trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Вещественная часть полинома A(ω) = K − ω2 (Tв + Tм ) мнимая часть B(ω) = ω − ω3TвTм. Примерныйвид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 6.14.Рис. 6.14. Вид кривой Михайлова для систем третьего порядкаНайдем условие устойчивости из требований чередования корней. Пусть будет: 0 = ω1 < ω 2 < ω 3 . Тогда при ω1 = 0 подставим в выражения A(ω) и B(ω) вместо ω ноль и получим: A(ω) = K ; B(ω) = 0. Следующую частоту ω 2 найдем из условия A ( ω 2 ) = 0, при подстановкеполучаем 0 = K − ω22 (Tв + Tм ), откудаω2 =K.Tв + Tмω3 найдем из условия B ( ω 3 ) = 0;0 = ω3 − ω33TвTм или 0 = 1 − ω32TвTм.Решая квадратное уравнение, определяем ω3.ω32 =11, откуда ω3 =.TвTмTвTмПодставляя полученные значения частот в неравенство ω2 < ω3,T + TмK1<, значит, при выполнении поили K < вполучаемTв + Tм TвTмTвTмследнего неравенства система будет устойчивой.1006.5.
Критерий НайквистаКритерий, предложенный в 1932 году американским ученымГарри Найквистом, позволяет судить о замкнутой системе по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.Гарри Найквист (1889 – 1976 гг.)Следует отметить, что разомкнутая система практическогосмысла не имеет. Разомкнутая связь между объектом и регуляторомнарушает взаимодействие элементов системы, и объект становитсянеуправляемым. Однако в теории автоматического управления разомкнутая система используется часто, потому что у разомкнутой системы легко строятся логарифмические частотные характеристики, покоторым можно приблизительно судить об устойчивости системы.Предположим, что замкнутая отрицательной единичной обратной связью система, структурная схема которой показана на рис.
6.15,находится на границе устойчивости.Рис. 6.15. Структурная схема замкнутой системыПередаточная функция замкнутой системы имеет видW (S )Φ(S ) =.1 + W (S )101Обозначим знаменатель передаточной функции замкнутойсистемы D(S ) = 1 + W (S ) или в частотном виде D( j ω) = 1 + W ( j ω).Система находится на границе устойчивости при наличии нулевого корня, т.е. D( jω) = 0, когда W ( jω) = −1. Критическая точка (−1, 0)соответствует случаю W ( jω) = −1 или A(ω) ⋅ e j ϕ( ω) = −1, что имеет место при ϕ(ω) = −180°. Подставив в выражение амплитудно-частотнойхарактеристики значение ϕ(ω), получимA(ω) = 1⋅ e − j ⋅180° = 1⋅ [cos180° − j ⋅ sin180°] = 1⋅ 1.Физически это означает, что амплитуда входного и выходногосигналов одинакова, т.е.
Авх = Авых илиA(ω) =Авых (ω)= 1.Авх (ω)Замкнутая система устойчива, если устойчива разомкнутаясистема, и ее амплитудно-фазовая частотная характеристика приизменении ω от 0 до +∞ не охватывает точку с координатами −1, j0.Строим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы по выражению:K ( bmS m + ... + b1S 1 + b0S 0 )Wр (S ) =.anS n + ... + a1S 1 + a0S 0Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точкус координатами [ −1; j 0], как показано на рис. 6.16, система находитсяна границе устойчивости. Когда АФХ охватывает точку с координатами[−1; j 0] (рис.
6.17), то разомкнутая система неустойчива.Рис. 6.16. График амплитудно-фазовой частотной характеристикиразомкнутой системы, находящейся на границе устойчивости102Рис. 6.17. График амплитудно-фазовой частотной характеристикиразомкнутой неустойчивой системыВид АФХ для устойчивых систем показан на рис. 6.18, а и условно устойчивых – на рис. 6.18, б.абРис.
