trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 5
Текст из файла (страница 5)
3.11.Комплексную функцию (a ⋅ e j ωt ) по формуле Эйлера можнопредставить в видеa ⋅ e j ωt = a ⋅ cos ωt + j ⋅ a ⋅ sin ωt .Из этой формулы видно, что (a ⋅ cos ωt ) и ( j ⋅ a ⋅ sin ωt ) являютсясоответственно вещественной Re(a ⋅ e j ωt ) и мнимой Im(a ⋅ e j ωt ) частями комплексной функции (a ⋅ e j ωt ). Поэтому, задавая входное воздействие комплексной функцией x = Ax ⋅ e j ωt , ко входу системы приложена сумма двух гармонических воздействий (косинусного и синусного).
При этом в соответствии с принципом суперпозиции, применимым к линейным системам, выходная величина есть такжесумма двух гармонических сигналов, отличающихся от входных сигналов амплитудой и фазой.34В комплексной форме закон изменения выходной величины дляэтого случая имеет вид y в = Ay ⋅ e j ⋅( ωt +ϕ ).Рис. 3.11. Представление гармонического сигнала в комплексной формеДинамические свойства системы проявляются в изменении амплитуды Ay выходной величины и в сдвиге по фазе ϕ между этими величинами в зависимости от частоты ω.
Эти зависимости можно найтии не выделяя синусную и косинусную составляющие входной и вы1ходной величин. Здесь ω = , где T – период колебаний на входе.TРассмотрим пример для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена. Возьмём дифференциальное уравнение звена35d 2ydy⎛ dy⎞(3.2)+ T1+ y = K ⋅ ⎜T+ x ⎟.T2dtdt⎝ dt⎠Входной и выходной сигналы записаны в виде дифференциального уравнения. Преобразовав по Лапласу дифференциальное уравнение, получим передаточную функцию звена:y (S )K ⋅ (TS + 1)W (S ) == 2 2.x (S ) T2 ⋅ S + T1 ⋅ S + 122Входной сигал «x» является гармоническим, поэтому можно записатьx = Ax ⋅ sin ω t ;y = Ay ⋅ sin(ωt − ϕ);или в показательнойформеx = a ⋅ e j ωt ;y = b ⋅ e j ⋅( ωt −ϕ).Продифференцируем x и y во времениdy= y ′ = b ⋅ e j ⋅( ωt −ϕ) ⋅ ( j ω);dtdx = a ⋅ e j ωt ⋅ d ( j ωt );d 2y= y ′′ = b ⋅ e j ⋅( ωt −ϕ) ⋅ ( j ω)2;2dtdx= x′ = a ⋅ e j ωt ⋅ ( j ω)dtdx = a ⋅ e j ωt ⋅ j ω ⋅ dt;и, подставив в дифференциальное уравнение (3.2), получим:[T22 ( j ω)2 + T1( j ω) + 1] ⋅ b ⋅ e j ⋅( ωt −ϕ ) = K ⋅ [T ( j ω) + 1] ⋅ a ⋅ e j ωt .Частотная передаточная функция может быть представлена какотношение изображений Фурье (частотных изображений) выходной ивходной величин.y b ⋅ e j ⋅( ωt −ϕ )K ⋅ (T ( j ω) + 1)W ( j ω) = ==.xa ⋅ e j ωtT22 ( j ω)2 + T1( j ω) + 1Частотная передаточная функция легко получается из обычнойпередаточной функции подстановкой вместо S переменной (jω).H (S )H ( j ω)y ( j ω)W (S ) =; W ( j ω) =; W ( j ω) == W (S ) S = j ω .Q(S )Q( j ω)x( j ω)Функцию W ( jω) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ), или частотной передаточной функцией:H ( j ω) = A1( ω) + jB1( ω);W ( j ω) = A(ω) + jB(ω);Q ( j ω) = A2 ( ω) + jB2 ( ω);36где A1( ω) и A2 ( ω) – вещественные части; B1( ω) и B2 ( ω) – мнимые части частотной передаточной функции.Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости знаменателяпутём умножения числителя и знаменателя на комплексную величину изатем произвести разделение на вещественную и мнимую части.Пример 1.
Пусть задано дифференциальное уравнениеdyT= K ⋅ x, уравнение в изображениях Лапласа → T ⋅ S ⋅ y (S ) = K ⋅ x(S ),dty (S )K; частотная передаточная= W (S ) =передаточная функцияx(S )TSфункция W ( j ω) =W ( j ω) =K. Освобождаемся от мнимости в знаменателеT ⋅ jωK⋅jK=−⋅ j и получаем A(ω) = 0 – вещественная частьT ⋅ j ⋅ω⋅ jTωчастотной передаточной функции; B(ω) = −K– мнимая часть частотнойTωпередаточной функции.Пример 2. По заданному дифференциальному уравнению надополучить вещественную и мнимую части частотной передаточнойфункции.Если задано дифференциальное уравнение в видеdyT+ y = K ⋅ x,dtуравнение в изображениях Лапласа будет иметь вид(TS + 1) ⋅ y (S ) = K ⋅ x(S );передаточная функцияy (S )K= W (S ) =; частотная передаточнаяx(S )TS + 1функцияW ( j ω) =KK −T ⋅ jω[1 − T ⋅ j ω]K −T ⋅ ω⋅ j⋅= 2;W(jω)=,или[1 + T ⋅ j ω] [1 − T ⋅ j ω] 1 − T 2 ⋅ j 2 ⋅ ω21 + T 2 ⋅ ω2KT ⋅ω– вещественная часть; B(ω) = −–221+ T ⋅ ω1 + T 2 ⋅ ω2мнимая часть.здесь A(ω) =37Функции A(ω) и B(ω) называют соответственно вещественной имнимой частотными характеристиками.Для наглядности представления частотных свойств системы используются частотные характеристики.Амплитудно-фазовая частотная характеристикаАмплитудно-фазовую частотную характеристику можно представить годографом, прочерченным на комплексной плоскости концомрадиус-вектора при изменении частоты от «−∞» до «+∞».Обычно рассматривают амплитудно-фазовые частотные характеристики, полученные при положительных значениях частот в диапазоне от «0» до «+∞».
