trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 11
Текст из файла (страница 11)
6.7.Все реальные системы нелинейные, если учитывать силы трения, силы инерции и т.д. Ляпунов вывел ряд теорем, но все они об устойчивости «в малом».Рис. 6.7. Графики переходных процессов при чисто мнимых корняххарактеристического уравненияПри этом не сказано, что считать малым воздействием. Есливозможно нелинейную систему линеаризовать или считать, что не-91линейные звенья не оказывают существенного влияния, то при определении устойчивости систем допускается пользоваться теоремамиЛяпунова и критериями устойчивости, основанными на виде передаточных функций.1 теорема Ляпунова. Линейная, или линеаризованная, системаустойчива, если все вещественные корни ее характеристическогоуравнения отрицательны, а комплексные – имеют отрицательную вещественную часть.2 теорема Ляпунова. Система, у которой хотя бы один из корней характеристического уравнения или пара комплексных сопряженных корней окажутся правее мнимой оси – неустойчива.Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости (рис.
6.8). Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежалислева от мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения системы. Мнимая ось представляет собой граничную линию вплоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения.
Вся левая полуплоскость представляет собойобласть устойчивости. Граница перехода является границей устойчивости системы.Рис. 6.8. Плоскость корней характеристического уравненияСистема находится на границе устойчивости при наличии:1) нулевого корня;2) пары чисто мнимых корней;3) бесконечного корня – вещественный корень может попасть излевой полуплоскости в правую полуплоскость, проходя через бесконечность. Этот случай встречается редко, но возможен.926.2. Критерии устойчивостиЕсли корни характеристического уравнения известны, то вопрос, устойчива система или нет, решен. Сейчас с помощью программ на компьютере найти корни характеристического уравнения непредставляет трудности.
Но отрицательная часть корней скажетлишь о том, устойчива система или нет. Если система неустойчива,то на вопрос, в каком направлении двигаться, в каких соотношенияхнеобходимо изменить параметры, чтобы добиться устойчивости системы, мы не получим ответ.Совсем недавно решить уравнение третьей степени было достаточно сложно, не говоря уже о более высоких степенях.
Поэтому возникла необходимость судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристических уравнений или по коэффициентам передаточных функций.Для того чтобы обойти вопрос о корнях уравнений при исследовании системы, в управлении техническими системами разработаныкритерии устойчивости.Ценность критериев не только в возможности, не находя корней,судить об устойчивости системы, но и в возможности выяснить сравнительно просто причину неустойчивости. Зная корни, трудно установить, какой элемент, какой параметр системы нужно изменить и в какую сторону, чтобы система стала устойчивой.
Использование критериев устойчивости это позволяет.Существует три основных критерия устойчивости:1) алгебраический критерий Рауса-Гурвица;2) графический критерий Михайлова;3) частотные критерии Найквиста.Рассмотрим эти критерии без доказательств.6.3. Критерий ГурвицаАлгебраические критерии устойчивости позволяют находить соотношения между коэффициентами характеристического уравнения,составленного из коэффициентов знаменателя передаточной функциизамкнутой системы. Если характеристическое уравнение имеет вид93an ⋅ S n + " + a3 ⋅ S 3 + a2 ⋅ S 2 + a1 ⋅ S1 + a0 ⋅ S 0 = 0,то его корни будут расположены на комплексной плоскости слева отмнимой оси при определенном соотношении коэффициентов.Алгебраические критерии были предложены в 1875 году Раусом,а в 1895 году – Гурвицем. Критерий Рауса дан в форме алгоритма,определяющего последовательность математических операций; использование его в практике неудобно.
В технике большее распространение получил критерий Гурвица.Адольф Гурвиц (1859–1919 гг.)Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобыопределители системы Δn; Δn–1; … Δ1 и коэффициент an характеристического уравнения замкнутой системы были бы положительны.Определители Гурвица составляют из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы.an −1 an00...an −3 an −2 an −1 an...Δn =an −5an −4an −3an −7an −6an −5..00.0an −2 ...an −4 .......0.... a0Таким образом, устойчивость по критерию Гурвица сводится квыполнению неравенств an > 0; Δ 1 > 0; Δ 2 > 0; ... Δ n > 0.Рассмотрим пример, в котором математическая модель описывается уравнениями второго порядка.
Характеристическое уравнение94имеет вид a2 ⋅ S 2 + a1 ⋅ S1 + a0 ⋅ S 0 = 0. Коэффициенты уравнения больше нуля, т.е. при n = 2 a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0. Определитель Гурвица будет иметь вид:Δ2 =a1 a2= a1 ⋅ a0 − 0 ⋅ a2 > 0.0 a0Для характеристического уравнения третьего порядка при n = 3должны выполняться неравенства:a0 > 0; a1 > 0; a 2 > 0; a3 > 0; a1 ⋅ a2 − a0 ⋅ a3 > 0.Определитель Гурвица третьего порядка будет иметь вид:a2 a3 0Δ 3 = a0 a1 a2 = a2 ⋅ a1 ⋅ a0 + a0 ⋅ 0 ⋅ 0 + a3 ⋅ a2 ⋅ 0 −0 0 a0− 0 ⋅ a1 ⋅ 0 − 0 ⋅ a2 ⋅ a2 − a0 ⋅ a3 ⋅ a0 == a2 ⋅ a1 ⋅ a0 − a0 ⋅ a3 ⋅ a0 = a0 ⋅ ( a2 ⋅ a1 − a0 ⋅ a3 ).Составим определитель Гурвица для уравнений четвертогопорядкаa3 a4 0 0a a2 a3 a4Δ4 = 1.0 a0 a1 a2000a0Пример.
