1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Необходимость. Пусть Р компактно в себе н (Ра( — пентрированная систеиа замкнутых подмножеств множества Р с пустым пересечением. Введем О„=лСР,а). Тогда Оа — открыть!е множества, и Ц Оа = С П Ра=л'. а а Поэтому система (0,( образует покрытие Р, и из этой системы можно выбрать конечную подсистему, покрывающую Р: КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА !Гл. ч пересечением. Тогда для соответствующих множеств Оа Оа . . Оа имеем Оа ~Р'~, Пра =В 1=1 Таким образом, показано, что из произвольного покры- тиа )Оа) множества Р можно выделить конечное покРытие.
Т е о р е м а 6. Всякое компактное в себе множество метрического пространства есп!ь непрерывный образ канторова совершенного множества. Пусть К вЂ” компактное в себе множество метрического пРостРанства Х. РассмотРим последовательность )гл), схо- дящуюся к нулю, и для каждого и = 1, 2, 3, ... построим конечную е„-сеть )ху'~1, 1=1, 2, ..., т„, для К. Путем добавления, если необходимо, дополнительных точек мы лл !'1) можем всегда считать, что т„=2 ".
Рассмотрим шары 5)) радиуса е, с центрами в точках х!) . Множество К распо- П) ложится целиком в этих шарах, а тем более в замкнутых шарах 81 . Пусть К;,= К П4,), 1,=1, ..., тн Мы получили, гн 11) что множество К представлено в виде суммы т, замкнутых множеств диаметра, не превосходящего 2еп Как замкнутая часть компактного в себе множества каждое К;, есть снова компактное в себе множество.
Повторяя предыдущее по- строение, мы представим каждое Кп в виде суммы т, замкнутых множеств К),)н !2 = 1, 2, ..., т,, диаметра, не превосходящего 2гг, и т. д. Все эти множества мо)кно считать непустыми. Обратимся теперь к канторову совершенному множеству Ра, Это множество лежит целиком на отрезках )г)-го ранга Ьг, у, ..., ) Л = Г), 1, а также целиком на отрезках 1' 2' ''' Е, ()г! +)гг)-го ранга, Л) ! 1 и т.
д. Перенумеруем 1' 2' '" М)Л, отрезки )г)-го ранга слева направо и обозначим их Л),, 1, = 1. 2, ..., т, = 2 '. На каждом отрезке )г)-го ранга Ь), лежит 22' = тг отрезков ()г) +нг)-го ранга. Перену- меруем их снова слева направо и обозначим Ъ),1,. 12= 1, 2, ... тг и т. д. Мы получим взаимно однозначное соответ- опоеделения, овщне теооемы ствие между замкнутыми множествами Р1 1 „,1 простран- 12"' л ства Х и отрезками 611; отрезка [О, 1[.
1 г"' 'л Возьмем произвольную точку 1~ Рв. Она однозначно опРеделЯет системУ отРезков Ьго Ь1,1о Ь1,1,1о ..., ее содержащих и стягивающихся к ней. Рассмотрим соответствующую систему замкнутых множеств К1,, Кгр,, К1,1,1, (с теми же индексами, что и отрезки). Так как каждое следующее множество вло1кено в предыдущее и диаметры множеств стремятся к нулю, то существует единственная точка х ~ К, принадлежащая всем этим множествам, которую и ставим в соответствие точке Я Рв. Покажем, что каждая точка х~К является образом некоторой точки 1 ~ Рв. В самом деле. х ~К1, для некоторого значения индекса 11 (этот индекс определяется вообще неоднозначно, так как множества К1, могут пересекаться), аналогично хРК1,1, и т. д.
Мном<ествам К1,, К1,1, соответствуют отрезки Ь1,, Ь1,1,.... Точка 1, принадлежащая всем этим отрезкам, имеет образом рассматриваемую точку х. Итак, определено однозначное отображение х =1р(1) канто- рова совершенного множества Р, на компактное в себе множество К. Покажем, что это отображение непрерывно. ПУсть хв = ~Р(12) и 8 (хв, е) — окРестность точки хь. Возьмем такое множество К! 1 1 из системы, стягиваю- 1 2"' л щейся к хц, диаметр которого меньше е. Тогда К1 1 .л с"- 1 2"' л ~ Б (хо, е). Обозначим чеРез б РасстоЯние от ле до ближайшего копна отрезка Ъ11 „,;, соответствующего множеству 1 2"' л К11 ...1. Если [г — (в[(б, то СЕЛ11...1 ° следовательно.
