trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 13
Текст из файла (страница 13)
A = 2 .ωИз второго уравнения определяем коэффициентB → A ⋅ 0 + Bω − ω3 = 0 или Bω = ω3 , т.е. B = ω2.A ⋅ B = 1 – это равнобокая гипербола Вышнеградского с осямикоординат в качестве асимптот.Согласно критерию Гурвица, при A 0 и B 0 условием устойчивости системы является неравенство A ⋅ B > 1, которое определяется из определителя Гурвица.Рассмотрим уравнение, предложенное Вышнеградским:z3 + Az2 + Bz + 1 = 0– оно аналогично уравнению третьей степениa3S 3 + a2S 2 + a1S1 + a0S 0 = 0,в котором коэффициентам a соответствуют следующие выраженияa3 = 1, a 2 = A, a1 = B, a0 = 1, из которых составим определитель Гурвицаa2 a3Δ 3 = a000A10a1 a2 = 1 BA =01a000= AB1 + 1A0 + 100 − 0B0 − 111 − A0 A = AB − 1 > 0.Вышнеградский вывел алгебраический критерий за 20 лет доГурвица и раньше критерия Рауса.Когда A ⋅ B = 1, система находится на границе устойчивости.Уравнение A ⋅ B = 1 можно рассматривать как уравнение кривой, которая разбивает плоскость с координатами A и B на две основных области: область устойчивости и область неустойчивости.Область устойчивости системы лежит выше этой кривой, и повиду корней характеристического уравнения системы можно определить примерный вид переходного процесса (рис.
6.28): 1 – область,соответствующая апериодическому затухающему процессу; 2 – монотонный затухающий процесс; 3 – периодический затухающий процесс;4 – неустойчивый переходный процесс.112Рис. 6.28. График с гиперболой ВышнеградскогоНедостаток критерия: интересующие проектировщика параметры,например диаметры, расход, ширина щели, давление (d, Q, h, P), входят в выражения коэффициентов A и B в неявном виде, что усложняетрасчеты. К тому же уравнения должны быть не выше третьего порядка.6.10.
Общий метод D-разбиения в плоскости двух параметровВ 1948 г. Ю.И. Неймарк разработал критерий, названный потомD-разбиение пространства параметров. Метод является дальнейшимразвитием критерия Вышнеградского.Юрий Исаакович Неймарк (1920–2011 гг.)113Каждому сочетанию значений коэффициентов характеристического уравнения соответствует вполне определенное расположениекорней этого уравнения на комплексной плоскости.Изменение коэффициентов уравнения вызывает перемещениекорня на комплексной плоскости.Построение области устойчивости в плоскости одногокомплексного параметраПусть требуется выяснить влияние параметрана влияние устойчивости системы.Характеристический полином, т.е. знаменатель передаточнойфункции, сгруппируем так, чтобы в R(S) были все члены, не содер-жащие интересующего параметра, а в Q(S) – слагаемые, содержащиеинтересующий параметр m.
Тогда характеристический полином предстанет в виде D(S ) = R(S ) + mQ(S ). Получим частотный характеристический полином заменой S = j ω в виде D( j ω) = R( j ω) + mQ( j ω) и определим интересующий параметр m.Характеристическое уравнениеR( j ω) + mQ( j ω) = 0 или m = −R ( j ω)= X ( ω) + jY ( ω).Q ( j ω)Изменяя ω от 0 до +∞, определим значения X и Y. Построим границу D-разбиения. Граница D-разбиения – это геометрическое расположение мнимой оси в плоскости одного параметра.
Переход через границу означает переход через мнимую ось. Кривая D-разбиенияделит плоскость на ряд областей (рис. 6 29).Рис. 6.29. Граница D-разбиения для разных систем114Штриховка кривой D-разбиения производится слева при изменении ω от −∞ до +∞, что соответствует положению мнимой оси вкоординатной системе и расположению левых устойчивых корней.Обычно задачу D-разбиения решают с помощью вычислительных машин.Построение области устойчивости в плоскости двух параметровПри проектировании часто надо узнать влияние на устойчивостьдвух параметров, например m и h.
Предполагаем, что параметры m иh входят линейно в характеристическое уравнение замкнутой системы. Сгруппируем слагаемые, зависящие от интересующих параметров. Тогда уравнение примет видmR(S ) + hQ(S ) + P(S ) = 0.Заменив S = j ω, получаем mR( j ω) + hQ( j ω) + P( j ω). Каждое слагаемое разделяем на вещественную и мнимую части:R( j ω) = R1( j ω) + jR2 ( j ω);Q( j ω) = Q1( j ω) + jQ2 ( j ω);P( j ω) = P1( j ω) + P2 ( j ω).Подставив полученные выражения в уравнение, получим тождествоmR1( j ω) + jmR2 ( j ω) + hQ1( j ω) + jhQ2 ( j ω) + P1( j ω) + jP2 ( j ω) ≡ 0.Тождество имеет место, если раздельно равны нулю действительная и мнимая части.
