trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 19
Текст из файла (страница 19)
10.17. Фазовая плоскость161Если переменных больше двух, тогда это – фазовое пространство.Точка М1(Х1, Х2, … Хn) в координатах Х1, Х2, … Хn определяет состояние системы в момент времени t1. Такую точку называют изображающей точкой (рис. 10.18).При изменении времени t от t1 до t2 изображающая точка переместится по некоторой траектории L из точки М1 в точку М2. Траектория L, по которой перемещается точка, называется фазовой траекторией и при заданных начальных условиях полностью описываетповедение динамической системы (привода) (рис.
10.19).Рис. 10.18. Изображающая точка М1в фазовом пространствеРис. 10.19. Траектория Lизображающей точки Мв фазовом пространствеРассмотрим поведение возбужденной динамической системы подвум переменным параметрам во временных координатах. Эталонноедвижение – это движение, которое мы хотим получить во временнойсистеме координат на прямой Ot, где Х1 перемещение, а X = X ско21рость перемещения изображающей точки. Продифференцировав поdX 2 d 2 X1следнее выражение, получим=, тогда первая функцияdtdt 2dX1dX 2F1( X1, X 2 ) =и вторая функция F2 ( X1, X 2 ) =.
Разделив почленdtdtdX 2dX 2 F2 ( X1, X 2 )F (X , X )=. Полуно уравнения, получим dt = 2 1 2 илиdX1 F1( X1, X 2 )dX1 F1( X1, X 2 )dtченное уравнение является дифференциальным уравнением кривыхна плоскости координат Х1, Х2, т.е. фазовой плоскости.Фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой геометрический образ динамических процессов, протекающих в162системе. Траектория движения системы при начальном возмущениипо параметру X1 показана на рис.
10.20.В таком геометрическом представлении могут участвовать всепеременные параметры системы.Рис. 10.20. Траектория изображающей точки при начальном воздействии(возмущении) по параметру Х1, изменяющаяся во времениТакже можно рассмотреть поведение этой системы на фазовойплоскости, т.е. исключив время (рис. 10.21).В разные моменты времени меняется величина возмущения, т.е.расстояние от эталонного движения до текущего положения исследуемой системы.Рис. 10.21. Траектория изображающей точки в фазовой плоскостив разные моменты времени, показывающая соответствующие возмущенияКак видно из рис. 10.21, исследуемое движение приближается кэталонному движению, из чего можно сделать вывод, что исследуемая система устойчива.Фазовые траектории устойчивой системы автоматическогоуправления должны стремиться к началу координат при неограниченном возрастании времени, потому что начало координат находится наэталонной траектории движения системы.163Фазовые траектории неустойчивой системы должны неограниченно удаляться от начала координат фазовой плоскости.
Замкнутымфазовым траекториям соответствуют периодические процессы.Свойства фазовых траекторийФазовым траекториям можно приписать направление. Каждоеположение изображающей точки М есть функция времениX1 = f1(t ), ... Хn = fn (t ).С изменением времени положение точки меняется. За положительное направление движения изображающей точки (от точки М1 к М2) принимают направление в сторону возрастания времени (t2 > t1) (рис. 10.22).Каждая фазовая траектория может представлять решениедифференциального уравнения при заданных начальных условиях,которое определено для всех значений времени t, как t > 0, так и t < 0(рис. 10.23).Рис.
10.22. Положение изображающейточки с увеличением времениРис. 10.23. Изображающая точка Ммогла двигаться до начала отсчетаРазные точки одной и той же фазовой траектории соответствуютодним и тем же начальным условиям значения переменных. Отличаются точки друг от друга только выбором начальных значений времени t01 и t02 (рис. 10.24), где t02 > t01.Рис. 10.24.
Траектория движения системы на фазовой плоскости164Если функции, которые определяют угол наклона касательной кфазовой траектории в некоторой области фазового пространства, однозначны, т.е. можно провести только одну касательную, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна фазовая траектория (рис. 10.25).Рис.
10.25. При разных начальных возмущенияхтраектория поведения системы будет разнойЗамкнутая фазовая траектория соответствует периодическомудвижению изображающей точки в фазовом пространстве и характеризует периодически изменяемые состояния исследуемого объекта. Такие траектории называются предельными циклами (рис. 10.26).Рис. 10.26. Предельный цикл на фазовой плоскостиНапример, часы-ходики. Первое состояние равновесия – когда часы стоят. Часы заведены, но не пущены в ход. На графике (рис. 10.27) –это нулевая точка. Когда часы запущены – это второе состояние равновесия на фазовой плоскости (на рисунке это эллипс).При малом воздействии на маятник (точка 1 на рис. 10.27) часыостанавливаются, т.е.