12'" л 12"'» х = 1р (О Е К!1 1,...1 «-8 (хв, е) и потому р(х, хв) ( е. Теорема полностью доказана. Рассмотрим теперь отображения 7' компакта Х в метрическое пространство У. Теорема 7. Непрерывный образ компакта есть кол!пакт.
В.самом деле, пусть [ул[ есть произвольная последовательность из у'(Х)«У. Для каждого у„возьмем один из его прообразов хл. Так как [х„[~Х и Х компактно. то ив комплктныз множества ~гл. ч [х„[ можно выделить подпоследовательность [хеь), сходящуюся к хьЕ Х. Так как 1(х) непрерывно, то У(хл,) = упь — ~уз=У(хо) ЕУ(Х). Таким образом любая последовательность из у'(Х) содержит сходящуюся подпоследовательность, причем предел такой нодпоследовательности принадлежит г (Х). Следовательно, У (Х) — компакт.
Эта теорема в сочетании с теоремой б дает полное описание всех компактов. Именно, метрическое пространство К является компактом тогда и только тогда, когда оно есть непрерывный образ канторова соверьяенного множества. ф 2. Критерии компактности множеств в некоторых функциональных пространствах Критерий компактности в С[О, 1[. Функции из некоторого множества М называются равномерно ограниченными, если существует такая постоянная с, что [х(1)[~(с для всех х(1)Е М при любом 1~[0, 1[, и называются равностепенно непрерывными.
если для любого е > 0 существует Ь ) О, зависящее только от е, такое, что для любых 1, и Гг из [О, 1[, удовлетворяющих неравенству [1, — (г~ ( Ьг, и для любой функции х (т) из рассматриваемого множества имеет место соотношение ~х(г1) — х(1г)~ л е. Теорема 1 (А р чела). Для того чтобы множество К~С[О, 1[ было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции х(1) ЕК были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть К компактно. Равномерная ограниченность функций х (г) ~ К вытекает из следствия 3 теоремы 3 предыдущего параграфа. Докажем равностепенную непрерывность функций х(~)~К. Построим лля заданного е ) 0 конечную — сеть [х,(1), хг(1), ..., хь(1)[ для К.
Так 3 как функции хг(Г) непрерывны на [О, 1[, то они равномерно непрерывны на этом отрезке. КРИТРРИИ КОМПАКТНОСТИ 2ЗУ ДлЯ каждой фУнкции хс(Г) подбеРем число Ь, так, чтобы [хс((с) — хс((е)~ < З для [1, — 1а[ < Ьн каковы бы ни были ~, и 1а~[0, 1[. Пусть Ь вЂ” наименьшее из чисел Ь,, 1= 1, 2...,. й. Если теперь [[с — 1е[ < б, то имеем для любой функции х(1)ЕК [х (1с) — х (Ге)[ < < ш ах ( х (1) — х, (1) [-[- [ х с (Гс) — х, Щ [ +. спал [ х с (1) — х (Г) [ < окскс окскс < 2р (х, х,) + — .
3 Если выбрать хс(1) так, чтобы е р(х, х,) < —. то [х(1~) — (Г~Н < е. Так как е ) 0 произвольно и полученная оценка не зависит от положения точек Гс и Га на [О, 1[ и от выбора функции х(1) в К, то равностепенная непрерывность функций, принадлежашик множеству К, доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. В силу условий теоремы для любого числа е ) 0 можно подобрать такое число б ) О, что [х ((с) — х (Г,)[ < Е при [1,— 1,[ < Ь для любых 1с. Г,~ [О, 1[ и любой функции 1 х (Г) ~ К. Возьмем натуральное число л такое, чтобы — было л меньше, чем б. Разобьем [О, 1[ на л равных частей — — л = О, 1, 2...., л — 1.
Тогда [х (~,) — х (1т) [ < е для любой функции х(1) Е К и любых 1Р 1тц [О, 1[ таких, что [1,— 1,[ < — „, 1 в частности, для 1с и 1з, принадлежащих одному н тому жв Гл а+11 частичномУ отРезкУ сь —, — 1. (л' л 238 кОмпАктные множестВА [ГЛ. Ч Отнесем каждой функции х(Г) непрерывную функцию х„(/) такую, что 1) х ~ — )=х~ — ) для А=О, 1, ..., и — 1; Га а+11 2) на отрезках [ь —, — „~ функция х„(/) лкнейная. Таким образом. график х„(/) есть ломаная с и авеньями, вписанная в график х(/).
