trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Но Y =Проинтегрировав последнее выражение∫ dX 2 = ∫ KX1tdt + ∫ C1dt,получаемt2+ C1t + C2.2От переменной X2 перейдем к переменной X .X 2 = KX1(10.2)По условию X = Xвх − X 2, где Xвх = 0. Значит X = − X 2 илиX2 = − X, аdX 2dX=−. Подставим в (10.1) и (10.2) уравненияdtdtX ′ = −KX1t − C1;(10.3)t2X = −KX1 − C1t − C2 .(10.4)2И получим систему уравнений (10.3) и (10.4), описывающих поведение изображающей точки на фазовой плоскости. Нанесем линии пересечения характеристики распределителя на фазовой плоскости (рис. 10.37).171Рис.
10.37. Фазовая плоскостьДля определения постоянных интегрирования используем начальные условия на первом участкеt = 0, X = 5, X ′ = 0, K = 1, X1 = b = 1,и подставляем их в уравнение (10.3), определяем C1:X ′ = −KX1t − C1;0 = −1⋅ 1⋅ 0 − C1;C1 = 0.Подставляем эти же начальные условия в уравнение (10.4) дляопределения C2:t2X = −KX1 − C1t − C2 ;25 = −1⋅ 1⋅ 0 − 0 − C2;C2 = −5.Следовательно, для первого участка уравнения (10.3), (10.4)примут вид⎧ X ′ = −KX1t ;⎪(10.5)⎨t2=−+XKX5.⎪12⎩Выразим уравнения (10.5) одно через другое для исключенияX′времени в уравнениях X ′ = −KX1t откуда t = −и подставим его воKX1t2второе уравнение в системе (10.5) X = −KX1 + 5, получим217221 ⎛ X′ ⎞X = −KX1 ⎜ −⎟ + 5.2 ⎝ KX1 ⎠Упростив это уравнение получим:( X ′)2X =−+ 5 или ( X ′)2 + 2KX1X − 10KX1 = 0.2KX1(10.6)Получили уравнение параболы.
В уравнение (10.6) подставимзначенияK =1иX1 = b = 1,получим( X ′)2 + 2 X − 10 = 0илиX ′ = ± 10 − 2 X .При движении X уменьшается, а уменьшению X соответствуетотрицательное значение производной X'. Следовательно, первый участок фазовой траектории находится в четвертом квадранте фазовойплоскости, и уравнение имеет вид X ′ = − 10 − 2 X .Уравнения (10.5) действуют только на первом участке, где b = +1.Этот участок заканчивается при пересечении линии X = a1. Далее начнется второй участок.Конечными значениями первого участка являются:X′X′=−= − X ′ = 2,83.X = 1, X ′ = − 10 − 2 = − 8 = −2,828, t = −KX11⋅ 1Конечные значения X, X' и t каждого предыдущего участка являются начальными значениями X и X' каждого последующего участка.Начальные значения для второго участка:t = 2,83, X = 1, X ′ = −2,83, X1 = 0, K = 1.Из уравнений (10.3) и (10.4), которые описывают поведение системы в целом⎧ X ′ = −KX1t − C1;⎪⎨t2⎪ X = −KX1 − C1t − C2 ,⎩2определяем постоянные интегрирования C1 и C2 для второго участка:X ′ = −Kx1t − C1;−2,83 = −1⋅ 0 ⋅ 2,83 − C1;C1 = 2,83.t2X = −KX1 − C1t − C2 ;22,8321 = −1⋅ 0 ⋅− 2,83 ⋅ 2,83 − C2;2C2 = −9.173Получаем систему уравнений, описывающих поведение системына втором участке⎧ X ′ = −2,83;(10.7)⎨⎩ X = −2,83t + 9.На фазовой плоскости траектория изображающей точки на втором участке представляет собой прямую линию.Заканчивается второй участок при изменении X1 = −1, при этомX = −2 и X ′ = −2,83.Определим время, при котором изображающая точка пересекает9+2= 3,887.границу второго участка X = − 2,83t + 9; t =2,83Начальные значения третьего участка:t = 3,887, X = − 2, X1 = −1, X ′ = −2,83, K = 1.Из уравнений (10.3) и (10.4), описывающих поведение системы вцелом⎧ X ′ = −KX1t − C1;⎪⎨t2⎪ X = −KX1 − C1t − C2 ,⎩2определяем постоянные интегрирования C1 и C2 для третьего участка:X ′ = −KX1t − C1;−2,83 = −1⋅ (−1) ⋅ 3,887 − C1;C1 = 6,717.t2− C1t − C2 ;23,8872−2 = −1⋅ ( −1) ⋅− 6,717 ⋅ 3,887 − C2;2C2 = −16,51.X = −KX1Получаем систему уравнений, описывающих поведение изображающей точки, на третьем участке⎧ X ′ = t − 6,71;⎪⎨t2⎪ X = − 6,71t + 16,51.⎩2Если в полученную систему уравнений подставить X' = 0, то определим точку пересечения траектории изображающей точки с осью Xна третьем участке.174В уравнение X' = t − 6,71 подставляем значение X' = 0, получим0 = t − 6,71, отсюда t = 6,71.
