1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для заданного е ) О найдем номер пз такой, что 'йАт — Л~( ( —. Пусть А(М)=К и АтГМ)=Аг. Множество АГ есть е-сеть лля К, В самом деле, взяв для любого у ~ К один из его ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ч! прообразов х Г М и положив уо = Ал,х Е лл[, будем иметь ) ) у — уо )] = (] Ах — А гчх ]] ( )] А — А и,]] ]] х ]] ( — ° г = — е.
Так как, с другой стороны, в силу полной непрерывности Аль и ограниченности М множество М компактно, то мы получаем, что К при любом е>0 имеет компактную е-сеть и потому само компактно. Итак. оператор А отображает произвольное ограниченное множество в компактное и, следовательно, вполне непрерывен. Теорема доказана.
Пример. Покажем, что если Е, =Ег — — Ел [О, 1], то оператор Ах=у(!)= ~ К(Г, з)х(з)пл, е где о о вполне непрерывен. Предположим сперва, что К (й з) — непрерывное ядро. Пусть М вЂ” ограниченное множество нз Ел(0, Ц и 1 для всех х(!)~М. Рассмотрим множество функций 1 у (!) = / К (г, з) х (з) л[з, х (!) Е М. о Докажем, что функции у (!) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Отсюда будет следовать компактность множества ] у ([Ц в смысле равномерной сходпмости и тем более в смысле сходнмости в среднем квадратичном.
Имеем ]у(!)[= ] К(1, з)х(а) ~[а с; о 1 1 1 /' '[2 / 12 ~(~ К'(й а) Ла ~ хл(з)л[з ~КГ, л,о е ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 265 где К = щах [К (П 5) [, и, следовательно, функции у (!) равномерно 1,5 ограничены. Далее 1 1 1 — 1 '1г !Г [у (Т,) — ) (Г,) [~ ( ~ [К((р 5) — К(гя 5)]'!(5 ! ~ Гх (5) ) !ко о мри [Г! — к! [ < б, где 6 выбрано так, чтобы при [Г! — 5,[ < Ь было е [ К (гь 5) — К (11, 5) ) < —.
г Оценка ! у (Г!) — у (5,) [ < е не зависит от положения Т! и 5, иа [О, )[ и от выбора функции у(Г) ~ М, "следовательно, функции у (С) равностепенио непрерывны. Итак, в случае непрерывного ядра оператор А вполне непрерывен. Предположим теперь, что К(П 5) — произвольное ядро с суимнруемым квадратом. Возьмем последовательность непрерывных ядер (К„(ц 5) ), сходящуюся в среднем к К(д 5), т. е.
такую, что 1 1 ~ [К(г, 5) — К„(Г, 5))гг(газ-ьО, при л-ьсо. о о Положим 1 А„Х ~ Кя(д 5)Х(5) Мз. о Имеем 1 1 ! 2 1 Ика К„, /[)"К<К, !О.. )'К.<КП.!К .[.['- 1е Ео в ! 1 1 12 ~ (К(ц з) — Кя(Г, 5)) х(5) !55 стг <, [о [о /'г' <, /' ~'(К(пз) — Кя(г, 5))*~(5 /'хт(з),(5 тг !! О о ! 2 1 1 ~[' ~(К(г,з) — К„(т, 5) )2Н! Лз [х[. [о о ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. у! Следовательно 1 1 1 )А — Аи(~ ~ ~ (К(г, в) — К„(г, е)) йгйв 0 в откуда вытекает, что 5 А — Аи)-+О прн п-! со. Так как все опера- торы А„вполне непрерывны, то по доказанной только что тео- реме А также вполне непрерывен.
Замечание. Предел точечно сходтцейся последовательности (А„1 вполне непрерывных операторов л!ожет и не быть вполне непрерывныгг. В самом деле, в бесконечномерноч пространстве Банаха Е с базисом (е!) рассмотрим операторы 5„, заданные равенством ж! ДЛЯ Х = ~г ьь!ЕР ! 1 Оик = Х 'и!Е! 1=1 Т = Ц Т„будет счетным множеством, всюду плотным в К, и=! что и требовалось доказать. Т е о р е м а 4.
Если А — вполне непрерывный оператор, отображающий Е в Е, то сопряженный оператор А*, отображающий Е в Е„, также вполне непрерывен. Л,остаточно доказать, что образ А ® единичного шара 5! пространства Ез компактен. Оператор Я„отображает Е в конечномерное пространство Е„ и потому вполне непрерывен. При п-+со последовательность операторов Е„точечно сходится к единичному оператору !', который не является вполне непрерывным. Т е о р е м а 3.
Область значений вполне непрерывного оператора А сепарабельна. В самом деле, пусть множество К„является образом шара ()х)) (п. Так как А вполне непрерывен, то ʄ— компактное, а следовательно, и сепарабельное множество (см. стр. 230). Пусть ҄— счетное множество, всюду плотное в К„. Так как область значений оператора А есть К= Ц К„, то и=! эп вполне нвпгегывнын опевлтогы Рассмотрим образ А ф„) замкнутого единичного шара пространства Е . Так как А — вполне непрерывный оператор то А(о ) — компактное множество.
Будем рассматривать на этом множестве линейные функционалы, принадлежащие 5». Если ~~8», уЕ Аф„), то !У(у)! ~(!Щ !!у!! = !!у !! !!Ах!! ~(!!У!! !!А!! !!х!! (!!А!!, так как !!у !! ( 1, !!х!! ( 1. Следовательно, функционалы из 8» иа множестве А (б„) равномерно ограничены. Далее. длз уз уябА(~к) Убб» !У(у ) — У(уз)! = !У(у — М < !!П !!у — у !! < Ь вЂ” у !! и, следовательно, на А (б ) функционалы из 8 равностепенно непрерывны.
