trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2.4, в); прямаялиния идёт от конца кривой линии (рис. 2.4, г); проводится касательная к кривой в точке линеаризации (рис. 2.4, д).Внешнее воздействие не зависит от работы автоматической системы, его изменение может быть произвольным и обычно линеаризации не подлежит.14абвгдРис. 2.4. Методы линеаризацииЛинеаризовать можно только непрерывные зависимости. Зависимости со скачком или разрывные зависимости не линеаризуются.Зависимости, показанные на рис. 2.5, нельзя линеаризовать.Рис.
2.5. Кусочно-линейные функции не линеаризуютсяОсновным недостатком линеаризации является то, что полученный результат не обязательно будет отвечать действительности.15Только эксперимент может подтвердить правильность любых теоретических расчетов.Предположим, что выходная и входная величины x и y связаныdy.нелинейным уравнением F ( x, y , t ) =dtМалые отклонения от значений точки линеаризации показаны нарис. 2.6.Рис. 2.6.
Линеаризация в окрестностях координат x0 и y0В каждый момент времени x = x0 + x'; y = y0 + y' или y − y0 = y'.Если невозмущённое состояние представлено динамическимпроцессом, то x0 и y0 могут быть функциями времени, тогдаdy dy 0 dy ′dy dy 0 dy ′=+, отсюда−=.(2.7)dtdtdtdtdtdtРазложив нелинейную функцию F(x, y, t) в ряд Тейлора в окрестностях значений x0 и y0, получим (формула взята из справочника)∂F∂F(2.8)⋅ x′ +⋅ y ′ + R ( x ′, y ′, t ),F ( x, y , t ) = F ( x 0 , y 0 , t ) +∂x x = x0∂y x = x0y =y0y = y0где R(x', y', t) – совокупность членов, содержащих отклонение x', y' встепени выше первой. При малых отклонениях ими пренебрегают.dy; подставив эту функцию вПреобразуем функцию F ( x, y , t ) =dtуравнение (2.8), получаем выражение (2.9)dy∂F∂F(2.9)= F ( x0 , y 0 , t ) +⋅ x′ +⋅ y ′.∂x x = x0∂y x = x0dty = y0y = y0При невозмущённом состоянии системы x' = 0 и y' = 0, значитdy 0= F ( x0, y 0 , t ).(2.10)dtПодставив в уравнение (2.8) уравнения (2.9) и (2.10), получаемлинейное дифференциальное уравнение:dy ′∂F∂F== F ( x0 , y 0 , t ) +⋅ x′ +⋅ y ′ − F ( x0 , y 0 , t )dt∂x x = x0∂y x = x0y = y0y =y016илиdy ′ ∂F=dt∂xx = x0y =y0⋅ x′ −∂F∂yx = x0y = y0⋅ y ′.(2.11)Пример.
Необходимо линеаризовать линейность. Расход рабочей среды (масла), протекающей через постоянный дроссель, показанна рис. 2.7.Рис. 2.7. Схема постоянного дросселяРассмотрим поведение системы вблизи точки линеаризации(рис. 2.8).Рис. 2.8. Точка линеаризации давленияНа рис. 2.8 Pко – давление перед постоянным дросселем, установившийся режим задан произвольно.Расход через постоянный дроссель выражается формулойQк =μ ⋅ fщ ⋅2⋅ Pк .ρОбозначим постоянные величины T =μ ⋅ fщ ⋅2, тогдаρQк = T ⋅ Pк .Нелинейная функция(2.12)Pк – с одной нелинейной величиной, зна-чит формула (2.8) принимает вид:F ( x, t ) = F ( x 0 , t ) +∂F∂x⋅ x ′.x = x0⎛ 1⎞Функция, которую необходимо линеаризовать, – F ⎜ Pк2 ⎟ :⎜ ⎟⎝ ⎠17⎛ 21 ⎞∂F ⎜ Pк ⎟⎜⎟⎛ 21 ⎞⎛ 21 ⎞⎝⎠F ⎜ Pк ⎟ = F ⎜ Pко ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂Pк⎝ ⎠⎠⎝⋅ Pк′.Pк =Pко⎛ 21 ⎞′ 1 − 21Здесь Pк − Pко = Pк = Pк′, ⎜ Pк ⎟ = ⋅ Pк ⋅ ∂Pк ,⎜⎟ 2⎝⎠⎛ 21 ⎞∂F ⎜ Pк ⎟⎜⎟⎝⎠∂Pк11 − ∂P1 1= ⋅ Pк 2 ⋅ к = ⋅,∂Pк 2 Pко2Pк =Pко12к12коP =P +получаем1 1⋅ (Pк − Pко ).2 Pко(2.13)Возвращаемся к формуле (2.12) и подставляем в неё линеаризованную функцию (2.13)⎡ 1 1 1⎤Qк = T ⎢Pко2 +⋅ (Pк − Pко )⎥2 Pко⎢⎣⎥⎦или12ко1T ⋅ PкоTTQк = T ⋅ P +⋅ (Pк − Pко ) = T ⋅ Pко2 −+⋅ Pк .2 Pко2 Pко 2 PкоЕсли принять расход, проходящий через дроссель Qк = X, а давление перед дросселем Pк = Y и обозначить постоянные величины заa и b, получим уравнение прямой линии X = a + bY.2.3.