Объединим все слагаемые, вещественные имнимые, в отдельности:A(ω) = mR1(ω) + hQ1 1(ω) + P1(ω) = 0;B(ω) = mR2 (ω) + hQ2 (ω) + P2 (ω) = 0.В результате получим два параметрических уравнения с двумянеизвестными m и h. Решаем эти уравнения относительно m и h. Еслиглавный определитель системы Δ ≠ 0, то каждому значению ω будетсоответствовать одна точка на границе области устойчивости.Δ=R1(ω) Q1(ω)= R1(ω)Q2 (ω) − R2 (ω)Q1(ω);R2 (ω) Q2 (ω)115Δ1 =−P1(ω) Q1(ω)= −P1(ω)Q2 (ω) + P2 (ω)Q1(ω);−P2 (ω) Q2 (ω)Δ2 =R1(ω) −P1(ω)= −R1(ω)P2 (ω) + R2 (ω)P1(ω).R2 (ω) −P2 (ω)По этим уравнениям для каждого значения ω определяют m и h,исключая промежуточный параметр ω:ΔΔm = 1; h = 2 .ΔΔСтроят границу D-разбиения в плоскости двух параметров какфункцию m = f (h).При некоторых значениях ω Δ = 0, а Δ1 ≠ 0 и Δ2 ≠ 0 точка границы D-разбиения уходит в ∞.
Параметрические уравнения становятсяэквивалентными и определяют прямую (рис. 6.30).mω=0ω=∞hРис. 6.30. Границы D-разбиения в плоскости двух параметровОсобые прямые отвечают значениям ω = 0 и ω = ±∞.Правила штриховки границы D-разбиенияГраница D-разбиения в плоскости двух исследуемых параметровштрихуется слева при ω → ∞, если Δ > 0, и справа, если Δ < 0. Так какграница D-разбиения совпадает для +∞ и − ∞, то она штрихуетсядважды с одной и той же стороны (рис. 6.31).116mω=0hРис. 6.31. Штриховка границ D-разбиенияШтриховка особых прямых одинарная.
Заштрихованные и незаштрихованные стороны прямой и кривой вблизи точки сопряжениянаправлены друг к другу.Метод D-разбиения требует строгого соблюдения формальныхпроцедур, иначе его применение приведет к грубым ошибкам.Если проектируемая система устойчивая, то можно приступить канализу её работы.Контрольные вопросы по разделу 61. Что такое устойчивость систем автоматического регулирования?2. Как определить устойчивость по корням характеристического уравнения?3. Какой алгебраический критерий устойчивости Вы знаете и в чём егосущность?4.
Как исследуется устойчивость систем автоматического регулированияпрямым методом А.М. Ляпунова?5. По какой передаточной функции исследуется система на устойчивость,используя критерий Михайлова?6. В чём суть критерия Найквиста?7. Как определить запасы устойчивости системы по логарифмическим характеристикам?117Раздел 7. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ7.1.
Понятия качества регулированияУстойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособности системы автоматического регулирования.Неустойчивая система неработоспособна, поэтому нет смысла анализировать качество её работы.Устойчивость означает, что переходные (собственные) составляющие процессов (движений) затухают. Но за какое время затухают, скакой точностью воспроизводится входной сигнал, каковы величиныошибок, вызванных возмущением? Все эти стороны работоспособности системы обобщены в понятиях качества процессов регулирования.Максимальное значение выходной величины при переходномпроцессе, вид этого процесса и время, за которое выходная величинадостигает заданного значения, называются показателями качестварегулирования.
Для прямой оценки качества системы используюткривую переходного процесса Y (t ) в размерном виде или h(t ) в безразмерном виде.Если к системе, показанной на рис. 7.1, прикладывается типовоевнешнее воздействие (ступенчатое, импульсное, линейное, гармоническое или любое другое), то в системе возникает переходный процесс, при котором выходная величина изменяется во времени.Рис. 7.1. Структурная схема системыКачество регулирования, т.е. реакцию системы на входные воздействия, проверяют отдельно для задающего X (t ) и возмущающегоR(t ) воздействий, при этом одно из них приравнивается к нулю. Качество легко определить, если построить график процесса регулирова-118ния, по которому можно найти величину показателей качества: статическую ошибку, динамическую ошибку, время регулирования, склонность системы к колебаниям.Например, при ступенчатом входном воздействии X (t ) = 1(t )(рис.
7.2) можно наблюдать три вида переходных процессов, показанных на рис. 7.3, при этом возмущающее воздействие считается отсутствующим. Колебательный переходный процесс обозначен цифрой:1, 2 – монотонный, 3 – апериодический.Рис. 7.2. Ступенчатое входное воздействиеРис. 7.3. Возможный переходный процесспри ступенчатом входном воздействииВыходная величина при переходном процессе стремится к установившемуся значению.
Продолжительность процесса определяетсядо того момента времени, при котором Y больше не выходит из допустимой зоны. Обычно это ( ±2...5%)Yуст от установившегося значения. Отклонения меньше 5% обычно считаются вполне допустимыми.119Быстродействие системы оценивается временем переходного процесса tпер (рис. 7.4). Может интересовать и время, за котороерегулируемая величина возрастает максимально Tм, или время Tс, когда Y первый раз достигает установившегося Yуст значения, называемого временем срабатывания системы, период колебаний – Tк. Быстродействие системы оценивается временем переходного процесса. Время регулирования, или время переходного процесса tпер, – это отрезоквремени с момента начала возмущающего воздействия на замкнутуюсистему автоматического управления до момента времени, при котором регулируемый параметр от конечного состояния равновесия становится равным или меньше ±5% от установившегося значения.Рис.
7.4. График переходного процессаСтатическая ошибка Δстат – это разность величин регулируемогопараметра в исходном и конечном (после окончания процесса регулирования) состояниях равновесия системы. Динамическая ошибка –Δдин показывает, насколько регулируемый параметр в процессе регулирования превышает установившееся значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
