trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 4
Текст из файла (страница 4)
3) в дифференциальной формеd 2γ d γTg ⋅ 2 += K g ⋅ Ug .dtdtЗапишем это уравнение в изображениях по ЛапласуTg ⋅ S 2 ⋅ γ(S ) + S ⋅ γ(S ) = K g ⋅ U g (S ) или(Tg ⋅ S 2 + S ) ⋅ γ(S ) = K g ⋅ U g (S ).Из этого уравнения записывается передаточная функцияKgγ(S )W (S ) ==.Ug (S ) (Tg ⋅ S 2 + S )24По этой передаточной функции строим структурную схемуШестое уравнение (табл. 3) в дифференциальной формеd ϕвых= K υ ⋅ γ. Запишем это уравнение в изображениях по ЛапласуdtS ⋅ϕвых (S ) = K υ ⋅ γ (S ).Из этого уравнения записывается передаточная функцияϕ (S ) K υW (S ) = вых.=Sγ(S )По этой передаточной функции строим структурную схемуИз полученных структурных схем построим структурную схемув целомКонтрольные вопросы и задания по разделу 21.
В чём различие между динамическими и статическими уравнениями?2. Какие признаки нелинейности Вы знаете?3. Какие способы линеаризации кривых Вы знаете?4. Как выбрать точку линеаризации?5. Можно ли линеаризовать кусочно-линейное звено?6. Для чего переходят от дифференциальных уравнений к уравнениям в алгебраической форме?7.
Как записать дифференциальное уравнение в изображениях Лапласа?8. Запишите уравнение в дифференциальной форме по уравнению в изображениях Лапласа.25Раздел 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ3.1. Режимы работы системы автоматического управленияДинамическими характеристиками системы, структурная схемакоторой показана на рис. 3.1, называют характеристики, показывающие изменение выходных параметров во времени (рис. 3.2).
Выходные параметры связываются со входными уравнениемε(t ) = X (t ) − Y (t ) = 0, при X (t ) = const.Рис. 3.1. Схема динамической системы с замкнутой обратной связьюу(t)tРис. 3.2. Возможное изменение выходных параметров во времениДинамические характеристики зависят от воздействия. Рабочеевоздействие определяется программой регулирования. Воздействие,связанное с эксплуатацией, называется возмущающим воздействием.Динамические характеристики могут быть временные и частотные.Для того чтобы проанализировать поведение системы (рис.
3.1),оценить её динамику, надо задать начальные условия, произвестирасчёты, построить переходный процесс, посмотреть, как поведёт себя система при одних начальных условиях, затем при других начальных условиях. Это путь очень трудоёмкий.263.2. Типовые внешние воздействияДля того чтобы получить реакцию системы, показанной на рис. 3.1,необходимо задать внешнее управляющее воздействие. Современнаявычислительная техника позволяет имитировать любой сигнал на входев систему. Правильность теоретических расчетов можно подтвердитьтолько экспериментально. При этом на вход реальной системы надо подать такой же сигнал, какой подавали в теоретическом расчете.
Частоэто бывает затруднительно.Разработаны четыре типовых внешних воздействия, которыедостаточно просто реализуются на практике.1. Ступенчатое воздействие. На вход системы подается ступенька (рис. 3.3), где x(t) – входное воздействие, ε(t) – ошибка отработки входного воздействия, y(t) – выходной сигнал. Входное воздействие задается в виде xвх (t ) = A ⋅ 1(t ), где t = 0 – скачок сигнала в момент времени t, A – постоянная, 1(t) – единичная ступенчатая функция. Входное воздействие в изображениях Лапласа имеет вид1x(S ) = A ⋅ .SРис.
3.3. Графики переходных процессов при ступенчатом входном воздействииК такому виду сводятся: мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, мгновенное смещение затвора распределителя.272. Импульсное воздействие. На вход системы подается сигнал,краткий по времени, но большой величины (рис. 3.4), где x(t) – входной сигнал, y(t) – выходной сигнал. Входное воздействие задается в′ t ) – импульсный сигнал.виде xвх (t ) = A ⋅ 1′(t ), где A – постоянная, A ⋅ 1(x(t)y(t)ttРис. 3.4.
