1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть ан ам ..., а„, ... — счетное всюду плотное множество на единичном шаре [[х[[(1 пространства Е. Для любого функционала у ~5 положим г" [а») = «», [~»[(1, 1=1, 2, ... Если у'„— '»»Уо [~» уоЕЯ), то й~»'~ = у„[а») — уз [а») = ~~»'. Таким образом, каждому у ~ 5 соответствует элемент у = [с [ Я = у [а )) пространства з и у'„— "-ь)'з влечет за собой у„— » уз для соответствующих элементов пространства з. Пусть М вЂ” множество точек пространства з, соответствующих функционалам у ~8. Тогда М есть непрерывный образ компактного в себе множества и, следовательно, также компакткое в себе множество. Легко видеть, что обратное отображение М на В также однозначно и непрерывно.
В самом деле, пусть у' [а») =ф(а»), й = 1, 2, ... а з1 УНИВЕРСАЛЪНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА С [О,Ц 257 Для любого х~Е, ))х)~~(1, выберем аа, так, чтобы ))х — аа„)) < е. Тогла )С (х) — ф(х)) <)у (х — аа))+)у'(ая ) — ф(аа) )+ +) гр (х — аа) ) < 2е, откуда, в силу произвольности е, С(х) = ю(х), т.
е. С = гр. Далее, если )„(ал) — э Се(аь), Сг = 1, 2, ..., то в силу ограниченности норм функционалов ()) С„)). )) Се~) <1) отсюда следует /„— 'ь/е, и взаимная однозначность и непрерывность соответствия 8 М доказана. По теореме 6 р 1 М как компактное в себе множество метрического пространства есть непрерывный образ канто- рова совершенного множества Ре. Таким образом, каждому С ~ Ре отвечает функционал С, ~ О', совокупность всех совпалает с 5 и С~ †'.ь /, при С„ -ь С.
Выберем произвольный злемент х ~ Е. По определению слабой сходимости функционалов Сг (х)-ь С,(х) при С„ — ь С. При фиксированном х С,(х) есть, следовательно, непрерывная функция от С~ Р„, которую мы обозначим ф (С): ф (С) =С,(х). Функцию ф,(С), определенную иа Ре, доопределим линейно и непрерывно на см жных к Ре интервалах. Тем самым получим непрерывную функцию гр„(С), определенную на отрезке )О, 1), т. е. принадлежащую С)0, 1).
По определению нормы в С)0, 1) имеем ~)ф ~)с= шак )ф (С)~. ожг<1 1(о вследствие линейности ф, (С) на интервалах, смежных к Ре. максимум гр„(С) на )О, 1) совпадает с максимумом гр (С) пз Р . Позтоиу 1) гр )) = шах ~ гр (С) ) . !СР С лругой стороны, для СЕРе в силу (1) имеем ~грА (С))=)С, (х)! «(,')Уг)) )) х)) <)) х~)л, КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1гл. ч и, следовательно, В!ах( !р» (г)( ~~~ !( х )(е. (2) 1ЕР, Далее, для данного х можно построить функционал уе с нормой, равной единице, для которого .уо(х) =((х((е.
Так как )'аЕЯ, то существует ге~ра, для которого Уг, = Уо. Следовательно, Ун (х) =(("((е 9 (го) =((х(~е т. е. и потому 1=1,2,3, т[! =р(х. х,) — р(хе, л,). шах (ф» (г) ()~ () х !(е. !Ел Из (2) и (3) следует, что ((р»((с=шах(р (!)(=((х((е. (4) !Е!Ч Из построения функции а! (г) видно, что если х, ~ Е соответствует гр»,(г) и хгЯ Е соответствует !р„;(г), то х!+ха соответствует <р, (г) + !р», (г) н 3х соответствует Ьр„(г). Следовательно, мы имеем изоморфное отображение пространства Е на часть пространства С[О, 1[. Так как в силу изоморфизма элементу х, — хз соответствует функция ф„,(г)— — ср,(г), то по формуле (4) получаем (х1 ха [в ИА (р !с' т. е.