6.18. Графики АФХ для устойчивых систем: а – устойчивая система;б – условно устойчивая системаПри определении устойчивости достаточно строить амплитуднофазовую характеристику только для положительных частот, так какветвь с отрицательными частотами получается зеркальным отображением относительно вещественной оси (рис. 6.19).Вид рассмотренных кривых характерен для статических систем.Статическими системами называют системы, у которых амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых систем не содержатинтегрирующих звеньев, т.е. в знаменателе передаточной функциинет множителя S103K ( bmS m + ... + b1S 1 + b0S 0 )W (S ) =.anS n + ... + a1S 1 + a0S 0Если передаточная функция разомкнутой системы содержит интегрирующие звенья, то системы астатическая.K ( bmS m + ⋅ ⋅ ⋅ + b1S 1 + b0S 0 )Астатизм первого порядка W (S ) =.S (anS n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1S 1 + a0S 0 )K ( bmS m + ... + b1S 1 + b0S 0 )Астатизм второго порядка W (S ) = 2.S (anS n + ...
+ a1S 1 + a0S 0 )Рис. 6.19. Графики АФХ для положительных и отрицательных частотЕсли разомкнутая система является астатической, т.е. содержит одно или несколько интегрирующих звеньев с передаточной1функцией W (S ) = , то при ω = 0 ветви ее амплитудно-фазовой хаSрактеристики уходят вдоль мнимой оси в бесконечность. Тогда ихнадо дополнить дугами окружности бесконечно большого диаметра,как показано на рис. 6.20.Амплитудно-фазовые характеристики астатических систем приω = 0 уходят в бесконечность, так как у амплитудно-фазовой функции1WР ( jω) имеется множитель, где r – порядок астатизма.
При r = 1( jω)rхарактеристика WР ( jω) уходит в бесконечность вдоль отрицательноймнимой полуоси, при r = 2 – характеристика WР ( jω) уходит в беско-104нечность вдоль отрицательной действительной полуоси, при r = 3 –характеристика WР ( jω) уходит в бесконечность вдоль положительноймнимой полуоси (рис. 6.21).Рис. 6.20.
График АФХ астатической устойчивой системыРис. 6.21. Графики АФХ астатических систем с разным порядком астатизма105Если соединить мысленно находящееся в бесконечности началоамплитудно-фазовой характеристики астатической системы с положительной действительной полуосью, с дугой бесконечно большого радиуса, то в случае устойчивости системы точка (−1, 0) не должна охватываться АФХ, как показано на рис.
6.21.У неустойчивых систем АФХ охватывает точку с координатами(−1, 0) (рис. 6.22).Рис. 6.22. Графики АФХ неустойчивых системс разным порядком астатизма6.6. Запасы устойчивости по критерию НайквистаПо критерию Найквиста можно определить запасы устойчивости.Запасы устойчивости определяются по передаточной функции разомкнутой системы Wр ( j ω) = A(ω) + jB(ω) (рис. 6.23).Чем больше величина запасов, тем устойчивее система автоматического управления. Рекомендуемые значения запасов – по амплитуде Aз = 6…8 дБ и по фазе ϕз = 30°...40°.
Для определения Aз надо,чтобы B(ω) = 0, найти ω1 и подставить ее в выражение A(ω1). ТогдаAз = 1 − A2 (ω) + B 2 ( ω) = 1 − A( ω1 ).106Рис. 6.23. Определение запасов устойчивости по АФХДля определения запаса устойчивости по фазе надо снять с графика значение B(ωc ) и A(ωc ) в точке пересечения годографа с кругом, радиус которого равен 1. Тогда ϕз = −π + ϕ(ωc ), где ϕ(ωс ) = arctgB(ωс ).A(ωс )6.7. Влияние некоторых характеристик на устойчивость систем1. Общий коэффициент усиления K системы (рис.
6.24):KWР (S ) =.D (S )С увеличением K запасы устойчивости Aз и ϕз уменьшаются, ноточность отработки программы увеличивается (рис. 6.24).Рис. 6.24. Графики АФХ для систем с разным коэффициентом усиления1072. Влияние астатизма. Если система содержит интегрирующие1звенья W (S ) = r , то система астатическая r порядка, где r – порядокSастатизма.πПри r = 1 – астатизм 1-го порядка ϕ(ω) = − .2При r = 2 – астатизм 2-го порядка ϕ(ω) = −π.3При r = 3 – астатизм 3-го порядка ϕ(ω) = − π.2Астатизм системы уменьшает запасы устойчивости.