В силу обобщения теоремы Арчела (гл. Н. стр. 240) множество 3» компактно в смысле равномерной сходимости на А (8„). Рассмотрим теперь произвольную последовательность (А »,)(=А (8»). Так как множество 8„ компактно, то из последовательности (/„! можно выделить подпоследовательность !У„,~, равномерно сходашуюсз на А (б„): вцр !Уч (Ах) — ~п (Ах)! — ьО кез "» при и,, и -ьсо. Но ацр !Уп,(Ах) — ~е»(Ах)!= зцр ! А'(Ув, —,»л»)х!= лЕ лк к6 зк = ~ А*ущ — А*у„»!!. Поэтому последовательность ~А'У„,) сходится по норме ар е~ в пространстве Е~ и компактность А (о») доказана. Аппроксимация вполне непрерывного оператора в банаховом пространстве с базисом конечномернымн операторами. Рассмотрим вполне непрерывный оператор А, отображающий банаково пространство Е с базисом само в себя.
Пусть 5 — единичный шар этого пространства и К вЂ” совокупность элементов вида у = Ах, где х ~ 8. 2бэ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [гл. 7$ Так как А вполне непрерывен. то К вЂ” компактное множество. Тогда по теореме 3 в 2 гл.
Ч для любого числа е ) 0 найдется номер л=п(е) такой, что з)с„у~! (е для всех У~К. Фиксируя это н. получаем Ах = У =Оку+ геку =ок(Ах)+ Й„(Ах) = А,х-+ А,х, где А, и Ам очевидно, линейные операторы. При этом, полагая У= ~.~ Ч,ЕР а ! будем иметь А,х=Яку= ~.", плен откуда видно, что оператор А,— конечномерный в том смысле, что для любого х элемент А,х принадлежит коиечномерному поллространству, определяемому базисными элементами еп еп ..., е„.
Далее зпр )(Аах~! = Внрзгг„уз ( е, к~ 3 гак откуда следует, что ~!Аа!~( е. Итак, вполне непрерывный оператор А мы разложили на сумму двух операторов, из которых один конечномерный, а норма второго не превосходит наперед заданного числа, которое можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому иногда говорят, что вполне непрерывные операторы в пространстве с базисом почти конечномерны. ф 2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами В этом параграфе мы рассмотрим линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами. Как было показано Ф. Риссом, на такие уравнения переносатся основные результаты теории линейных интегральных уравнений Фредгольма. 5 21 линьпныв опнвлтогные ьвлвнвния Две леммы. Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий банахово пространство Е в себя. Рассмотрим уравнение Лх — х= у или Тх= у, (1') где Т= А — Т. Одновременно с уравнением (1) будем рассматривать уравнение (2) или Т*у=д, (2') где А* — оператор, сопряженный с А и действующий в пространстве Е'.
Как было показано, А* также вполне непрерывный оператор. Лемма 1. Пусть М вЂ” надпространство нулей оператора Т, т. е. совокупность элементов х таких, что Тх = О. Тогда М вЂ” конечномерное надпространствоо пространствп Е. Пусть М вЂ” произвольное ограниченное множество из М.
Для любого х~М имеем Ах=х, т. е. оператор А оставляет инвариантными элементы подпространства М и, в частности, множество М переводит само в себя. С другой стороны, А как вполне непрерывный оператор переводит М в компактное множество. Следовательно, всякое ограниченное множество Мс=М компактно, откуда в силу теоремы 4 й 2 гл.
Н следует конечномерность надпространства М. 3 а м е ч а н и е. Элементы подпространств М являются собственными элементами оператора А, соответствующими собственному значению ). = 1. Формулировка теоремы и ее показательство остаются справедливыми, если 1 заменить любым другим собственным значением Х, отличным от нуля. Таким образом мы доказали, что вполне непрерывный оператор Л может иметь линга конечное число линейно независимых собственных элементов, соответствующих одному и тому же собственному значению. Лемма 2.
Пусть Е= Т(Е), т. е. Е есть совокупность элементов у~Е, которые могут быть представлена в ваде у=Ах — х. Тогда Š— надпространство. То, что Š— линейное многообразие, очевидно. Необходимо доказать лишь замкнутость Е. 270 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. ш Покажем сперва, что существует константа а. аависяшая лишь от А, такая, что всякий раз„когда уравнение Тх=у (1') разрешимо, по крайней мере для одного из его решений выполняется неравенство ))х)! 4а)) у)). (3) Пусть хо — одно из решений уравнения (1'). Тогда любое другое решение этого уравнения имеет вид где г — решение однородного уравнения Т (х) = О.
(1") Рассмотрим функиионал ф (г) = (! хо+ е )!. Зто — ограниченный снизу, непрерывный функционал. Пусть а = 1п1р(е), и (г,) ~Ж вЂ” минимизирующая последовательность, т. е. Ч ( .) = (! о+ л. )! (4) Последовательность (!)хо+в„)!) как имеющая предел ограничена. Но тогда ограничена и последовательность [))ао)!), ибо ! Во! =()(а +хо) хо))~~()а~+хо()+))хо!) Таким образом (з„) есть ограниченная последовательность конечномерного пространства и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Отбрасывая, если необходимо, лишние члены в последовательности (ао), мы можем считать без ограничения общности, что г„ -+ го. Тогда (5) р(во)- 'р(го) 11з (4) н (5) следует, что р(ао) =!)хо+ ео()= 7 % а! ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 271 Следовательно, в случае разрешимости уравнения (1') оно всегда имеет решение х = хо+ хо с минимальной норашй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
