1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 33
Текст из файла (страница 33)
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [гл, ч Критерий комиактности множества в метрическом пространстве. Мы дадим сейчас общий критерий компактности множества, расположенного в метрическом пространстве. Для этого введем сперва слелуюшее определение: Множество М метрического пространства Х называется е-сетью дли множества М того же ироечранства, если для любой точки хЕ М найдется точка х,~ььь' такая, что р(х, хч) < г (в частности. М может совпадать со всем пространством Х'.
Теорема 3 (Хаусдорфа). Длн кольпактности множества К метрического пространства Х необходимо, а в случае полноты Х и достаточно, чтобы для любого числа е) 0 существовала конечная с-сеть для множества К. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что К компактно. Пусть х, — любая точка из К. Если р(х, х,) < е для всех х ~ К, то конечная е-сеть уже построена. Если. же это не имеет места, то существует точка хг Е К такая, что р (х,.
хг) )~ е. Если для любой точки х с К либо р(х, х,) < е, либо р(х, хг) < е, то конечная е-сеть уже построена. Если же это не имеет места, то найдется точка хз такая, что Р(хь, хз))~е. (ь(х,, хз))~г Продолжая так далее, построим точки хн х, ..., х„ такие, что р(хь хь) ) е при 8Ф/. Можно сделать два предположения. Либо Процесс построения точек после некоторого к-го шага оборвется, т.
е. для любого х ~ К будет выполняться одно нз неравенств р(х, х,) <е, ь'=1, 2, ..., Уг. В этом случае хн х,, .... х„ образуют конечную е-сетьч) для К. Либо указанный процесс построения точек х, можно продолжить неограниченно. Но эта возможность исключается, так как если бы она имела место, то мы получили бы бесконечную последовательность точек х,, хг, ..., х„.... такую, что р(хн хь) ) г ч) Полезно заметить, что этз е-сеть сосгонт нз точек множа ства К. 229 опввдклвния.
Овп!ие тйоввмы $ н для 1Ф/, и ни сама эта последовательность, ни' любая ее подпоследовательность не были бы сходящимися, что противоречит предположению о компактности множества К. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что пространство Х вЂ” полное и что для любого е) О существует конечная е-сеть дла К.
Возьмем последовательность чисел (ел~, !(шел=О, и для каждого ел построим конечную ел-сеть л (л) (л) (л)) для множества К. Возьмем любое бесконечное подмножество Тс.К. Около каждой из точек л((), хн), ..., х(() опишем г ' ю замкнутые шары радиуса еи Тогда каждая точка из Т попадет в один из этих шаров.
Так как шаров- конечное число, то по крайней мере в одном из них окажется бесконечное множество точек из Т. Обозначим это подмножество множества Т через Ти Возьмем точки х((). х(а), ...,хл, и опишем около каждой из этих точек замкнутые шары радиуса е).
Рассуждая, как и раньше, найдем бесконечное множество Т,~Т(, расположенное целиком в одном из построенных шаров радиуса е). Продолжая так далее, получим последовательность Т,~Т,~... -)Т„-)... бесконечных подмножеств множества Т, причем подмножество Тл содержится в замкнутом шаре радиуса ел и, следовательно, расстояние между любыми двумя точками из Тл не превосходит 2ел. Возьмем теперь точку $(~Т(, точку $я~Т,, отличную от '-',, точку сз~Тз, отличную от точек "., и $,, н т. д. 11олучнм некоторую последовательность точек из Т (ь(' ь7' ' ' '' ьл'' ' '1' Эта последовательность сходится в себе.
В самом деле ~„~ Т„, и ~„.лр Е Т„ля~ Т„для любого натурального р Следовательно, Р6„+л, ь„) < 2ел -+ О при и — ь со, р ) О. Так как по условию пространство Х вЂ ' полное, то последовательность Т„ сходится к некоторой точке с~ Х и, следовательно, компактность множества К доказана. 230 комплктныв множества 1гл. ч С лед с тв не 1. Лля того чтобы множество К полного метрического пространства Х было компактно. достаточно, чтобы для любого е) О существовала компактная е-сеть для К. Пусть М вЂ” компактная —,-сеть для К. Применяя к М 2 предыдущую теорему, находим, что существует конечная — сеть Ие для М. Тогда Ие — конечная е-сеть для К. 2 В самом деле, для любой точки х~К существует точка $ЕМ такая, что р(х, й) ч., —.
В свою очередь для точки ~ЕМ существует точка хеЕМв такая, что р(й, х,) ( —. Следовательно, для любой точки х Е К найдется в Ме такая точка х„что р(х, хд~(Р(х, э)+Р(я х) ( 2 + 2 =е т. е. Из является конечной е-сетью для К. Так как пространство Х вЂ” полное, то по предыдущей теореме заключаем, что К компактно. Следствие 2. Компактное пространство Х сепарабельно. В самом деле, возьмем последовательность (ее], е„— ьО, и для каждого еи построим конечную е„-сеть ын л Пусть М=ЦИю Очевидно, И вЂ” счетное множество, всюду п=г плотное в Х.