При астатизме второго порядка система становится устойчивой, но точностьпри этом возрастает.6.8. Определение устойчивостипо логарифмическим характеристикамДля определения устойчивости по критерию Найквиста можностроить не амплитудно-фазовую частотную характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику и логарифмическую фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.Замкнутая система по критерию Найквиста устойчива, так какАФЧХ разомкнутого контура не охватывает точку −1. На логарифмических частотных характеристиках разомкнутой системы это проявляется тем, что фазовая характеристика не достигает значения −π причастоте, при которой L(ω) = 0, т.е. пересекает ось ЛАХ; эту частоту называют частотой среза ωс (рис.
6.25).Угол, на который фазовая характеристика не доходит до значения −π, определяет запас устойчивости по фазе.Запас устойчивости по амплитуде проверяют при частоте перехода фазы, т.е. когда фаза пересекает −π. При увеличении коэффициента усиления запасы уменьшаются, и система может стать неустойчивой (рис. 6.28).Ось ω в ЛАХ L(ω) является границей устойчивости по амплитуде.Прямая −π является границей устойчивости по фазе.На рис. 6.26 показаны АФЧХ системы стабилизации угла наклона таранжа самолета.108Рис. 6.25. Графики логарифмических амплитудно-частотныхи фазочастотных характеристикРис. 6.26. АФЧХ системы угла наклона самолётаЛогарифмическая характеристика системы угла наклона самолёта имеет три частоты среза (рис. 6.27). Устойчивость определяетсяпо отношению к последней частоте среза ωс3, остальные приходятсяна участок фазовой характеристики с большим запасом по фазе.109Рис. 6.27. Графики ЛАХ с несколькими частотами среза6.9. Области устойчивости систем автоматического управленияЧасто проектировщика интересует влияние какого-то одного илинескольких параметров на устойчивость системы.
Для этого имеютсяспециальные методы. Эти методы основаны на анализе перемещениякорней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости при изменении интересующего параметра.Определение и построение областей устойчивостисистемыПри проектировании системы, если задан диапазон какого-токонкретного параметра, то изменяя его, можно определить, где система будет оставаться устойчивой, что позволит оптимально подобратьэтот параметр.Впервые область устойчивости системы прямого действия вплоскости двух коэффициентов характеристического уравнения былапостроена русским ученым И.А. Вышнеградским в 1876 году для урав-нения 3-го порядка a3S 3 + a2S 2 + a1S1 + a0 = 0.110Иван Алексеевич Вышнеградсткий (1831–1895 гг.)Вышнеградский предложил представить это уравнение в виде:aaaaz 3 + Az 2 + Bz + 1 = 0, т.е.
3 S 3 + 2 S 2 + 1 S1 + 0 S 0 = 0.a0a0a0a0При этом Вышнеградский вводит новую переменную: z = S ⋅ 3a3,a0тогда определяются коэффициенты A и B. Покажем подробно, как этосделано:a23 ⋅ a32a32a32a32a2 2a23a2222233333=S ⋅⋅ 1 2 =S ⋅⋅=S ⋅⋅ A.S =S ⋅a0a03 ⋅ a32a02a0 ⋅ a3a02 3 a0 ⋅ a32a02Таким образом, A =a2323a0 ⋅ aи B=a1320a ⋅ a3, затем вместо z под-ставим z = j ω в исходное уравнение− j ω3 + Aω2 ( −1) + Bj ω + 1 = 0.Сгруппируем вещественную и мнимую частиA( −ω2 ) + j (Bω − ω3 ) + 1 = 0.Представим последнее уравнение в виде двух уравнений, приэтом вначале приравняем к нулю мнимую часть, а потом приравняем кнулю вещественную часть:A( −ω2 ) + B ⋅ 0 + 1 = 0, где j ⋅ (Bω − ω3 ) = 0 иA ⋅ 0 + Bω − ω3 = 0, где A( −ω2 ) + 1 = 0.111Из первого уравнения определяем коэффициентA → A( −ω2 ) + B ⋅ 0 + 1 = 0.Упростив последнее выражение, получим −ω2 ⋅ A + 1 = 0 или11 = A ⋅ ω2 , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