соответствие пространства Е части пространства С [О, 1] не только изоморфно, но и изометрично. Теорема полностью доказана. Теорема 2 (Фр еще). Всякое метрическое сепарабельное пространсгпво Х изометрично части некогпорого сепарабельного пространства типа В. Пусть »г1= (хе, хн ..., х„, ...) — счетное всюду плотное множество в пространстве Х.
Отнесем каждому элементу хЕХ точку у=(т)!( пространства ог, где УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА С [О,Ц 259 е И В силу аксиомы треугольника !Ч, ! = !Р (х, х,) — Р(хе, х,)! ~~ Р(х. ха), и, слеловательно, (Ч,! — ограниченная последовательность. т. е. у действительно есть точка пространства т. Пусть элементам х н х' из Х отвечают в нашем отображении элементы у = (Ч,! и у' = (Ч,'! из т. Имеем !!у — у'!! = акр !Ч, — Ч';! = с = аир !(р(х, х~) — р(хе, х,)! — (о(х'. х,) — р(хе, х,))! = =апр !р(х, х,) — р(х'.
х,)! (р(х. х'). (6) Пусть теперь е — произвольное положительное число. меньшее чем р(х, х'). Существует точка х„счетного всюду е плотного множества М такая, что р(х, х„) ( —. Слелова- тельно, р(х', х„) > р(х', х) — р(х, х„) > р(х', х) — — > О, и потому ׄ— Ч„'! = !Р(х„, х) — р(х„, х')! > р(х', х ) — — > > р(х, х ) — — — — =р(х, х) — е. е е 2 2 Отсюда !!у — у'!! > р(х, х') — е. (6) Так как е > Π— любое.
то из (6) следует, что !!у — у'!!)~р(х. х'). (7) Сравнивая (5) и (7), получаем !! у — у' !! = р (х, х'). (8) Итак. расстояние между точкамн х и х' в Х равно расстоянию между соответствуюшими точками у и у' в ле, и, следовательно, пространство Х изометрично некоторой части б пространства ле, Очевилно, эта часть пространства ьч сенарабельна. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА !Гл. ч Пусть Š— надпространство пространства т, порожденное элементами множества Е. Тогда Е есть некоторое сепарабельное пространство типа В. Х изометрично части этого пространства, и теорема показана.
Теорема 3 (Ба паха — Мазура). Всякое метрическою сепарабельное пространство изометрично неко- и!арой части пространства С(0, 1К Доказательство непосредственно следует из теорем 1 н 2. Г!риведем в заключение еще одно свойство укиверсальности пространства С (О, 1! в несколыго ином смысле. М. Г. Крейн в связи с некоторыми вопросами теории моментов и теории линейных интегральных уравнений построил теорию конусов в пространствах Банаха (!8!. Конусом в пространстве Е называется замкнутое выпуклое множество КгЕ, обладающее тем свойством, что если хЕК(хчьО), то Лх~К при Л)~0 и Лх~К при Л(0, и если х, у~К, то х+у ~ К. Конус нааывается нормальным.
если для любых двух элел!ентов х, уЕК с !!х!!=!(у)~=1 имеет место !!х+у)!) Ь, где б — фиксированное положительное число. Например, совокупность неотрнпательных функций из пространства С (О, 1) образует в нем нориальный конус. Имеет место следующая Теорема 4 (М. Г. Крейна (17!). Если К вЂ” нормальный конус сепарабельного пространства Е, то существует взаимно однозначное линейное отображение пространства Е в надпространство пространс!пва С(0. 1К при котором элементы из К и талы!о они переходят в неотрицательные функции.
Если Е не сепарабельно, то имеет место аналогичная теорема с заменой С (О, !! На пространство С (1,"!) непрерывных функний на некотором бикомпакте 1;). ГЛАВА Ч1 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 5 1. Вполне непрерывные операторы Определение. Линейный оператор А, определенный на линейном нормированном пространстве Ех, с областью значе- ний, расположенной в линейном нормированном простран- стве Е„, называется вполне непрерывным, если он отобра- жает всякое ограниченное множество пространства Е в ком- пактное множество пространстна Е„.