Графики переходных процессов при импульсном воздействииК такому виду можно отнести: кратковременный удар нагрузки навалу двигателя; кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемого плавкими предохранителями.3. Линейное воздействие. На вход системы подается линейныйсигнал (рис. 3.5), где x(t) – входное воздействие, ε(t) – ошибка отработки входного воздействия, y(t) – выходной сигнал. Входное воздействие задается в виде x(t ) = A ⋅ 1(t ), а в изображениях Лапласа –x(S ) =A.S2y(t)ε(t)x(t)tttРис.
3.5. Графики переходных процессов при линейном входном воздействииК такому виду можно отнести сигнал постоянной скорости. Например, включили гидромотор и он вращается с постоянной скоростью.4. Гармоническое воздействие. На вход подается любой гармонический сигнал, обычно синусоидальный (рис. 3.6) или косинусоидальный. Входное воздействие задается в видеx (t ) = Aвх ⋅ sin( ω t ),282π; T – периодTколебаний. При этом входное воздействие в изображениях Лапласаω.имеет вид x(S ) = Aвх 2S + ω2где Aвх – амплитуда колебаний; частота колебаний ω =Рис. 3.6. Графики переходных процессов при гармоническом входном сигналеВ линейных или линеаризованных системах период колебаний Tодинаковый у входных и выходных воздействиях и не меняется с течением времени, но имеется сдвиг по фазе ϕ.
При входном воздействии x (t ) = Ax ⋅ sin(ω t ) реакция системы на выходе будетy (t ) = Ay ⋅ sin(ωt + ϕ),где ϕ – сдвиг по фазе относительно входного воздействия.3.3. Временные характеристикиПри ступенчатом входном сигнале x(t ) = A ⋅ 1(t ) путём решенияуравнения системы изучается процесс перехода системы из одногоравновесного состояния в другое (переходная функция). Полученнаяпереходная функция или полученный график переходного процессаотвечает на вопрос, устойчива система или нет.
Если нет, то на вопрос, в каком направлении двигаться, чтобы система стала устойчивой, временные характеристики ответа не дают.29При гармоническом сигнале x(t ) = A ⋅ e j ωt на основе решенияуравнения представляется возможность исследовать характер и качество воспроизведения данной системой меняющегося входного сигнала.При заданном входном воздействии изменение выходной величины y(t) во времени представляет собой решение уравненияy (t ) = y c ( t ) + y в (t ),где yc(t) – свободная или собственная (образуется самой системой)составляющая процесса; yв(t) – вынужденная (ответ на входное воздействие) составляющая процесса.На рис.
3.7 показаны собственная и вынужденная составляющиереакции системы на входное воздействие, где период колебаний сигналов Tв ≠ Tс и амплитуда колебаний Aв ≠ Aс разные.ув(t)TвАвtϕус(t)TсАсtРис. 3.7. Графики вынужденных yв и собственных yc колебаний системыВынужденная и собственная составляющие выходного воздействия зависят от динамических свойств системы и закона изменениявходного воздействия. При разных амплитудах и частотах входноговоздействия эти величины тоже будут разными. При каких-то частотахможно попасть в зону резонанса, т.е. амплитуды, складываясь, могутзначительно возрасти (рис. 3.8). Задача проектировщика – не попастьв зону резонанса.При гармоническом входном воздействии согласно решениюобщего уравнения[an ⋅ S n + " + a2 ⋅ S 2 + a1 ⋅ S1 + a0 ⋅ S 0 ] ⋅ y (S ) =(3.1)= [bm ⋅ S m + " + b1 ⋅ S1 + b0 ⋅ S 0 ] ⋅ x(S )30в отклике системы составляющая yc(t) определяется общим решениемоднородного дифференциального уравнения; она описывает свободное движение, возникающее в звене или в системе после приложениягармонического входного воздействия.
Другая составляющая, yв(t),описывает вынужденное движение системы, которое определяетсячастным решением уравнения (3.1), и вследствие линейности уравнения это будет гармонический сигнал, но отличающийся от входногогармонического сигнала по амплитуде и фазе:x (t ) = Ax ⋅ sin( ω t ), y (t ) = Ay ⋅ sin(ωt + ϕ).Рис. 3.8. График зависимости амплитуды от частоты колебанийЕсли на вход стационарной линейной системы продолжительноевремя (бесконечно долго) действует гармонический сигнал частоты ω,то наблюдаемый выходной сигнал будет тоже гармонический с той жечастотой, но с другой амплитудой и со сдвигом по фазе.Частотные характеристики описывают отношения установившихся вынужденных колебаний на выходе звена, вызванных гармоническим воздействием на входе (рис. 3.9).Рис.