Длина радиус-вектора (модуль mod W ( jω) == |W ( j ω)| =AyAx) равна отношению W (ω) =AyAxамплитуд выходной ивходной величин, а угол между радиус-вектором и положительной частью вещественной оси равен сдвигу ϕ( ω) = argW ( j ω).Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы (АФЧХ)для системы третьего порядка показана на рис. 3.12.АФЧХ может быть построена как для положительных, так и дляотрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции +ω на −ω получится сопряженная комплексная величина.Рис. 3.12. Амплитудно-фазовая частотная характеристика38Построение АФЧХ по вещественной и мнимой частям частотнойпередаточной функции является трудоёмкой работой, так как умножение частотной передаточной функции на комплексную величину, сопряжённую со знаменателем, повышает в два раза степень частоты взнаменателе.Вместо АФЧХ можно построить отдельно амплитудную частотнуюхарактеристику (АЧХ) и фазовую частотную характеристику (ФЧХ).Амплитудная частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты.
Оценка пропуска делается поотношению амплитуд выходной и входной величин (рис. 3.13).W ( ω) = A2 ( ω) + B 2 ( ω).Рис. 3.13. Амплитудно-частотная характеристикаФазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги,вносимые звеном на различных частотах (рис. 3.14).B(ω).ϕ(ω) = arctgA(ω)Рис. 3.14. Фазочастотная характеристика39При фиксированной амплитуде входного сигнала изменяем частоту входного сигнала, при этом будет меняться амплитуда выходногосигнала и фазовый сдвиг между выходным и входным гармоническими сигналами.3.5. Логарифмические частотные характеристикиУдобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).
Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами истроить отдельно логарифмическую амплитудную характеристику(ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФХ).Задаём входной сигнал x = Ax ⋅ e j ωt , на выходе ожидаем сигналy = Ay ⋅ e j ⋅( ωt +ϕ ).Частотная передаточная функцияAyAxAy e j ⋅( ωt +ϕ )⋅,W ( j ω) =Axe j ωtгде= W (ω) = |W ( j ω)|, тогда частотная передаточная функция приобре-тет вид W ( j ω) = W (ω) ⋅ e j ϕ.Логарифмируя левую и правую части уравнения АФЧХ, можнозаписатьlnW ( j ω) = lnW (ω) + j ϕ(ω).Логарифмическая амплитудночастотная характеристикаЛогарифмическая фазочастотнаяхарактеристикаДля оценки отношения двух однородных величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Бел (по имениамериканского изобретателя A.
Bell) представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности: 1 Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз; 2 Бела –в 100 раз; 3 Бела – в 1000 раз.Один децибел соответствует изменению амплитуды в 20 10 раз,т.е. представляет собой сравнительно малую величину.Строго говоря, логарифмируя модуль частотной передаточнойфункции, приходим к тому, что ЛАХ может быть построена только дляфункций с безразмерной величиной, если размерность входной и вы-40ходной величин (перемещение и перемещение) одинаковая.
Еслиразмерность разная, то принимается за единицу (1 (кг·м)/град или1 В/рад или 1 сек–1). Под значением L(ω) понимается отношение модуля |W(jω)| к исходной единице.Для построения ЛАХ находится величина L( ω) = 20 lg W ( ω).Один децибел соответствует изменению амплитудAy 201 дБ⋅ 10,Axили 1 дБ = 20 ⋅ lgW ( ω), где W ( ω) ≅ 1,12 дБ, тогда 1 дБ = 0,1 Бел.По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическоммасштабе, а по оси ординат откладываются значения амплитуд ЛАХ вдецибелах в равномерном масштабе (рис. 3.15).Ось L(ω) может пересекать ось ω (ось частот) в произвольномместе.
Точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так какlg0 = −∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от неёможно было показать весь ход ЛАХ, т.е. левее самой малой сопряжённой частоты ЛАХ.Прологарифмируем выражение W ( j ω) = W (ω) ⋅ e j ϕ( ω).lnW ( j ω) = lnW (ω) + j ϕ(ω).Главное значение логарифмаПериодическую функцию мы не рассматриваемРис. 3.15. Амплитудно-частотная характеристика пропорционального звенаВзамен lnW (ω) рассматривается функция L( ω) = 20 lg W ( ω), которая показывает ЛАХ усилением или затуханием звена.41Иногда по оси частот указывается не сама частота, а её десятичный логарифм.
Единица приращения логарифма соответствуетодной декаде, т.е. удесятерению частоты. lgω – одинаковые отрезки,соответствующие 10-кратному изменению ω10 ⋅ ω1 декада = lg10ω − lg ω = lg= lg10 = 1,ωпоэтому откладывают по оси абсцисс просто ω.Достоинством логарифмических амплитудно-частотных характеристик является возможность построения их практически без вычислений.1. Строить АЧХ в логарифмических координатах понадобилось,потому что такой график позволяет строить величины в большом диапазоне при компактном изображении.2. В логарифмических координатах удобно производить умножение АЧХ W ( ω) = W1( ω) ⋅ W 2 ( ω) ⋅ W3 ( ω), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