Пусть (а) (1+1) Тогда вследствие линейности х (/) на [ь —, — з[ имеем г а а.[-[т » (»' » х ( — ) < х„(/) < х ( ), откуда — е < х (г) — х [ — „) < х (/) — х„(/) < х (/) — х [ — ) < е. /а+1[ /а[ Если же х~ ))х~ — ), то получим — е < х (/) — х [ — [.< х (/) — х„(/) < х (/) — х [ — [ < е. /Ф1 /1+11 Следовательно, [х (/) — х„ (/)) < е для всех /~ [О, 1], т. е.
р(х, х„) < е. Значит, множество Д/ функций х„(/) образует е-сеть для К. Далее, в силу равномерной ограниченности множества К [х„(/)( ~( [х(/И+ [х(1) — х„(/И < с+в= си т. е. множество И равномерно ограничено. Отнесем каждой функции х„(/) Е /[/ точку (»+ 1)-мерного пространства Х. имею[цую в качестве координат ординаты вершин ломаной — графика х„(Г). Это соответствие, как легко видеть, взаимно однозначно, а также взаимно непрерывно в том смысле, что если последовательность КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 239 функпий (х~ы(1)~ сходится к х~~!(1) в смысле метрики пространства С [О, 1[, то последовательность точек [х<а'[ сходится к точке хйв в смысле метрики пространства Е„+,.
Но множество М= [х] ограничено и, следовательно, компактно в Е„„. Поэтому множество И = [х„(1)[ компактно в С [О, 1[. Йтак, для любого е > 0 можно построить компактную е-сеть для К. Но тогда в силу полноты С [О, 1[ и следствия 1 теоремы 3 предыдущего параграфа К компактно.
Доказанная теорема допускает обобщение на случай отображений компактных множеств в компакты. Пусть даны два метрических пространства Х и У и множество гч отображений г" пространства Х в пространство У. Отображение г'Егч называется ограниченным, если для любого х Я Х р(у'(х), 8) ~(ср где 0 — некоторый фиксированный элемент пространства У и су — константа, зависящая, вообще говоря, от отображения г. Отображение У~Р называется равномерно непрерывным, если для любого е > 0 найдется Ь > 0 такое, что р(у(х,), у(хг)) (з для двух любых точек х, и хг пространства Х таких, что р(хн хг) (Ь.
Пусть М(Х, У) — множество всех ограниченных отображений пространства Х в пространство У. Превратим М(Х, 1') в метрическое пространство, положив р ( у, ф) = з 0 р р (у (х), гр (х) ). хсх Легко проверить, что все аксиомы метрики выполняются. Схолимость в пространстве М(Х, 1') есть равномерная на Х схолимость послеловательности отображений [у„(х)[~М(Х, У) к отображению У(х)й М(Х У). Если У вЂ” полное пространство, то М(Х, 1') также полное пространство. В самом деле, если р(У„. У' ) — ь О, когда и и лг -ьоо, то для любого е > 0 найдется номер пе(е) такой, что р(/„ (х), у' (х)).
( е (1) кОмпАктные множествА 1гл. лг при и, т)~пв(е) и сразу для всех хЕХ. Фиксируем х ЕХ. В силу полноты пространства У последовательн гь (у'„(х)), сходящаяся в себе, сходится к некоторому элементу у~У. Полагая у (х) = у = 1нп ул (х), л мы получаем некоторое отображение пространства Х в пространство У. Переходя в неравенстве (1) к пределу при т -+ Оо, получим, что р(у„(х), у (х)) ( е при п)~па(е) и сразу лля всех х~Х, откуда следует, что У~ М(Х, У) и что У„(х) — ьУ(х) равномерно на Х.
Обозначим через С (Х, У) множество всех равномерно непрерывных отображений из М (Х, У), Легко убедиться, что предел равномерно сходящейся последовательности равномерно непрерывных отображений есть также равномерно непрерывное отображение, откуда вытекает, что множество С(Х, У) замкнуто в пространстве М(Х, У).
Введем, наконец, еще одно определение. Отображения У, входящие в некоторое семейство Я~С(Х, У), называются равностепснно непрерывными, если для любого е ) 0 найдется Ь ) О, зависящее лишь от е, такое, что р(у(х,), у(хг)) ( е при р(хн хг) ( 6 сразу лля всех у'~ О и независимо от выбора точек х, и хам Х. Теорема 2. Для пього чтобы из семейства (;) непрерывных отображений компактного множества Х в компакт У можно было выделить равномерно сходящуюся последовательность, необходимо и достаточно, чтобы отображения семейства О были равностспснно непрерывны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
