чего покажем, что множество Аа(М) компактно. Для заданного е > О выберем па так, чтобы 11Аи,х — Аах11 < е для всех х ~ М. Это можно сделать в силу равномерной сходимости последовательности 1А„1 к Ао. Пусть И = А„,(М). Множество гт' компактно и является е-сетью для множества Аа(М) (см. доказательство теоремы 2 З 1). Отсюда следует, что Аа(М) компактно. Итак, Аа — непрерывный и компактный оператор, и лемма доказана.
ПРИНПИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 289 Лемма 2 (!О. Шаудера). Всякий оператор А, вполне непрерывный на множестве М, есть равномерный предел на этом множестве последовательности (АА) непрерывных конечномерных опера торов (отображаюисих М в конечномерное надпространство пространспсва Е). Так как Л вЂ” вполне непрерывный оператор, то А(М)— компактное множество. Возьмем последовательность положительных чисел (е ), сходящуюся к нулю, и для каждого я построим ея-сеть А,,' — (у(Е! у!А! у!Ю ! е !!' г'' для множества А(М), состоящую из точек этого множества. Определим на А(М) оператор Р,, полагая для у ~ А(М) где / е„— ((у — у!А>((, если !)у — у',р!(! (е„, р'"'(у) = О, если ((у — у!А'))) е„.
Равенство (!) имеет смысл для любого у~ А(М), так как все (!!р!(у))~О, и (ь',д!(у) ) 0 по крайней мере для одного П Оператор Ре (у) непрерывен на А (М). Это следует из того, что все !А(е>(у) — непрерывные функции, а следоваюе тельно, ~ р!.">(у) — также непрерывная функция от у. Кроме г=! ае того, ~~'.~ р(Ю(у) ) 0 для каждого у ~ А(М), откуда вытекает г=! непрерывность частного р(!в!(у) ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГЛ.
Р! а, следовательно, и выражения т» Х и)"! (у) у)»! т» Х и!!"! (у) 1=! т. е. оператора Р»(у). Далее, т» Х и"! (у) у!'! Г-! у— т» Х и'," (у) Г=! т» Х и!!»! (у) (у — у!!!) г=! Ди!~!(у)!1у у!~!'й « ',, Х и)»)(» т» 2'", и!!" (у) т» ~~'„иГ!'! (у) с=! < е» =е», т» Х и(!»! (у) Г=! так как если для некоторого ! имеем )( у — у!"! )~ )~ е», то соответствующий коэффицент И!,"! (у) равен нулю. Полагая теперь для х ~ М А»х = Р» (Ах), получим последовательность конечномерных операторов (А Д таких. что !!Ах — А»х(~ = )(Ах — Р (Ах)!! < е» для любого х~ М, и лемма доказана. Замечание. Так как злементы у)»! принадлежат множеству А(М), то значения операторов, построен- ных в лемме 2, принадлежат выпуклой оболочке множества А(М) В з1 ПРИНШ!П Ш4УДЕРЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 291 Л е м м а 3.
Пусть последовательность (Ал] опера- торов, вполне непрерывных на множестве М, равно- мерно сходится на етом множестве к оператору Ае. Пусть, далее, К,=Ал(М), п=0,1,2,..., тогда множество СО К=ЦК„ льа компактно. По лемме 1 оператор Аз вполне непрерывен. Так как последовательность (Ал) равномерно сходится к оператору А, то для любого е > О и любого у~К при п)~па(е) найдется и ЕКь такой, что ))у — и)) (е. Это возможно в силу того, что если у — произвольный элемент из К„ и х — один из прообразов у пр: отображении А„, то достаточно в качестве и взять и = Ав(х). Построим множество И =Ц Кл. Легко видеть.
что оно компактно. Покажем, что вто множество есть е-сеть для К. Пусть у ~ К. Если л уЕОК. доказывать нечего. Если же у~К„при и > и, то, как показано выше. сушествует и~Ко такой, что ))у — и)) (е. Следовательно, М является компактной е-сетью для множества К, и потому множество К компактно. Принцип неподвижной точки Ю. Шаудера. Т е о р ем а 1. Если вполне непрерывный оператор А отображает ограниченное замкнутое выпуклое множество 8 банахова пространства Е на свою часть, то существует неподвижная точка етого отображения, т. е. такая точка х Е 8, что Ах = х. Возьмем последовательность положительных чисел (ел), сходящуюся к нулю, и построим согласно лемме 2 последа- ВПОЛНЕ НГПРЬР! !ВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл.
ч! ва!ельность непрерывных конечномернык операторов А„. равномерно сходящихся на множестве 5 к оператору А, По замечанию к лемме 2 и в силу того, что 5 выпукло. А„ХЕ5 для любого хЕ5. Пусть ń— конечномерное поднространство. в котором расположено множество А„(5). Рассмотрим оператор А„на множестве 5,=5ПЕ подпространства Е„. Ясно, что 5„— также выпуклое замкнутое множество. Так как А „(5) <= 5 и А „(5) ~ Ел, А„(5) с5„, А„(5„) с 5„. то и тем более Таким образом, оператор А„, рассматриваемый на конечно- мерном пространстве Е„. отображает замкнутое выпуклое множество 5„этого пространства в себя, и потому по теореме Воля — Брауэра (см.
дополнение )П) сушествует неподвижная точка этого отображения, т. е. такая точка х„~5„, что АаХл = Хь Но так как 5„<=5, то х„явтяется неподвижной точкой оператора А„и при отображении этим оператором множества 5. Так как каждое «„Е А„(5). то последовательность )х„) принадлежит множеству 5=ДА.(5) 5. п=! В силу леммы 3 множество О компактно.
Тогдз из последовательности )х ) можно выделить сходяшуюся подпослеловательность (х„) и предел ха этой подпоследовательности будет принадлежать 5 в силу замкнутости 5. Покажем, что х есть неподвижная точка оператора А. % з! пииншвп шлудвРА и вго нвименения 293 Имеем [[Ахо — х<Д < -< ~~ Ахо — Ах„~) -[- ~( Ах„, — А„,х„, (~+ (~ А„,х„, — хо ~~ = = )! Ахо — Ахи,. ()+ (! Ахв, — Ав,х„, (~+ )) х„, — хе (!. )(ля заданного е ) О выберем сперва и' настолько большим, что при и, )~ и' [[х„,— хо[[~< 3 и [[Ахо — Ах„,~) < —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