3.9. Структурная схема получения гармонических сигналовРеакция системы на внешнее воздействие (процесс перехода изодного равновесного состояния в другое) называется переходной31функцией и обозначается: y(t) – переходная функция в размерном виде; h(t) – переходная функция в безразмерном виде.Предполагается, что x(t) имеет ту же размерность, что и выходная физическая величина y(t).Пример. Найти реакцию системы, описываемой дифференциdy+ y = K ⋅ x, при T > 0, если на входальным уравнением вида Tdtсистемы подается единичный ступенчатый сигнал при нулевых начальных условиях.Дифференциальное уравнение заданной системы в изображении по Лапласу имеет видTS ⋅ y (S ) + y (S ) = K ⋅ x(S ) или [TS + 1] ⋅ y (S ) = K ⋅ x(S ).Передаточная функция системы W (S ) =y (S )K=. Обознаx(S ) TS + 1чим: K ⋅ S 0 = M (S ) – полином числителя; T ⋅ S1 + 1⋅ S 0 = D(S ) – полином знаменателя.Характеристическим уравнением называется полином знаменателя передаточной функции, приравненной к нулю.Если изображение является дробно-рациональной функцией,причём степень полинома числителя M(S) меньше степени полиномазнаменателя D(S) и характеристическое уравнение D(S) = 0 имеет от1личные от «0» простые корни, т.е.
TS + 1 = 0 или TS = −1, где S1 = − ,Tто по теореме разложения Хевисайда имеем:M (0) n M (SК )h(t ) =+∑⋅ eSК ⋅t ,D(0) K =1 SК ⋅ D′(SК )где SК – корни характеристического уравнения.Полином числителя передаточной функции M (S ) = K , при S = 0получим M (0) = K . Какое бы значение ни задавали S, M (S1 ) = K . Полином знаменателя D(S ) = TS + 1; при S = 0 получим D(0) = 1. Если1задать значение равным S = S1 = − , то D(S ) = TS + 1, после диффеTренцирования получим D′(S ) = T .32Подставив полученные выражения в уравнение Хевисайда,получим:11⎛− ⎞− ⋅tKKTTили h(t ) = K ⋅ ⎜ 1 − e ⎟ .⋅eh(t ) = +⎜⎟1 − 1 ⋅T⎝⎠TЗадаём ступенчатое входное воздействие и строим график переходного процесса, показанный на рис. 3.10.Входное воздействие x(t ) = 1(t ); ему соответствует в изображе-1, тогда выходное воздействие в изображенияхS1Лапласа будет y (S ) = W (S ) ⋅ .
Уравнение в дифференциальнойSформе имеет вид1⎛− ⎞Ty (t ) = h(t ) ⋅ 1(t ), y (t ) = K ⋅ ⎜ 1 − e ⎟ ⋅ 1(t ).⎜⎟⎝⎠ниях Лапласа x(S ) =Рис. 3.10. График переходного процессаВремя переходного процесса считается равным tпер ~ 3T . Дляопределения T проводится касательная к кривой из начала координат.3.4. Частотные характеристикиЧастотные характеристики позволяют косвенно оценить поведение и динамические свойства системы, оценить, в каком направлениинадо двигаться, чтобы система стала устойчивой, увеличить или33уменьшить её быстродействие, проанализировать реакцию системына внешнее воздействие.
Рассчитать частотные характеристики по алгебраическим выражениям значительно проще, чем определять временные характеристики. Частотные характеристики получаются, еслина вход системы подается гармоническое воздействие.AЗависимости от частоты отношения A = y амплитуд выходнойAxи входной величин и сдвига по фазе ϕ дают полную карту динамических свойств системы. Математические операции, связанные с определением частотных характеристик, существенно упрощаются, еслиприменить форму описания гармонических сигналов в виде:x = Ax ⋅ sin ω t , y = y в + y c ,где y в = Ay ⋅ e j ⋅( ωt +ϕ ) или y в = Ay ⋅ sin(ωt + ϕ).Если система установившаяся, то при t → 0 собственные колебания системы y c → 0.Известно, что выражению (a ⋅ e j ωt ) на комплексной плоскости соответствует точка, положение которой определяется радиус-вектором,имеющим длину «a» и угол, равный углу «ωt» наклона к оси абсцисс.При изменении времени t от 0 до ∞ точка перемещается по окружности.Представление гармонического сигнала в комплексной формепоказано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
