trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Параметры Y, Δстат,Δдин – величины размерные.120Для астатической системы (рис. 7.5) статическая ошибка равнанулю, т.е. система возвращается в исходное состояние равновесия.Если система астатическая, то величину приемлемой зоны колебанийберут ( ±5%)Δ дин от величины динамической ошибки. В астатическихСАУ конечное и исходное равновесие совпадает с заданным.Склонность системы к колебаниям определяется двумя параметрами: величиной перерегулирования – σ (это Δдин – динамическая ошибка в процентном выражении) и количеством колебаний регулируемойвеличины до входа в ± 5%-й коридор приемлемой зоны колебаний – n.Рис.
7.5. График переходного процесса астатической системыПеререгулирование σ – это динамическая ошибка, отнесенная кноминальной величине регулируемого параметра в %.Динамическая ошибка Δдин имеет размерность. Покажем, почемупредпочтительней величина перерегулирования. Например, пустьдинамическая ошибка Δ дин = 2°C. Для температуры 1000°C – это величина незначительная, а для 36,6 °C – это много.Величина перерегулирования вычисляется по формулеΔσ = дин 100%.YустВеличина перерегулирования или максимальная динамическаяошибка обычно допускается σ ≈ 10...20% от установившегося значения, количество колебаний n ≈ 2…3.121Кривую переходного процесса Y (t ) можно получить либо прямым путем, решая аналитически или численными методами уравнения математической модели системы, либо косвенно, используя частотные и временные характеристики системы путем построения некоторой её аппроксимации.Если построение переходного процесса с использованием ЭВМ затруднено, то одним из методов построения переходного процесса можетбыть частотный метод построения характеристики по АФЧХ системы.7.2.
Расчет переходных процессовпо частотным характеристикамНепосредственная количественная связь между временными ичастотными характеристиками осуществляется с помощью преобразований Фурье. Преобразуем функцию X (t ) в X (S ):X (t ) = 1(t ); X (S ) =1;S∞1 +∞St();YSedSY(S)=Y (t ) e −St dt .∫∫02π −∞Если все корни лежат слева от мнимой оси при S = j ω, тоY (t ) =∞1 ∞j ωtY(jω)=Y (t ) e− jωt dt.();Yjωedω∫02π −∞Когда все корни лежат левее мнимой оси, Y (t ) состоит из суммыY (t ) =∫убывающих экспонент и экспоненциально затухающих гармоническихколебаний. Площадь под кривой каждой из этих компонент Yi (t ) – величина конечная, значит конечная величина – площадь под всей кривой.Пусть имеется система, показанная на рис. 7.6.Рис. 7.6.
Структурная схема замкнутой системыавтоматического регулированияТогда Y (S ) = W (S ) ⋅ X (S ), или подставив значение X (S), получаем Y (S ) =W (S )W ( j ω)1 ∞ W ( j ω) j ω tили Y ( j ω) =, однако Y (t ) =e d ω.Sjω2π ∫−∞ j ω122Разделим передаточную функцию на вещественную A(ω) и мнимуючасти B(ω) и отбросим мнимую часть, поскольку Y (t ) – вещественнаяи, учитывая, что e j ωt = cos ωt + j ⋅ sin ωt , окончательно получаем2 ∞ A(ω)sin ωtd ω.(7.1)π ∫0ωЭта формула устанавливает связь между переходной функциейи вещественной частотной характеристикой замкнутой системы. Нонепосредственное определение переходного процесса по формулесложно, так как нужно считать интеграл. Приближенное вычислениепереходных процессов предложил Солодовников В.В.
В основе метода лежит приближенное вычисление интеграла. Строится график процесса регулирования замкнутой системы с использованием вещественной части АФЧХ, называемой вещественной характеристикой.Y (t ) =Солодовников Владимир Викторович (1910–1991 гг.)Получив частотную передаточную функцию замкнутой системы иразделив её на вещественную и мнимую части W ( j ω) = A(ω) + jB(ω),строится график вещественной характеристики замкнутой системыA(ω) (рис.
7.7, а).По аналитическому выражению A(ω), изменяя частоту ω от 0 до∞, строится график (рис. 7.7, а), который разбивают затем на несколько трапеций с алгебраической суммой площадей, близкой к алгебраической сумме площади под интегралом (7.1). Первая трапеция – abed(рис. 7.7, б). Площадь трапеции abed больше, чем положительнаячасть АХЧ (рис.
7.7, а), на площадь трапеции oced, которую учтем во123второй трапеции с отрицательной площадью odfk (рис. 7.7, в). Суммадвух площадей трапеций (рис. 7.7, б и в) равна приблизительно площади под кривой АЧХ (рис. 7.7, а).На рис. 7.7, а график A(ω) разбит на две трапеции.