Это значение подставляем в уравнениеX=6,712t2− 6,71⋅ 6,71 + 16,51, отсюда X = −6.− 6,71t + 16,51, получим X =22Изображающая точка, перемещаясь из третьего квадранта вовторой, имеет следующие координаты: t = 6,71, X' = 0, X = −6.Определяем конечные значения третьего участка. На графике(рис. 10.37) видно, что X = −1. Подставим это значение в уравнениеX=t2− 6,71t + 16,51, получим2t2−1 = − 6,71t + 16,51 или t 2 − 13,42t + 35,02 = 0.2Определяем значение t:2t1,213,42⎛ 13,42 ⎞=± ⎜⎟ − 35,02 = 6,71 ± 10;2⎝ 2 ⎠t1 = 9,87.Подставив полученное значение t1 в уравнение X ′ = t − 6,71,получим:X ′ = 9,81 − 6,71 = 3,16.Конечные значения третьего участка являются начальными значениями для четвертого участка:t1 = 9,87, X = −1, X ′ = 3,16, X1 = 0, K = 1.Из уравнений (10.3) и (10.4), которые описывают поведение системы в целом⎧ X = −KX1t − C1;⎪⎨t2=−− C1t − C2 ,XKX⎪1⎩2определяем постоянные интегрирования C1 и C2 для четвертого участка:X ′ = −KX1t − C1;3,16 = −1⋅ 0 ⋅ 9, 87 − C1;C1 = −3,16.t2X = −KX1 − C1t − C2 ;29,872−1 = −⋅ 0 − ( −3,16) ⋅ 9,87 − C2;2C2 = −32.175Получаем систему уравнений, описывающих поведение системына четвертом участке⎧ X ′ = 3,16;⎨⎩ X = 3,16t − 32.Траектория изображающей точки на четвёртом участке представляет собой прямую линию, параллельную оси X.
Конечные значения четвёртого участка по рис. 10.37 X = 2, X' = 3,16, определим время34= 10,76.пересечения границы участка 2 = 3,16t − 32, откуда t =3,16Начальными значениями пятого участка являются:t = 10,76, X = 2, X ′ = 3,16, K = 1, X1 = 1.Из уравнений (10.3) и (10.4), которые описывают поведение системы в целом⎧ X ′ = −KX1t − C1;⎪⎨t2=−− C1t − C2 ,XKX⎪1⎩2определяем постоянные интегрирования C1 и C2 для пятого участка:X ′ = −KX1t − C1;3,16 = −1⋅ 1⋅ 10, 76 − C1;C1 = −13,92.t2− C1t − C2 ;210,762−1 = −1⋅ 1− ( −13,92) ⋅ 10,76 − C2;2C2 = 89,78.X = −KX1Получаем систему уравнений, описывающие траекторию изображающей точки на пятом участке:⎧ X ′ = −t + 13,92;⎪⎨t2⎪ X = − + 13,92t − 89,78.⎩2Если в полученную систему уравнений подставить X' = 0, то определим точку пересечения траектории изображающей точки оси X напятом участке.В уравнение X' = −t + 13,92 подставляем значение X' = 0, получим 0 = −t + 13,92, отсюда t = 13,92.
Это значение подставляем в урав-17613,922t2нение X = − + 13,92t − 89,78, получим X =13,92 ⋅ 13,92 − 89,78,22отсюда X = 7,1.По рассчитанным значениям на фазовой плоскости построенафазовая траектория, показанная на рис. 10. 38.Как показывает траектория изображающей точки на фазовойплоскости, система совершает колебания с увеличивающейся амплитудой отклонений по X и по X'.Рис. 10.38. Траектория изображающей точки на фазовой плоскостиДля более полной картины поведения системы необходимо построить траектории движения изображающей точки при разных начальных значениях и получить фазовый портрет.Метод гармонической линеаризацииПри исследовании систем выше второго порядка широко применяется метод гармонической линеаризации. Метод применим к системам любого порядка, но только для исследования колебательныхпроцессов.
Основан метод на работах Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова, 1934 г. Идея метода заключается в линеаризации нелинейностей врежиме автоколебаний.Метод имеет ряд допущений:– Вход в нелинейное звено – это гармонический сигнал, близкийк синусоидальному. Это предположение справедливо для большинства систем автоматического управления.177– Линейные звенья обладают свойствами фильтров низкой частоты, ослабляющими высшие гармоники.– Считаем, что постоянная составляющая колебаний отсутствует.Несмотря на допущения, практические расчеты и экспериментпоказывают приемлемость применения этого приближенного метода.Рассмотрим систему автоматического управления с одним нелинейным звеном (рис. 10.39).Рис. 10.39.
Структурная схема системыПередаточная функция замкнутой системы имеет видWл ( j ω)Wн (а, ω)Ф( А, j ω) =.1 − Wл ( j ω)Wн (a, ω)При устойчивости разомкнутого контура, в соответствии с критерием Найквиста, замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если Wл ( j ω) ⋅ Wн (а, ω) = −1, где a – амплитуда и ω – частота. Это уравнение называется уравнением гармонического баланса.Уравнение можно рассматривать как условие наличия чисто мнимогокорня jω характеристического уравнения линеаризованной системы,что показывает существование периодических движений линейныхсистем.
В системе могут существовать колебания, которые в случае1их устойчивости будут автоколебаниями. Wл ( j ω) = −– это соWн (a, ω)отношение показывает, что если характеристики Wл ( jω) и −1Wн (a, ω)пересекаются, то в точке их пересечения на годографе Wл ( jω) можноопределить частоту ω, а по Wн (a, ω) – амплитуду автоколебаний.Для этого необходимо в одних координатных осях построитьамплитудно-фазовую частотную характеристику линейной частиWл (ω) → A(ω) + jB(ω) и в этих же координатных осях построить полинеаризованнымкоэффициентамнелинейнуюхарактеристику178W (a).
Если характеристики не пересекаются, автоколебаний в системе нет (рис. 10.40).При соприкосновении характеристик система находится на границе автоколебаний (рис. 10.41).Точка пересечения характеристик показывает, что автоколебания в системе присутствуют.jB(ω)g2(a)A(ω)g1(a)W(a)W∧(ω)Рис. 10.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
