trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Каковы выходной сигнал и передаточная функция системы с последовательным соединением звеньев?3. Как образуется передаточная функция цепи параллельно соединенныхзвеньев?4. Как получить передаточные функции цепи с параллельно-встречным соединением звеньев при отрицательной и положительной обратной связи?5. Как вывести уравнение передаточной функции системы автоматическогоуправления со сложным соединением звеньев?6. Что такое структурная схема?7. Как из математической модели получить структурную схему?8. Какие виды передаточных функций обратной связи Вы знаете?9. Как получить передаточную функция разомкнутой системы, если в цепиобратной связи имеется звено?10.
Приведите пример структурной схемы по ошибке управления и по ошибке возмущающего воздействия.85Раздел 6. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ6.1. Необходимые и достаточные условия устойчивостиЛюбая система автоматического управления характеризуетсяпереходным процессом, который возникает в ней при нарушении состояния равновесия вследствие какого-либо воздействия. Обеспечение устойчивости является одной из основных задач, решаемых присоздании систем автоматического регулирования.Понятие устойчивости определяется способностью системысохранять заданные состояния равновесия или заданные (эталонные) виды движения.Наиболее общая постановка задачи устойчивости систем быладана в 1892 году Александром Михайловичем Ляпуновым.Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918 гг.)Физическую трактовку понятия устойчивости можно пояснитьследующим примером:1.
Если шар помещён в верхнюю точку возвышенности, то система неустойчива, поскольку при малейшем отклонении шара от начального положения он скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение (рис. 6.1, а).2. Если шар помещён во впадине, то система устойчива, поскольку шар обязательно возвратится к первоначальному положению(рис. 6.1, б).86В обеих ситуациях устойчивость системы не зависит от величины начального отклонения шара, т.е. от входного воздействия.3. Возможен случай, когда при «малом» отклонении система будет устойчивой, а при «большом» отклонении – неустойчивой. Этопроисходит тогда, когда шар находится во впадине, расположенной навершине выпуклой поверхности (рис. 6.1, в). Такую систему принятосчитать устойчивой «в малом» и неустойчивой «в большом».Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линейной,или линеаризованной, системы автоматического регулирования, записанной для регулируемой величины y(t) при наличии управляющего воздействия x(t) и возмущающего воздействия R(t), показанной на рис.
6.2.абвРис. 6.1. Популярное представление устойчивости: а – система неустойчивапри любом воздействии; б – система устойчива при любом воздействии;в – система устойчива «в малом» и неустойчива «в большом»Рис. 6.2. Структурная схема системы с управляющими возмущающим воздействиемДифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид:[anS n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1S1 + a0S 0 ]y (S ) == [bmS m + ⋅ ⋅ ⋅ + b1S1 + b0S 0 ] x (S ) + [ zk S k + ⋅ ⋅ ⋅ + z0S 0 ]R (S ),где a, b, z – коэффициенты, представляющие собой постоянные веd– операторличины, определяемые параметрами системы; S ≡dtЛапласа, символ дифференцирования; n, k, m – старшие степениполиномов.87Характер переходных процессов в системе определяется видомлевой части дифференциального уравнения, являющейся знаменателем передаточной функции. Для определения качественной оценкипереходных процессов безразлично записано уравнение для управляющего или возмущающего воздействия.
Полином знаменателя передаточной функции, приравненный к нулю, называется характеристическим уравнением.Передаточная функция для системы, показанной на рис. 6.2, поуправляющему воздействию:y (S ) bmS m + ⋅ ⋅ ⋅ + b1S 1 + b0S 0, при R (S ) = 0.W x (S ) ==x (S ) anS n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1S 1 + a0S 0Передаточная функция по возмущающему воздействию:y (S ) zk S k + ⋅ ⋅ ⋅ + z1S 1 + z0S 0, при x(S ) = 0.W R (S ) ==R (S ) anS n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1S 1 + a0S 0Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений y ( t ) = y c ( t ) + y в ( t ), гдеy c ( t ) – переходная составляющая или составляющая свободных(собственных) движений системы; y в ( t ) – составляющая вынужденного движения, того, что мы задаём.Чтобы система могла воспроизводить входной сигнал x(t) илиR(t), переходная составляющая должна стремиться к нулю или затухать lim y c (t ) = 0.t →0Система будет называться устойчивой, если в течение временипри t → 0 переходная составляющая будет стремиться к нулю.
