1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Критерий компактности в 1. Для компактности множества Кг=1в необходимо и достаточно, чтобы множество К было ограниченным и чтобы для любого е ) О существовал номер нв, зависящий лишь от е, такой, что ~ ~$>~е < ее для и)~лв и для любого >=ьт> х=й» 'яг " а.. 1ЕК. Доказательство сразу следует из прелыдущей теоремы, если заметить, что в 1 $21 КРИТВРИИ КОМПАКТНОСТИ Пример.
Рассмотрим в 1, миоя<ество элементов х= 1',1 га- 1 ких, что О ~: С„ < †, т. е. основной параллелепипед координатно<о << гильбертова пространства. Из предыдущего критерия слелует, что этот параллелепипед компактен. П. С. Урысон доказал, что всякое сепарабельное метрическое пространство гочеоморфно некоторому подмножеству основного параллелепипеда пространства 1<[32Р Коиечномериость и компактность. Известно, что в и-мерном евклидовом пространстве всякое ограниченное множество компактно. Докажем, что компактность ограниченных множеств есть характеристическое свойство конечномерных линейных нормированных пространств.
Теорема 4. Для того чтобы надпространство Е линейного нормированного пространства Е было нонечномерным, необходимо и достаточно, чтобы каждое ограниченное множесигво элементов из Ь было номпантно. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Л п-мерно.
Тогда Ь гомеоморфно и-мерному евклидову пространству Е„. Ограниченное множество Л4<=Е взаимно однозначно и взаимно непрерывно преобразуется в ограниченное множество <<Г<=Е„, и так как М в Ес компактно, то М в Е также компактно. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что каждое ограниченное множество элементов из Е компактно. Возьмеч в Ь произвольный элемент х,, )(х<(~=1. Обозначим через подпространство, порождаемое элементом хи Если Е= Еп то теорема доказана. Если же Л< не совпадает с Ь, то по лемме Э 3 гл. П найдется в Л элемент хг такой, что Яхгя 1 И 1 )~ Хг — Х < 11 )~ Обозначим через Ег надпространство, порождаемое элементами х, и х .
Имеются две возиожности: либо Л = Лг и теорема доказана, либо Ег не совпадает с Е. Тогда по лемме найдется элемент х, такой, что 1 1 )(хз~! — 1, ~~хз х<!1)) о !1Хз Х2~~)~ 2 ° Продолжим этот процесс. Тогда можно сделать два предположения: либо для некоторого и Е„ совпадет с Ь и теорема будет доказана, либо мы построим бесконечную комплктные множаствл [гл.
ч Лемма. При неограниченном возрастании ~ Л~г ггю функция р (Лн Л,, ..., Л„) = )! х — Л,х, — Лгх,— Мы имеем — Л„х„!! -ь со. <р(Лн Л,, ..., Л„) )~((Л,х,+Лехе+ ... +Л„х„!~ — )/х!~. Рассмотрим другую непрерывную функцию от параметров Лн Лг, ..., ˄— ф(Л1 Лг . Л ) ~!Л1х1+Лгхг+ +Л х ч' На сфере а-мерного евклидова пространства в (являющейся компактным в себе множеством) эта функция достигает наименьшего значения !с, которое больше нуля в силу линейной независимости элементов хн хг, ..., х„. ч) На стр. 84 мы определили комплексное пространство А Здесь мы рассматриваем вещественное Ьг и которое определяется аналогично. последовательность (х„) такую, что ~(х„~(= 1 и (~х,— х ~()— 1 при и+т для любых и и лг.
Но вторая возможность отпадает, так как она означала бы существование ограниченного (!)х„((= 1) и некомпактного ~(~х„— х„,)!)~ — при ачьлг) 1 множества, что противоречит условию теоремы. Задача о наилучшем приближении. П. Л. Чебышев исследовал задачу о наилучших приближениях функций линейными комбинациями заданных функций. Придерживаясь принятой здесь терминологии, это были аппроксимации в пространствах С, Лг р е), Л и т. п. Рассмотрим задачу о наилучшей аппроксимации произвольного элемента х нормированного пространства Е линейными комбинациями заданной конечной системы линейно независимых элементов хн хг, ..., х„~ Е.