Следствие 3. Компактное множество К мет рического пространства ограничено. Пусть М, = (хп ..., х„) есть 1-сеть для К и а — фиксированный элемент пространства Х. Пусть, далее, д = щах о (а, х;). 23! ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ Очевидно, для любой точки х с К имеем р(х, а)~(!+А н требуемое доказано. Приведем теперь еще два признака компактности множеств в себе, которые могут быть приняты также и за определения этого понятия. Система )О„) открытых множеств пространства Х называется покрытием множества Мг=Х, если каждая точка к~М принадлежит хотя бы одному из множеств О, этой системы. Теорема 4. Для о!ого чтобы замкнутое множество Р метрического пространства Х было компактным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрыпгия этого множества можно было выдела тв конеч ное покрыт ие. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть ) 0,) — система открытых множеств, покрывающих компактное в себе множество Р, такая, что нз нее нельзя выделить конечное покрытие.
Возьмем последовательность )е„), сходящуюся к нулю. Пусть х1, хг, ..., хв, есть е,-сеть длЯ множества Р. Тогда 1П 11! <И где р! =О),хг', е1) П р. Легко видеть, что Р1 — компактное в себе множество диаметра, не превышающего 2е,. Если множество р нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из )0„), то этого же нельзя сделать по крайней мере для одного из множеств Р1.
Пусть Р1, будет множеством, которое нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из )О,). Рассуждая аналогично, выделим из Р1, компактную в себе часть Р1,1, диаметра, не превышающего 2ег, которую нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из )Ое), и т. д. Мы получили последовательность вложенных друг КОМПАКТН|ВЕ МНОЖЕСТВА [гл. ч в лруга компактных замкнутых множеств Рг,зР|,г,:г ° ° ° ~Р|,гк.л з ° ° ° диаметры которых стремятся к нулю.
Пусть хе — точка, принадлежащая всем этим множествам. Так как система (О„) образует покрытие множества Р' и хе~ Р, то найлется множество 0„„содержащее эту точку. В силу того, что множество 0„, открытое, существует окрестность Б (хе, е) точки хе, целиком входящая в 0аа Выберем теперь и настолько большим, чтобы диаметр Р| | ...г был меньше е. Тогла, очевидно, | г''' л Рг,гк..|„~б(хо е), и мы приходим к противоречию, так как, с одной стороны, множество Р; | | согласно построению нельзя покрыть '| к'' г ни одной конечной полсистемой, выделенной из (0а), а с другой стороны, это множество покрыто О, . Следовательно, из всякого покрытия множества Р можно выделить конечное покрытие, и необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что из всякого покрытия множества Р можно выделить конечное покрытие. Пусть М вЂ” подмножество множества Р, не имеющее ни одной предельной точки. Тогда для каждой точки х ~ Р найдется окрестность Я(х, е ), не содержащая, кроме, может быть, самой точки х, ни одной точки из |И. Эти окрестности образуют покрытие множества |И. Выделим из него конечное покрытие Я(хг, е,), 8(хг, е,), ..., Б(хю е„). Так как все множество М размещается в этих окрестностях и так как в каждой окрестности может солержаться не более одной точки множества М, то множество М должно быть конечным.
Следовательно, всякое бесконечное подмножество М~Р должно иметь прелельные точки, т. е. Р компактно. Система множеств называется цент рированной, если любая конечная ее полсистема имеет непустое пересечение. Т е о р ем а 5. Для того чтобы замкнутое .иножество Р метрического пространства Х было компактным.
необходимо и достаточно, чтобы любая центри- 233 ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБШИЕ ТЕОРЕМЫ 0а, Оа, ..., Оа . л Так как Цба,~Г, то 1=! л и П Ра,— — СЦОа, .СР. (2) Но, с другой стороны, Р, с=Р, и потому л ПР, Р. (3) 1=1 л Из (2) и (3) следует, что ПР,,= О, что противоречит 1=1 предположению, что (Р,( — центрированная система.
Необходимость доказана. достаточность. Пусть любая центрированная система замкнутых подмножеств Р имеет непустое пересечение. Рассмотрим любое покрытие (Оа( множества Р открытыми м нож ест вам и. Введем Ра — Р, Оа = Р Й СОа. Множества Р, замкнутые. и ПР = — "'00«=О. Поэтому система (Ра( не пентрированная, и, следовательно, существует подсистема Ра, Ра, ..., Ра с пустым ") СА означает дополнение множества А. рованная система замкнутых подмножес1пв множества Р имела непустое пересечение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
