trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Линеаризация приемлема в зоне малых изменений аргумента и функции.152Рис. 10.4. Расходно-перепадная характеристика дросселяСхема дросселирующего распределителя с пропорциональнымуправлением показана на рис. 10.5, а.абРис. 10.5. Схема дросселирующего распределителя – а; зависимость площадищели распределителя от напряжения в обмотке управления – бФункция площади распределителя с пропорциональным управлением от напряжения тока управления показана на рис.
10.5, б.⎧ 0⎫приU ≤0⎪⎪⎪ fном⎪f =⎨при 0 < U < Uном ⎬ ,⎪Uном⎪⎪fU ≥ Uном ⎪⎭⎩ ном пригде U – напряжение тока в распределителе управления, f – текущаяплощадь щели дросселирующего распределителя.Реакция нелинейной системы (выходной сигнал) зависит нетолько от вида входного воздействия, но и от вида нелинейности(рис. 10.6). Например, при гармоническом входном воздействии у линейных систем на выходе ожидается тоже гармонический сигнал стаким же периодом колебаний, только с другой амплитудой и со153сдвигом по фазе.
При гармоническом входном возмущении нелинейной системы на выходе после нелинейного звена появляются сложного вида периодические колебания (рис. 10.7).Рис. 10.6. Структурная схема нелинейной системыРис. 10.7. Характеристика сигналов Х, на входе в нелинейное звено Хвхи на выходе из нелинейного звена ХвыхРассмотрим некоторые типичные нелинейные характеристики,показанные на рис.
10.8 и 10.9.Рис. 10.8. Нелинейные характеристики с зоной насыщенияи зоной нечувствительностиРис. 10.9. Неоднозначные релейные характеристики154Неоднозначные характеристики получаются в механизмах с зазорами. Функция статический люфт в зубчатой или рычажной передаче приведена на рис. 10.10.При L = 0, Y = KX – это прямая линия под углом β, K = tgβ. ЕслиL ≠ 0, то⎧при⎪ Y (0)⎪⎪ ⎛L⎞Y = ⎨K ⎜ X − ⎟ при2⎠⎪ ⎝⎪ ⎛L⎞⎪K ⎜ X + ⎟ при2⎠⎩ ⎝Y (0) L ⎫≤ ⎪K2⎪⎪X′ > 0⎬.⎪⎪X′ < 0⎪⎭X−βРис. 10.10.
Характеристика типа «люфт»Процессы в нелинейных системах имеют особенности по сравнению с линейными системами. Из-за этих особенностей вопрос обустойчивости системы становится более сложным. Для устойчивостиустановившегося процесса большое значение имеют начальные условия. Нелинейные системы могут быть: устойчивы «в малом», «вбольшом», в целом. Например, система устойчива «в малом», т.е.
устойчива при начальном возмущении, не выводящем отклонения в переходном процессе за определенную величину «а», и неустойчива «вбольшом» (рис. 10.11).155абвРис. 10.11. Характеристика выходного сигнала:а – система устойчива «в малом», б – система неустойчива «в большом»,в – система стремится к автоколебаниям10.3. Методы исследования устойчивости нелинейных системАнализируя работу нелинейных систем после входного воздействия (возмущения), оценивают возможные состояния равновесиясистемы. Выходной сигнал у нелинейных систем автоматическогоуправления не только не пропорционален входному сигналу, но и зависит от величины входного сигнала.Часто для нелинейных систем характерен режим незатухающихколебаний.Автоколебаниями называются самоустанавливающиеся незатухающие колебания, которые существуют в системе при отсутствии переменного внешнего воздействия.
Амплитуда и частота автоколебаний определяются свойствами самой системы. Этим они отличаютсяот вынужденных колебаний, частота и амплитуда которых зависит отвнешнего воздействия.156При затухающих колебаниях переходного процесса период колебаний изменяется в нелинейных системах.
А у линейных системпериод колебаний постоянен.Методы исследования нелинейных систем подразделяются наточные и приближенные, или еще их называют качественными. К точным методам относятся: аналитический метод А.М. Ляпунова; частотный метод В.М. Попова, метод фазовых портретов. К качественнымметодам относится метод «гармонической линеаризации».Метод ЛяпуноваКаждая динамическая система, в частности представляющаяпривод, может характеризоваться некоторыми переменными параметрами: Х1, Х2, … Хn. Для реальных приводов эти параметры остаются вещественными для всяких действительных состояний привода,например: координаты по осям Х, Y, Z, скорости, ускорения, напряжение, сила тока, давление, расход и т.д.В 1892 году Александр Михайлович Ляпунов предложил, что если с течением времени поведение двух систем совпадает, то однасистема устойчива по отношению к другой.