Докажем, что аадача о наилучшей аппроксимации разрешима (2!. 25) КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ Пусть задано произвольное й ) О. Если а Л ! ) — (Тт + ! !! !х !!! !), !=! то а ~~> Л,х, — й х !'( = 1=! Р(ЛН Л, ..., Ла)) ч~~ Л, '='1/ ч; Л', Т=! — !(х~!)~ и лемма доказана. Теорем а. Суи)ествуют вещественные числа Л!! !. !о! Лт!...., Л,„такие. что величина !о! !о! !Р (Л1 Лт ) а) !!! !х Л1х! Лоха Лоха)~ И<Л Л. "" Л.) — р(1 И "" (!.)1= а а а = Ц х — ~~.", Л хт (/ — !/ х —,~~ р х, ~~ ~ ( /! ~ (Л! — р ) хД ( 1=! ' к=! 1=! а а ( Х!Л! — Р!1 1~х11~ ( к!ах )Л! — (с!) „."„((х1~!. 1=! 1~!аа ю=! ') То есть н конечномерном пространстве, порождаемом элемеитамн хь х,... „ха, имеется элемент, наиболее близкий к х.
имеет минимум нри Л1=Л11, Ло=ЛТ1, . °" Ла=Л *). Утверждение теоремы очевидно, если х линейно зависит от хи хт, ..., ха. Будем теперь счятать, что х не лежит в подпространстве, порожденном элементами х,, х, ..., х,. Прежде всего ясно, что !р(Л1, Ла, ..., Ла) есть непрерывная функпия своих аргументов, что следует из неравенства компгл!тнын множвотвл !гл. ч В силу леммы !р(Л1. Л2, ....
Л„))~)(х11 вне некоторого шара ч" ,Л,' <г'. 1=1 Так как этот шар компактен в себе, то !р(Лп Л2, ..., Л„) как непрерывная функция достигает на нем своего наименьшего значения ч в некоторой точке (Л~ . Л2, ..., Л1„). Но ч (!р(0, О, ..., 0)=11х(!. Поэтому ч есть наименьшее значение функции !р(Л,, Л2, ..., Л„) на всем пространстве точек Ло Л2, .... Л„, чем теорема и доказана. Линейная комбинация Л1 Х1+ Л2 Х2+ ... + Лл'Хл, дающав наилучшую аппроксимацию элемента х, в общем случае не является однозначной. г(ля получения однол вначзости на аппроксимирующие выражения ~ Лгх, при1=! ходится налагать дополнительные условия. Так, в пространстве С (О, 1) рассматривают системы функций, удовлетворяющие так называемому условию Чебышева. Однако можно указать некоторые пространства, в которых наилучшая аппроксимация всегда определяется однозначно.
Пространство Е называется строго нормированным, если при хчьВ, у+О равенство ()х+у(~=((х)(+!1у)( возможно лишь прн у=ах, где а ) О. Нетрудно показать теперь, что в строго нормироваш!оч пространстве наилучшая аппроксимация определяется однозначно. В самом деле, если существуют две линейные кома и бинации ~, Л,х, и ~ р;х, такие, что 1=1 ' ' 1=1 л х — ~ Л;х, ~ = х — ~~,'". р;х; = 11, 1=1 1=1 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ л где 1! = и!!и х — ~~ Л,х; ) О, то 1.=! л х — ~~Лх; + ~т Л1+!И ! х — ~ 21х, ~(-, ът х — лт рх ! ( 1=1 2 2 а так как л то л х — 1+~! х л'м' 2 Следовательно, л ( л ст Л1+н! ! Ът х — лт 2 2 ~ х, = †, х — т, Л1х! 1л! 1=! Отсюда в силу строгой нормированности пространства л л х — а р х, = а [ х — ~ Л1х! '%' 1=! 1=1 Если бы аФ1, то х было бы линейной комбинацией эле- МЕНТОВ ХР ХМ ..., Хл. ЧтО ПО ПРЕДПОЛОжЕИИЮ ИСКЛЮЧаЕтСЯ.
Поэтому а=!. а тогда КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА сгл. у откуда в силу линейной неаависимости элементов хн х, ..., х„следует, что Лс — — ]сс, 1=1, 2, ..., п, и требуемое доказано. Примерами строго нормированных пространств могут служить Ее[0, 1] и 1р для р ~ 1. Пространство С[0, 1) не является строго нормированным.
