1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 45
Текст из файла (страница 45)
З1В СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. Т!2 положительного оператора может служить оператор проектирования на надпространство положительной размерности. Т е о р е м а 1. Произведение двух перестановочных положительных сальосопряженных операторов А и В есть также положительный оператор. Положим А! —— — 1 Аг = А! — А1, ..., Ал+1= Ал Ал, А !!А!! ' Покажем, что для любого и 0 ( Ал .( Е.
(1) Для и = 1 это очевидно. Пусть (1) верно для и = Ге. Тогда (А'(Š— А„)х, х) = ((Š— А,) А„х, Аьх) ) О, т. е. Аь(Š— А.) > О и аналогично А„(Š— Аь)2;~ О. Поэтому Аь+! =Аь(Š— Аь)+ Аь(Š— Аь) )~0 Š— Аьвв — — (Š— Аь)+ А1, ~~ О. Следовательно, (1) верно для и =Я+ 1.
Далее, имеем А! = А,+ Аг= А!+ Аг+ Аа= . 2 2 "° = А!+ Аг+ ° ° ° + Ал+ Ал! !. г откуда ~~!! Аь = А1 Ал+1( А1 2 ь=! (так как А„+!)~0), т. е. л ~~~(Аьх, Аьх) ((А,х, х). ь=! Следовательно, ряд ~ч',)~Аьх1"- Ь=1 ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 319 сходится и )(А„х~~ — ь0 при й-ьоо. Поэтому л (~~'„, Аа) х = А,х — А „, 1х -ь А,х. а Так как В, очевидно, перестановочен со всеми А, то мы получаем л (АВх, х) = ~А(,'(ВА,х, х) =()Л~(1нп ~(ВАах, х) = л А=1 л =~А(~1!а ~(ВАах, Аах))~0. л а=1 Теорема доказана.
Из иее легко следУет, что если 1Ал) — монотонно возрастающая последовательность самосопряженных перестаиовочных между собой операторов, не превосходящих само- сопряженного перестановочного со всеми Ал оператора В— А, ( Аз ( ... ( Ал а, ... ( В, — то последовательность (Ал) сходитсЯ к самосопРЯженномУ оператору А и А ~В. Аналогичное утверждение имеет место для монотонно убывающей последовательности. В самом деле. рассмотрим самосопряженные операторы Сл= — Ал.
Эти операторы положительны. перестановочны и образуют монотонно убывающую последовательность. Следовательно. для а ( п операторы (С вЂ” С„)Сж и Сл(С вЂ” С,) также положительны. откуда (Сл,х, х)) (С„,С х. х)) (С,',х. х) Монотонно убывающая положительная числовая последовательность 1(С~х, х)) имеет предел. К этому же пределу в силу полученных неравенств стремится при л, лг — лсо и (С Слх, х). Поэтому при н, лг — лсо ~(С х — С„х)'= =-((ф— Сл)'х, х)=(С' х. х) — 2(С С„х, х)+(С„х, х)-ь0. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Гл.
ч!! Таким образом, послеловательность [Слх), а значит и последовательность [Алх), сходится для любого х к некоторому пределу; обозначим последний через Ах: Ах =1!ш Алх. л Очевидно, что А — самосопряженный оператор. удовлетворяющий неравенству А (В, что и требовалось доказать. Самосопряженный оператор В называется квадратным !горнем нз положительного оператора А. если Вг=А. Те ар е м а 2. Суигествует единственный положительный квадратный корень В из лобого положительного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестановочкым с А.
Не нарушая общности, мы можем считать, что А (Е. Положим Ве= — 0 и В +!=Вл+ — (А — Вл) п=О, 1,.... (2) Все операторы Вл, — очевидно, самосопряженные и перестановочные с любым оператором, перестановочным с А. В частности, ВлВ =В„,Вл. Без труда проверяем, что Š— Впп ! = 2 (Š— Вл) + 2 (Š— А) (3) 1 г 1 В,ь, — Вл = 2 [(Š— Вп-!)+(Š— Вп)) (Вл — Вл-!) (4) 1 Из (3) следует, что Вл (Е для всех и. Легко убедиться и в том, что Впе Вл+Р В самом деле, для и=О это очевидно в силу неравенства Вг= — А > О=Во ' 1 2 Далее, равенство (4) показывает, что Вл+! — В„)~0, если Вл — Вл г)~0.
Следовательно, Вп (В„,, для всех и. Таким образом, [Вл) — монотонно возрастающая ограниченная последовательность самосопряженных положительных операторов. По предыдущему эта последовательность сходится к некоторому самосопряженному положительному оператору В. положитв.чьныв ОпвРАТОРЫ З2[ Равенство (2) в пределе дает В = В + —, (А — Вт). т, е. Наконец, перестановочность В с любым оператором, перестановочным с А, следует из того, что этим свойством облалают операторы Вис Таким образом, оператор В обладает всеми требуемыми свойствами, н существование положительного квадратного корня из оператора А доказано. Пусть В, — другой положительный квадратный корень из А, который перестановочен с А.
Тогда В,В = ВВ,. Поэтому если х — любой элемент из Н и у =( — В,) х, то получаем (Ву, у)+(В,у, у)=((В+В,) у, у)= = ((В + В,) ( — В,) х, у) = (( — В~1) х, у) = О. Так как В и В, — положительные операторы, то отсюла следует, что (Ву, у)=(В,у, у)=0. Но, будучи положительным, В=С', где С вЂ” самосопряженный оператор. Так как [[Су [[а = (Сту, у) =(Ву, у) =О, то Су = О.