На рис. 10.12 показанытраектории движения систем L1 и L2 в параметрах Х1, Х2, Х3. Принявтраекторию L1 за эталон, можно наблюдать, как траектория L2 приближается к эталону. Здесь ΔХ – возмущение.Рис. 10.12. Траектории движения систем при разных начальных условияхПодход Ляпунова (первая «метода», так свои теоремы называл сам Ляпунов) – теорема 1: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопdVв силу этих уравределённую функцию V, производная которойdtнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного157знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво (рис. 10.13).Рис.
10.13. Характер знакоопределённых функций V и их производных Vtпри устойчивом состоянии системыЗнакоопределённой называется функция, которая во всех точкахнекоторой области вокруг начала координат сохраняет один знак и нигде, кроме начала координат, не обращается в ноль.Теорема 2. Если функция V = f ( X1, X 2... XN , t ) допускает малыйdVзнакоопределённая и при t > T приниdtмает знак первообразной, то невозмущенное движение неустойчиво.Иллюстрация показана на рис. 10.14.предел, а её производнаяРис. 10.14.
Характер знакоопределённой функции V и её производной Vпри неустойчивом состоянии системы158Общих правил отыскания функций Ляпунова нет. Найденные условия устойчивости системы могут не охватывать всей области её устойчивости. Поэтому от подбора функций Ляпунова зависит близостьполученных условий устойчивости к необходимым и достаточным.Метод сложен и на практике применяется редко.Частотный метод В.М.
ПоповаВ математическом описании системы выделяются линейнаячасть, заданная частотной передаточной функцией W(jω), и одна однозначная нелинейная часть, заданная некоторым предельным значением параметра K.Приведем без доказательств формулировку теоремы, предложенную румынским ученым В.М. Поповым (1959 г.): для установленияустойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число h, при котором для всех ω ≥ 0 соблюда1ется неравенство: Re(1 + j ωh ) ⋅ W ( j ω) + > 0.KПреобразуем последнее выражениеRe[(1 + j ωh)W ( j ω)] = Re[W ( j ω) − hωImW ( j ω)] = X − hY ,где W(jω) – амплитудно-фазовая частотная характеристика линейнойсистемы; X = Re[W ( j ω)]; Y = ωIm[W ( j ω)].Тогда выражение Re(1 + j ωh ) ⋅ W ( j ω) +1>0Kпринимает вид1> 0.KПриравняв последнее выражение к нулю, получаем уравнение1прямой линии, которую называют прямой Попова X − hY + = 0.K⎛ 1⎞Прямая Попова проходит через точку с координатами ⎜ − ; j 0 ⎟ , про⎝ K⎠x + hy +1ходящую под углом α = arctg .hГрафическая интерпретация теоремы Попова: для установленияустойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямуюна комплексной плоскости видоизмененной частотной передаточной159⎛ 1⎞функции линейной части W*(jω), проходящую через точку ⎜ − ; j 0 ⎟ , что⎝ K⎠бы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой (рис.
10.15).j Im(ω)Re(ω)–1/KРис. 10.15. Амплитудно-фазовая частотная характеристика и прямая ПоповаВидоизмененная характеристика W*(jω) связана с W(jω) равенствамиRe[W *( j ω)] = Re[W ( j ω)] и Im[W *(j ω)] = ωIm[W (j ω)].Наиболее широкое практическое применение получил методфазовых траекторий.Метод фазовых траекторийМетод фазовых траекторий дает наглядную картину поведениясистемы. Метод целесообразен, если система автономна.Автономной называют систему, не подвергающуюся при рассматриваемых процессах внешним воздействиям и не содержащуюпараметров, изменяющихся в зависимости от времени.Рассмотрим некий процесс, при котором изменяется координатаX1 во времени t по закону, показанному на рис. 10.16, и скорость изменения этой координаты X 2 = X1′ соответствует изменению, показан-ному на графике. Жюль Анри Пуанкаре (1900 г.) предложил рассматривать такие функции систем, исключив из них время.
Время рассматривается как безразмерная величина непрерывности пространства. Норма для времени – это пространство, которое описывает Земляза один оборот.Пусть некая система движется из точки А в точку Б.160Значит, участок 0–t1 – система разгоняется, участок t1–t2 – система движется с постоянной скоростью, участок t2–t3 – торможение, t3–t4 –система стоит на месте, t4–t5 – система разгоняется при движении в обратную сторону от Б к А, t5–t6 – движение с постоянной скоростью в обратную сторону, t6–t7 – торможение и остановка системы (рис. 10.16).X1БАtt1t2 t3t4 t5 t6 t7X2tt1t2 t3t4 t5 t6 t7Рис. 10.16.
Циклограмма и тахограмма движения системыПоведение движения этой системы можно рассмотреть, исключив из нее время.Плоскость, по оси абсцисс которой откладывается переменная X1, а по оси ординат – скорость изменения этой переменной X2,называется фазовой плоскостью (рис. 10.17).Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