Для большейточности можно разбить на большее число трапеций – на 3…6. Нарис. 7.8 показаны графики процессов регулирования для каждой трапеции в одних осях координат, построенные с использованием табличных данных, рассчитанных для единичной (с ординатой, равной 1)трапеции и коэффициентов масштабного перехода от единичной трапеции к заданным.A(ω)A(ω)baA(ω)Трапеция Ic k0dωefаba0dωe0dωТрапеция IIfбвРис. 7.7. График вещественной частотной характеристикии его аппроксимации: а – вещественная частотная характеристика;б – аппроксимация первой трапецией; в – аппроксимация второй трапециейYТрапеция IСАУtТрапеция IIРис. 7.8. Графики переходных процессов для трапецийи суммарный график переходного процесса системы124Алгебраически суммируя графики трапеции 1 и трапеции 2 (илиграфики всех имеющихся трапеций), получается график переходногопроцесса для системы в целом.
По этому графику делается вывод обустойчивости системы и определяются показатели качества работыспроектированной системы.7.3. Оценка качества переходных процессовпо частотным характеристикамПриблизительно вид переходного процесса может быть определен по вещественной частотной характеристике A(ω). Этот метод особенно удобно применять, когда для исследования систем пользуютсячастотными методами. На основании интеграла (7.1) были полученыоценки качества переходного процесса.– Значение вещественной частотной характеристики замкнутойсистемы при ω = 0, т.е.
A(ω = 0), совпадает с установившимся значением выходной величины Yуст (рис. 7.9).Чтобы величина перерегулирования не превышала 18% от статического отклонения, достаточно иметь положительно нарастающуюнепрерывную характеристику A(ω). На рис. 7.10 показаны три видавещественной частотной характеристики.YA(ω)A(ω = 0)Yустω1аωtбРис. 7.9. Графики: а – вещественная частотная характеристика;б – ожидаемый вид переходного процессаЕсли вещественная частотная характеристика имеет вид 1, показанный на рис. 7.10, то предполагаемый вид переходного процессабудет таким, как представлено на рис. 7.11. При этом величина пере-125регулирования σ > 18%. Максимальная величина перерегулирования1,18 ⋅ Amax − A( ω = 0)для этого вида кривой будет σmax =100%.A( ω = 0)A(ω)A(ω = 0)Amax123ωРис.
7.10. Графики вещественной частотной характеристикиYσ > 18%tРис. 7.11. График переходного процесса при σ > 18%При вещественной частотной характеристике, соответствующей2 кривой на рис. 7.10, вид переходного процесса ожидается таким, какпоказано на рис. 7.12.Если вещественная частотная характеристика соответствует3 кривой на рис. 7.10, то величина перерегулирования σ = 0, ожидаемый вид переходного процесса показан на рис. 7.13.– Для монотонных процессов время затухания tпер до значений,4π,когда переходный процесс войдет в зону Y = ±5%Yуст, будет tпер =ωπгде ωπ (рис.
7.10).126Yσ < 18%tРис. 7.12. График переходного процесса при σ < 18%Yσ=0tРис. 7.13. График переходного процесса при σ = 0В общем случае время переходного процесса лежит в диапазоне3π8π< tпер <.ωπωπПри прочих равных условиях переходный процесс затухает тембыстрее, чем больше растянута область положительной вещественной частотной характеристики вдоль оси ω, т.е. чем больше ωπ.– Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пику вещественной характеристики. Если пик уходит в бесконечность,система находится на границе колебательной устойчивости.– Связь между графиками переходных процессов и логарифмическими амплитудно-частотными характеристиками можно проиллюстрировать на примерах.Рассмотрим систему первого порядка, структурная схема которой показана на рис.
7.14.Передаточная функция разомкнутой системы имеет видK11Wраз (S ) = ==,1STS⋅SK1271= K . Графику амплитудно-частотной харакTтеристики, показанному на рис. 7.15, а, соответствует график переходного процесса (рис. 7.15, б).где частота среза ωср =Рис. 7.14. Структурная схема системы20 lgKдБL(ω)0,05 h(t)h(t)T–20 ДБ/дек20ω [1/c]0,11аωср = Kttпер = 3TбРис. 7.15. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (а);график переходного процесса (б)Рассмотрим систему второго порядка с передаточной функциейK, структурная схема которойразомкнутой системы Wраз (S ) =(T1 + 1)Sпоказана на рис. 7.16. В зависимости от того, где происходит присоединение апериодического звена второго порядка, т.е.
при сопрягаемой частоте ω1 логарифмическая характеристика находится выше(рис. 7.17), на оси частот ω (рис. 7.18), или перелом ЛАХ происходитниже оси ω (рис. 7.19); вид ожидаемых графиков переходного процесса будет разный.128Рис. 7.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