Следовательно. и Ву = С(Су) = О. Аналогично В,у = О. Но тогда [[В,х — Вх [а = (( — В,)' х, х) = (( — В,) у, х) = О, т. е. для любого х ~ Н Вх= В,х, и единственность квадратного корня доказана. Пример. В пространстве т., [О, 1[ для оператора А, где Ах (Г) = тх (г), положительным корнем квадратным является оператор В, где вх(г) -+Ут х(г). З22 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [Гл. чы ф 4. Спектр самосоприженного оператора Будем рассматривать семейство операторов АА = А — ).Е, гле А — саиосопраженный оператор и А — комплексное число. Из теоремы 2 $ 5 гл. 1Д следует: если ~~ — А ~ ( 1 1 Х (т. е.
если [).! ) [[А[[), то ).— регулярное значение оператора А и, следовательно, весь спектр оператора А расположен внутри и на границе круга [Х[-([[А[!. Это верно для произвольного линейного оператора, действующего в банаковом пространстве. Для случая самосопряженного оператора. заданного на гильбертовом пространстве, мы укажем ниже более точно область, в которой расположен спектр оператора. Если А — самосопряженный оператор, то все собственные значения его вещественны, так как из Ах=Ах получаем равенство (Ах, х) =Х (х, х), где оба скалярных произведении (Ах, х) и (х, х) вещественны. Далее, из условия А = Ач, вещественности собственных значений и теоремы 2 $ 3 гл. 1Ч следует, что собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
Теорема 1. Для того чтобы точка Х была регулярным значением самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно существование положителвной постоянной с такой, что для любого хЕН (~ААх(! = ((Ах — Хх[()~ с((х(!. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть существует ограниче нный оператор йь= АА' н [[)ТА[1 =д. Для любого х с О имеем ((х() = ((ЙААьх!) (д()ААх((, откуда [[ Алх [[)~ — [[х [[, и необходимость доказана. % 41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕПНОГО ОПЕРАТОРА 323 Достаточность. Пусть у = Ах — )х и х пробегает пространство Н. Тогда у пробегает некоторое линейное многообразие С. В силу(!) соответствие между х и у взаимно однозначно, пбо если х, и хз переходят в один и тот же элемент у, то А (х, — х,) — Х (х, — ха) = О, 1 !(х, — ха!! ( — !'А1(х, — х,)!! = — О. откуда Покажем, что Ь всюду плотно в Н.
В самом деле, если это не так, то существует элемент хо ~ Н, отличный от нуля и такой, что (хо, у) = О для любого у ~ Е. Это значит, что (х,, Ах — )х) = О, Откуда, в силу самосопряженности А, (Ахо — ):хо х) =О, и так как это верно для любого х Е Н, то Ахо — ).хо = 0 Но это равенство при хо, отличном от пуля, невозможно ни при комплексном А (тогда у самосопряженного оператора были бы комплексные собственные значения), ни при вещественном ). (Тогда Х = А и !! хо !/ ( — !! Ахо — ),хо/! = О) .
Покажем, наконец, что Л замкнуто. Пусть (у») о=с, уп = Аах» н у»-+ уо В силу (1) !! хп — х~ !~ ( — !! Аах» — Аьхт !! = — !! Уп — У !! 1, 1 х =!пих„. п Последовательность (у») сходится в себе и потому )!Уп — у !)-ь 0 при н, лг-ь+ОО. Но тогда !)х„— хп!!-+0 при а, т-ьсо. Из полноты пространства Н следует существование предель- ного элемента для последовательности !х„): 324 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. ЧП Ири этом Алх =1!гп Алх„=[ИВУ =У и и т. е. Уса. Итак, Л вЂ” замкнутое, всюду плотное в Н линейное многообразие, т. е.
Л=Н. Так как, кроме того, соответствие У=Алх взаимно однозначно, то существует обратный оператор А =Ал У=)ллУ определенный на всем Н. Неравенство (1) дает [[гсьу[[ [[х[[~< с [[Алх,'[ с ~~у т. е. Йл является ограниченным оператором и 1~й,!! < — ',. С лед ст в не. Точка Л принадлежит спектру самосопряженного оператора А тогда и только тогда, когда существует последовательность [х„) такая, что [[Ах„— Лх„[[~<с„[[х„[[, с„ьО при п-ьсо.
(2) В (2) моькно положить [[х„[[ =1, тогда [[Ахи — Лх„[[ — > О, [[хи[[ = 1. (3) Теорема 2. Ко,аплегссные числа Л=а+[[[, где Р чь О, суть регулнрные значения самосопряженного оператора А. В самом деле, если у = Алх = Ах — Лх, то (у, х)=(Ах, х) — Л(х, х), (х, у) =(у, х)=(Ах, х) — Л(х, х). Отсюда (х, у) — (у, х) =(Л вЂ” Л)(х, х)= 2ф[[х[[э, или 2 ~р~~/х/~= ((х, у) — (у, х)! </(х, у)~+ ~(у, х)!~ 2)/у (! )/х(~ з Я! СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕЯЯНОГО ОПЕРАТОРА 325 и, значит, [[у[[)~ [Р[[[х[[, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