Дифференциальная и операторная формы представленияматематической моделиЛинеаризованное дифференциальное уравнение при постоянных значениях коэффициентов обычно приводят к стандартному виду.Для этого все члены уравнения делят на коэффициент при выходнойвеличине и записывают:dyT+ y = K ⋅ x.dt18Постоянный коэффициент T имеет размерность времени и называется постоянной времени. Коэффициент K называется коэффициентом передачи, преобразования, или коэффициентом усиления.В общем виде линейное дифференциальное уравнение имеет вид:d nyd 2ydyd mxdxan n + ... + a2 2 + a1+ a0 ⋅ y = bm m + ... + b1+ b0 ⋅ x.dtdtdtdtdtДифференциальные уравнения можно заменить алгебраическими и записать в операторной форме или в изображениях Лапласа.Переходят к алгебраической форме записи для того, чтобы получитьуравнение, связывающее входное воздействие x c y.Пьер-Симон Лаплас (1749–1827)1 способ.
Операторная форма.Применяются символы операторов дифференцирования или интегрирования:tdd2 12S = ; S = 2 ; = ∫ dt.0dtdt SАлгебраические уравнения не должны быть выше второго порядка:dPd υ dyS ⋅P =; S⋅υ =;= S ⋅ y.dtdt dtПри операторной форме записи в дифференциальных уравнениях заменяются только символы дифференцирования.19dy+ y = K ⋅ x → T ⋅ S ⋅ y + y = K ⋅ x.dt2 способ. Алгебраизация.Применяют преобразование Лапласа, при котором вместо действительного переменного сигнала (времени) t рассматривают функцию комплексного переменного S.f(t)F(S) – оригинал соответствует изображению.Этот метод основан на использовании интеграла Лапласа.Пример. T∞Прямое преобразование Лапласа F (S ) = ∫ e −St ⋅ f (t ) ⋅ dt .0Обратное преобразование Лапласаc+ jω1f (t ) =⋅∫F (S ) ⋅ eSt ⋅ dS.c−jω2πjИзображение функции времени является некоторой комплексной величиной S = C + jω.Для большинства систем, с которыми приходится иметь дело втеории управления, C = 0.
Поэтому для этих функций S = jω, гдеj = −1, j 2 = −1.Для упрощения инженерной работы наиболее часто используемые интегралы приводятся в справочниках, некоторые из них приведены в табл. 2.Если в уравнении будут sin или cos, то преобразования по Лапласу и в операторной форме разные.Изображения производных по времени от переменных величинбудут похожи на символьное (операторное) преобразование толькопри нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия упрощают расчёты, но не всегда приемлемы.Функции-оригиналов и функции-изображений отличаются нетолько независимыми переменными, но и видом, и должны быть обозначены по-разному.
Например, прописными и строчными буквамиf(t)F(S).Но такое обозначение не всегда удобно, так как в математическом описании большое число постоянных и переменных величин, ипоэтому букв греческого и латинского алфавитов не всегда хватает.20Таблица 2Часто используемые интегралыОригиналИзображениеЛапласаПравило дифференцированияпри нулевых начальных условияхf ( n ) (t )S n ⋅ F (S )Правило интегрированияпри нулевых начальных условиях∫∫∫ ⋅ ⋅ ⋅ f (t ) ⋅ dtЕдиничная ступенчатая функция1(t) или A·1(t)Наименованиеt n ⋅ 1(t )Степенная функцияЭкспонентаe − a ⋅t ⋅ 1(t )Синусоидаsin λt ⋅ 1(t )Косинусоидаcos λt ⋅ 1(t )nF (S )Sn1AилиSSn!S n +11S+aλ2S + λ2SS + λ22В операционном исчислении доказывается ряд теорем, которыми определяются свойства преобразования Лапласа.
Познакомимсяс некоторыми из них без доказательств.1. Умножение аргумента оригинала (изображения) на некотороечисло приводит к делению аргумента изображения (оригинала) и изображения (оригинала) на это же число:1 ⎛S ⎞ 1 ⎛ t ⎞f (a ⋅ t )F (a ⋅ S ).⋅F, ⋅fa ⎜⎝ a ⎟⎠ a ⎜⎝ a ⎟⎠2. Изображение суммы конечного числа оригиналов равно суммеих изображений, если f1(t)F1(S) и f2(t)F2(S), тоF1(S) + F2(S).f1(t) + f2(t)3. Произведение оригинала на постоянную величину равно произведению изображения на эту постояннуюa·f(t)a·F(S).4.