Чтобы убедиться в этом. достаточно рассмотреть две неотрицательные линейно независилсые функции х (с) и у (С) ~ С [О, 1], имеющие максимальные значения в одной и той же точке отрезка ]О, 1]. Для таких функций, очевидно, )) х+ у)) =)) х))+)) у)). хотя у+ах. Читатель легко может убедиться, что С[О, 1] и С также не являются строго нормированными пространствами. Слабая компактность. Нижеследующая теорема является весьма важной и часто используется в приложениях функционального анализа. Теор ем а 5.
Если пространство Е сепарабельно, то всякий саар в сопряженном пространстве Е' слабо компактен, т. е. из любой последовательности линейных функционалов )С"„) с ограниченными нормами можно выделить подпоследовательность, слабо сходяявуюся к некоторому линейному функционалу се. При рассмотрении пространства операторов было пока- вано, что это пространство полно в смысле точечной сходимости операторов. Так кзк для линейных функционалов понятия точечной и слабой сходимости совпадают, то пространство Е' линейных функционалов полно в смысле слабой сходимости, Поэтому достаточно доказать, что из всякой последовательности )Я линейных функционалов с ограниченными нормами можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в себе. Без ограничения общности можно считать, что )) с„)) ( 1.
Пусть хн хг, ..., х„, ... — счетное всюду плотное в Е множество. Так как )~„(хс)) ())~„))))х,)) ())х,)), то [г'„(х,)) — ограниченная числовая последовательность. КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ Поэтому из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность у п~(х,), у гн(х,), ..., )' ш(х,), ... Рассмотрим последовательность функционалов ~у п~~. лл Так как !У„л~( ~Н <~1~~~!.
то (у п>(Х2)~ — ограниченная числовая последовательность. л Поэтому из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (2) (Х2), Г <2) (Х2), ..., Г (2) (Х2), Продолжая так дальше, можно построить последовательность функционалов (У <з>~, сходящуюся на хз, и так далее. При ле этом существенно отметить, что каждая следующая подпоследовательность является частью предыдущей и поэтому сходится на каждом элементе, на котором сходятся предыдущие подпоследовательности.
Построим «диагональную подпоследовательность»: У„а У„2) "" У„м) Легко видеть, что эта подпоследовательность сходится для любого х из рассматриваемого счетного всюду плотного множества. В самом деле, для этого достаточно заметить. ИО Г" Олн Г' <л,ЛШ ... ЕСТЬ ЧаетЬ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ )У" ~ 2), л л ( ле которая сходится для х по построению. Поэтому и вся по- СЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (У ни) СХОДИТСЯ ДЛЯ Х,„.
ле Так как ноРмы фУнкционалов последовательности (У ~а)) ла/ ограничены в совокупности и эта последовательность сходится на множестве ( х,, Х2, ..., Хл,... ), всюду плотном в Ю, ~о по теореме 2 й 4 гл. )Ч послеловательность (у' ы>) ла слабо сходится. Теорема доказана. кОмпАктные множествА [ГЛ. Ч Следствие. В пространствах 1р и»'. [О, 1[ всякий шар слабо компактен. Это следует из того, что 1р=)д, Ее[0, 1[= Ц[0, 1[ и 1, Ед [О, 1[ сепарабельны. Замечание. Легко убедиться в том, что всякий шар в Е* слабо замкнут. Следовательно, если он слабо компактен, то слабо компактен в себе.
О 3. Универсальность пространства С [О, 1[ В 1923 г. советский математик П. С. Урысон доказал, что существуют «универсальные» сепарабельнае метрические пространства, т. е. такие, которые содержат части, изометричные любому сепарабельному метрическому пространству. Впоследствии польские математики С.
Банах н С. Мазур доказали, что одним из универсальных пространств является пространство С [О, 1[. Доказательство теоремы Банаха и Мазура связано со свойством слабой компактности сопряженных пространств. Теорема 1. Всякое сепарабельное пространство Е типа В изометрично и изоморфно подпространству пространства С[0, 1[. Пусть Я вЂ” шар [[/[[(1 в пространстве Е', причем за сходимость в 5 принимается слабая сходимость линейных функционалов. В силу теоремы 5 Э 2  — компактное в себе множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