Для того чтобы найти эту составляющую, надо решить дифференциальноеуравнение (знаменатель передаточной функции приравненной к нулю):d nydyan n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1+ a0 y = 0.dtdtОбщее решение этого уравнения будет в виде y c (t ) = CeSt , здесьS – корни характеристического уравнения. Корней может быть n; переходная составляющая может быть записана в видеy c (t ) = C1eS1t + C2eS2t + ⋅ ⋅ ⋅ + CneSnt ,где S1,2,3,...n – корни характеристического уравнения, C – постоянныеинтегрирования, определяемые из начальных условий.
Дифференциальное уравнение, записанное в изображениях Лапласа, имеет вид:88anS n + ⋅ ⋅ ⋅ + a1S1 + a0S 0 = 0,где S1...n – корни этого уравнения, которые могут быть вещественными, комплексными, мнимыми. Рассмотрим все варианты.Вещественный корень. Пусть один из корней характеристического уравнения будет вещественный. Если корень отрицательный(S = −α), то слагаемое, определяемое этим корнем, представляетэкспоненту, которая при t → 0 затухает (рис. 6.3).При положительном вещественном корне S = +α получается не затухающий, а расходящийся процесс.
Подтвердим сказанное примером.Положительный вещественный корень C1e1 = C1 ⋅ 2,71; C1e2 = C1 ⋅ 7,4 –значение экспоненты возрастает. Отрицательный вещественный кореньC1e0 = C1;C1e −1 = C1 ⋅ 0.36;C1e−2 = C1 ⋅ 0.13 – значение экспонентыуменьшается и приближается к нулю.Рис. 6.3. График зависимости экспоненциальных зависимостейпри положительном и отрицательном корнях характеристического уравненияЕсли среди вещественных отрицательных корней есть один вещественный положительный корень S ⋅ k = +α ⋅ k, то соответствующееслагаемое A ⋅ K exp(+α ⋅ k ⋅ t ) при t → ∞ будет беспредельно увеличиваться. Поэтому, хотя все слагаемые, кроме одного, будут затухать,процесс будет расходящимся, неустойчивым.Переходная составляющая будет затухать только в том случае,если будут затухать каждая из экспоненциальных составляющих в отдельности.Комплексные корни бывают попарно сопряжёнными. При отрицательной вещественной части два корня, например S1 и S2, будут иметь вид S1,2 = −α ± j β, переходный процесс имеет вид, показанный на рис.
6.4.89Слагаемые, определяемые этими корнями, представляют в видеC1e −( α+ jβ )t + C2e −( −α− jβ )t = Ae −αt ⋅ sin(βt + Ψ ), где A и Ψ – новые постоянные интегрирования, полученные в результате преобразований слагаемых с помощью формул Эйлера:e jβt = cos β t + j sin β t ; e − jβt = cos βt − j sin βt .Рис. 6.4.
График переходного процесса при отрицательной вещественнойчасти характеристического уравненияСумма слагаемых, соответствующая комплексным корням,представляет собой составляющую в виде гармонической функции сугловой частотой β амплитудой Ae − α t .Параметр α является показателем затухания огибающей кривойпереходного процесса. При положительной вещественной части колебания будут не затухать, а расходиться.
На рис. 6.5 показан переходный процесс при отрицательной вещественной части комплексных корней. Если вещественная часть корней характеристического уравненияположительная, то переходный процесс – расходящийся (рис. 6.6).Рис. 6.5. График переходного процесса при отрицательных вещественныхчастях корней характеристического уравнения90Рис. 6.6. График переходного процесса при положительных вещественныхчастях корней характеристического уравненияЧисто мнимые корни. Слагаемое, определяемое этими корнями, будет представлять собой незатухающие колебания. Чистомнимые корни имеют вид S1 = + j β и S 2 = − j β, тогда слагаемые с чисто мнимыми корнями будут:C1e jβt + C2e − jβt = A ⋅ sin(βt + Ψ ).Переходный процесс при чисто мнимых корнях показан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