Теорема о предельном значении приводит к условиюlim f (t ) = lim S ⋅ F (S ).t →∞S →0215. Теорема о начальном значении даётlim f (t ) = lim S ⋅ F (S ).t →0S →∞Любое дифференциальное уравнение, имеющее видd 3yd 2ydydxa3 3 + a2 2 + a1+ a0 y = b1+ b0 x,(2.14)dtdtdtdtчерез преобразования Лапласа можно превратить в алгебраическоеуравнение видаa3 ⋅ S 3 ⋅ y (S ) + a2 ⋅ S 2 ⋅ y (S ) + a1 ⋅ S1 ⋅ y (S ) + a0 ⋅ S 0 ⋅ y (S ) =(2.15)10= b1 ⋅ S ⋅ x (S ) + b0 ⋅ S ⋅ x (S ).В теории автоматического управления все временные уравнениязаписываются с помощью алгебраических, вводя переменную S. Например, имеется некая система автоматического управления: на входе сигнал управления Х, на выходе – Y (рис. 2.9).Рис.
2.9. Структурная схема системы автоматического управленияЗапишем уравнение (2.15) в стандартной форме в виде[a3 ⋅ S 3 + a2 ⋅ S 2 + a1 ⋅ S 1 + a0 ⋅ S 0 ] ⋅ y (S ) = [b1 ⋅ S 1 + b0 ⋅ S 0 ] ⋅ x (S ).Отношение изображения y(S) выходной величины к изображению x(S) входной величины, взятой при нулевых начальных условиях,называется передаточной функцией и обозначается W(S)W (S ) =b1 ⋅ S1 + b0 ⋅ S 0y (S ).=x (S ) a3 ⋅ S 3 + a2 ⋅ S 2 + a1 ⋅ S1 + a0 ⋅ S 0Пример. Вернёмся к математической модели электрогидравлической следящей системы (ЭГСС), показанной на рис. 2.1, и преобразуем её в алгебраическую форму в изображениях по Лапласу.
Преобразование приведено в табл. 3. По каждому уравнению построимструктурную схему. Затем структурные схемы отдельных звеньев соберем и получим структурную схему всей системы.Рассмотрим подробно каждое уравнение системы (табл. 3).22Таблица 3Уравненияв дифференциальной формеУравнения в изображениях Лапласа1ε = ϕвх − ϕвыхε(S ) = ϕвх (S ) − ϕвых (S )2U Σ = K чэ ⋅ εUΣ (S ) = K чэ ⋅ ε(S )3U y = K эу ⋅ U ΣU y (S ) = K эу ⋅ U Σ (S )4Tэму ⋅dUgdt+ Ug = K эму ⋅ U y5d 2γ d γTg ⋅ 2 += K g ⋅ Ugdtdt6d ϕвых= Kυ ⋅ γdtTэму ⋅ S ⋅ U g (S ) + U g (S ) = K эму ⋅ U y (S ),(Tэму ⋅ S + 1) ⋅ U g (S ) = K эму ⋅ U y (S )Tg ⋅ S 2 ⋅ γ(S ) + S ⋅ γ(S ) = K g ⋅ Ug (S ),(Tg ⋅ S 2 + S ) ⋅ γ(S ) = K g ⋅ Ug (S )S ⋅ϕвых (S ) = K υ ⋅ γ(S )Из табл.
3, первое уравнение в дифференциальной формеε = ϕвх − ϕвых . Его записываем в изображениях по Лапласуε(S ) = ϕвх (S ) − ϕвых (S );этому уравнению будет соответствовать структурная схемаВторое уравнение (табл. 3) в дифференциальной формеU Σ = K чэ ⋅ ε. Запишем это уравнение в изображениях по ЛапласуU Σ (S ) = K чэ ⋅ ε(S ). Из этого уравнения получается передаточная функ-ция – W (S ) =UΣ (S )= K чэ.ε(S )По этой передаточной функции строим структурную схему23Третье уравнение (табл. 3) в дифференциальной формеUy = Kэу ⋅ UΣ .
Запишем это уравнение в изображениях по ЛапласуUy (S ) = Kэу ⋅ UΣ (S ). Из этого уравнения записывается передаточнаяфункция – W (S ) =U y (S )UΣ (S )= K эу .По этой передаточной функции строим структурную схемуЧетвертое уравнение (табл. 3) в дифференциальной формеdUgTэму ⋅+ Ug = Kэму ⋅ U y . Запишем это уравнение в изображениях поdtЛапласу Tэму ⋅ S ⋅ Ug (S ) + Ug (S ) = Kэму ⋅ Uy (S ) или(Tэму ⋅ S + 1) ⋅ Ug (S ) = Kэму ⋅ Uy (S ).Из последнего уравнения запишем передаточную функциюK эмуU (S ).W (S ) = g=U y (S ) (Tэму ⋅ S + 1)По этой передаточной функции строим структурную схемуПятое уравнение (табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