Имеем передаточную функцию замкнутой системыKW (S ) = 2.3T2 ⋅ T1 ⋅ S + 2 ⋅ T1 ⋅ ξ ⋅ T2 ⋅ S 2 + T1 ⋅ S + KХарактеристическое уравнение замкнутой системы – это знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравненный кнулю, т.е.T22 ⋅ T1 ⋅ S 3 + 2 ⋅ T1 ⋅ ξ ⋅ T2 ⋅ S 2 + T1 ⋅ S + K = 0,где a3 = T22T1S 3 , a2 = 2T1ξT2S 2, a1 = T1S , a0 = K .По критерию устойчивости Гурвица для систем третьего порядканеобходимо и достаточно, чтобы a2 ⋅ a1 − a0 ⋅ a3 > 0 при a0 > 0; a1 > 0;a2 > 0; a3 > 0. Подставив в это выражение наши коэффициенты, полу-чаем: 2 ⋅ T1 ⋅ ξ ⋅ T2 ⋅ T1 > K ⋅ T22 ⋅ T1 или 2 ⋅ T1 ⋅ ξ > K ⋅ T2 , значит, при такомсоотношении коэффициентов система будет устойчивой.956.4. Критерий устойчивости МихайловаГрафический критерий устойчивостиВо Всесоюзном электротехническом институте в 1938 году было предложено использовать частотные методы для исследованиярабочих процессов в системах автоматического регулирования.
Михайлов А.В. в 1938 г. предложил критерий устойчивости, который потом назвали его именем.Михайлов предложил подставить в полином характеристического уравнения замкнутой системы чисто мнимое значение S = j ω. Име-ется характеристический полином замкнутой системыD(S ) = an ⋅ S n + ... + a2 ⋅ S 2 + a1 ⋅ S1 + a0 ⋅ S 0 .Получим частотный характеристический полиномD( j ω) = an ⋅ ( j ω)n + ... + a2 ⋅ ω2 j 2 + a1 ⋅ ωj + a0 .Разделим его на вещественную и мнимую частиD( j ω) = A(ω) + jB(ω),где вещественная часть будет содержать четные степени ωA(ω) = an ωn − an −2ω2 + a0 ,а мнимая часть – нечетные степени ωB(ω) = an−1ωn−1 − an−3ω3 + a1ω.Если все коэффициенты известны, то задавая значение от нуля до бесконечности можно на комплексной плоскости построить модуль знаменателя передаточной функции D(jω):D( j ω) = |D( j ω)| = A2 (ω) + B 2 (ω).Конец вектора будет описывать кривую (годограф), она называется кривой Михайлова, показанной на рис.
6.9.Между знаками корней характеристического уравнения и кривойМихайлова имеется взаимосвязь.Запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей D (S ) = an (S − S n )...(S − S 2 )(S − S1 ), где S n , S1, S 2 – корнихарактеристического уравнения.Характеристический вектор можно представить в виде:D ( j ω ) = an ( j ω − S n ).. .( j ω − S 2 )( j ω − S1 ).96Рис. 6.9. График кривой МихайловаКаждая скобка представляет собой комплексное число; характеристический вектор D(jω) – это произведение n комплексных чисел.При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Результирующий угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от нулядо бесконечности будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей, т.е.
Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 + ... + Ψ n .Каждое слагаемое поворачивает кривую Михайлова на 90°, т.е.на один квадрант. Значит, сколько скобок (сомножителей) в характеристическом полиноме, столько квадрантов должна пройти криваяМихайлова.Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобыгодограф вектора D(jω) полинома характеристического уравнениязамкнутой системы при изменении ω от нуля до бесконечности начинался на положительной оси и в направлении против часовойстрелки последовательно проходил n квадрантов комплекснойплоскости.Кривая Михайлова всегда имеет для устойчивых систем спиралевидную форму с концом, уходящим в бесконечность.На рис. 6.10 показан график неустойчивой систем; кривая Михайлова из 1 квадранта, минуя 2 и 3 квадранты, сразу переходит в4 квадрант.97Рис.
6.10. График кривой Михайлова неустойчивой системы третьего порядкаГрафики кривых Михайлова для устойчивых систем показаны нарис. 6.11, где n – старшая степень полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы.Рис. 6.11. Графики кривых Михайлова для устойчивых системНахождение системы на границе устойчивости может бытьпредставлено согласно критерию Михайлова следующим образом:1) нулевой корень, отсутствует свободный член характеристического уравнения a0 = 0, кривая выходит из начала координат (рис. 6.12);2) колебательная граница устойчивости характеристического полинома обращается в ноль при подстановке S = jωD ( j ω ) = A ( ω 0 ) + jB ( ω 0 ),где A( ω0 ) = 0 и B ( ω 0 ) = 0 , где ω 0 – частота незатухающих колебаний(рис. 6.13).98Рис.
6.12. Вид кривой Михайлова у системы,находящейся на границе устойчивостиРис. 6.13. Кривая Михайлова проходит через «0»,когда система находится на границе устойчивостиПример. По заданному характеристическому полиному замкнутой системы определить необходимое соотношение постоянных коэффициентов, при котором система будет находиться в состоянии устойчивостиD(S ) = TуTмS 3 + (Tу + Tм )S 2 + S + K.Решение: преобразуем заданный полином в частотныйD( j ω) = K + j ω − ω2 (Tв + Tм ) − j ω3TвTм,99здесь j = −1, j 2ω2 = −1ω2, j 3ω3 = − j ω3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