приходят в первое состояние равновесия. Еслизадающая амплитуда маятника меньше, чем состояние равновесия(точка 2), возможно маятник придет во второе состояние равновесия.Если первоначальное отклонение будет большим (точка 3), маятникопять придет во второе состояние равновесия.165Рис. 10.27. Возможные траектории часов-ходиковТочку на фазовой траектории, к которой можно провести несколько касательных, называют особой точкой. Особая точка, черезкоторую проходит неограниченное число касательных, сама являетсяотдельной траекторией. Такую точку часто называют точкой состояния равновесия (рис. 10.28).
Например, на рис. 10.27 – это точка начала координат, точка «0».Состояние равновесия называется изолированным, если существует малая область, близкая к нулю, внутри которой не лежит ни одного состояния равновесия (рис. 10.29). В некотором пространстве координат x1, …, xn каждая система привода может при разных начальных условиях иметь разные траектории движения.Рис. 10.28.
Точка состояния равновесия на фазовой плоскостиИз этого множества обычно интересует одно эталонное движение Lэ.Для сравнения поведения возможных траекторий с эталоннымдвижением целесообразно перенести начало координат на эталоннуютраекторию.166Рис. 10.29. Изолированное состояние равновесияНапример, имеется некая эталонная траектория (Lэ) и возможная траектория (L1) (рис. 10.30).
Начало системы координат устанавливают на эталонной траектории.Эта система координат все время движется. Мы сравниваем,насколько наша возможная траектория (L1) не совпадает с эталоннойтраекторией. Приближение возможной траектории к эталонной траектории показано на рис. 10.30 в плоскости параметров x1, xn.Рис. 10.30. Перенос начала координат на эталонную траекторию:Lэ – эталонная траектория системы;L1, L2, L3, L4 – траектория движения системы при разных начальных условияхИмеется некая траектория, к которой мы стремимся (эталоннаятраектория Lэ, на которой находится движущееся начало координат сточкой «0»). При разных начальных условиях система имеет возможность двигаться по разным траекториям L1, L2, L3, L4.
Расстояние ме-167жду какой-либо траекторией и эталонной называется возмущениемили отклонением от эталона по рекомендациям Ляпунова А.М.Об устойчивости исследуемой динамической системы можнобыло бы судить, проследив за поведением всех фазовых траекторий,т.е. построив все фазовые траектории для всех возможных начальныхусловий, так называемые фазовые портреты, представляющие собойинтегралы исходных дифференциальных уравнений.
Наиболее распространенные фазовые портреты приведены на рис. 10.31.Рис. 10.31. Наиболее распространённые фазовые портретыРеальные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и общее решение этих уравнений, как правило,найти не удаётся. Для анализа устойчивости работы системы недостаточно нахождения одного численного частного решения при каком-168то начальном условии. Необходимо найти численное значение частного решения системы при всех возможных начальных условиях в области желаемых значений переменных системы.Для качественного анализа устойчивости динамической системынеобходимо проследить поведение не одной, а всех траекторий повсей области G, области предельных, реальных, возможных отклонений значений переменных системы (рис.
10.32).Например, при начальном воздействии М1 система приходит кодному устойчивому состоянию, а при начальном воздействии М2 –выходит на автоколебания.Рис. 10.32. Фазовый портрет поведения системыпри различных начальных воздействияхПример. Дана гидравлическая следящая система с обратнойсвязью (рис. 10.33).Рис. 10.33. Гидравлическая следящая система169Затвор распределителя является нелинейным звеном с релейно-петлевой характеристикой (рис. 10.34).Рис.
10.34. Характеристика распределителяСхема распределителя показана на рис. 10.35. Характеристикараспределителя представлена на рис. 10.34, где a1 = 1, a2 = 2, b = 1,k = 1. На комплексной плоскости зададим начальную точку фазовойтраектории с координатами при t = 0; x = 5; x' = 0.Рис. 10.35. Схема распределителяСоставим для данной следящей системы структурную схему(рис. 10.36).Рис. 10.36. Структурная схема следящей системы с нелинейным звеномСигнал после сумматора будет равен X = Xвх − X 2 = X 2, поскольку система автономна Xвх = 0.170Решение. Преобразуем заданное уравнение линейной частиd 2 X2′′системы X2 = KX1 или= KX 1.
Необходимо получить траекториюdt 2перемещения изображающей точки на фазовой плоскости и по этойтраектории судить об устойчивости или неустойчивости системы. Фазовые траектории стремятся к началу координат с возрастанием времени, когда система устойчива. При неустойчивой системе фазовыетраектории удаляются от начала координат. Замкнутые фазовые траектории означают наличие в системе периодических процессов.По условию имеются две переменные величины X1 и X2′′. ОбоdYd 2 X 2 dYзначим= KX1=, тогда исходное уравнение примет вид2dtdtdtили dY = KX1dt. Последнее выражение проинтегрируем ∫ dY = ∫ KX1dt .В результате интегрирования получаем Y = KX1t + C1, где C1 – постоdX 2, подставив это выражение в реdtзультат интегрирования, получимdX 2= KX1t + C1(10.1)dtили dX 2 = KX1tdt + C1dt.янная интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