Очевидно, всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным. Лалее, в силу теореиы 7 й 1 гл. )7 всякий линейный ограниченный оператор А отображает компактное множество в компактное. Свойство полной непрерывности является, вообще говоря, более сильным по сравнению с простой непрерывностью. Так, например, единичный опера- тор в бесконечномерном пространстве Е пе является вполне непрерывным, поскольку он отображает единичный шар на себя, а он не компактен. П ремер.
Г!усть Е = Е„= С[0, 11 н ! Ах = у (г) = ~ К (д з) х (х) Из, о где К(й з) — непрерывное в квадрате О < С о <1 ядро. Локажем, что оператор А вполне непрерывен. Пусть (х(Г) ) — ограниченное множество функций из С(О, 1), Гх3< г. Очевидно, функции 1 у(Г) ~ К(А з)х(з) лц о где х (Г) — функция из рассматриваемого множества, равномерно ограничены.
Лействнтельно, если К= щах(К(й а) й то(у(г) ) ~Кг. Лалее, функции у (г) равностепенно йепрерывны. В самом деле, пусть задано е > О. В силу равномерной непрерывности ядра К (й а! 262 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. 71 найдется такое б > О, что [К(11, 5) К(гь 5)[ (— Г для [1,— 1,[(б н любых ее[О, 1). но тогда 1 [ у (1!) — у (гс) [ ~ ~ 1 К (11 5) — К (Гс, 5) [ [ х (5) [ гй ( 5 О всЯкий Раз, когда [1,— гь[(б дла всек РассматРиваемых фУикцяй у(1) сразу, что н означает равностепениую непрерывность функциИ у (1). В силу теоремы Арчела множество функций (у(5)) компактно в смысле метрики пространства С[О, 1], и полная непрерывность оператора А доказана.
Л ем и а. Если последовательность [хе) слабо сходится к хе и компактна, то она сильно сходится к хе. Пусть зто не так. Тогда найдутся число еь) О и неограниченно возрастающая последовательнбсть индексов пн пю ..., и„, ... такие. что ~х„„— хе(!) Ее. [[х„, — ха~)~ее. ~х„, — хе~-ь0. а с другой, Это противоречие доказывает лемму. Теорема 1. Вполне непрерывный оператор А отображает слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Пусть последоватеяьность [х„] слабо сходится к х„. Тогда нормы элементов втой последовательности ограничены и [х„), как ограниченная последовательность. оператором А Так как последовательность [хсзр компактна. то она содержит подпоследовательиость 11хсг [.
сильно сходящуюся к некотогс рому элементу ие. Тем более х„— "-ьие. Так как в то же 11 сл время х„— г-ьхо. то из=хо. ~! с Мы получили, что, с одной стороны, % н ВпОлне непРеРНВные ОпеРАтОРы 263 переводится в компактную последовательность (у„), где у„= Ах„. С другой стороны, по теореме 6 й 4 гл.
)сс сл у„= Ах„— + Ахо= уз. Но тогда в силу леммы у„— ьуз, и теорема доказана. Пусть Л вЂ” вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство Е в себя и  — произвольный линейный оператор, действующий в том же пространстве. Тогда АВ и ВА — вполне непрерывные операторы. В самом деле, оператор В преобразует произвольное ограниченное множество М~Е в ограниченное множество В(М), и это множество оператор А преобразует в компактное множество А гВ гМ) ). Следовательно, оператор АВ переводит любое ограниченное множество в компактное и потому вполне непрерывен.
Аналогично показывается, что н оператор ВА вполне непрерывен. Так как единичный оператор 1 не вполне непрерывен, то отсюда, в частности, следует, что вполне непрерывный оператор А не может иметь ограниченного обратного оператора А Наконец.
очевидно, что если операторы А и В вполне непрерывны, то аА+ РВ также вполне непрерывный оператор. Те о рви а 2. Если последовательность вполне непрерывных операторов (А„). отображаюигих пространство Е, в полное пространство Е, равномерно сходится и оператору А, гп. е. ((А„— А~! — >О, то А танисе вполне непрерывный оператор. Требуется доказать, что А отображает всякое ограннченное множество пространства Е в компактное множество пространства Е,. Пусть М вЂ” ограниченное множество пространства Е, и г — константа такая, что ()х~) ( г для любого х ~ М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
