trifonova_go_burenin_vv_trifonova_oi_upr avlenie_tekhnicheski (841692), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Годографы для линейной части системы и нелинейного звенапри отсутствии автоколебаний в системеjB(ω)g2(a)A(ω)g1(a)W(a)W∧(ω)Рис. 10 41. Вид годографов линейной части системы и нелинейного звенана границе автоколебанийЧастота автоколебаний равна частоте в точке пересечения(рис. 10.42).Пусть все линейные звенья объединены в одно звено, и состояние какой-то системы описывается нелинейным уравнением⎛ dX ⎞Y = F ⎜ X,⎟.dt⎝⎠179jB(ω)g2(a)A(ω)g1(a)W(a)W∧(ω)Рис. 10.42.
Вид годографов линейной части системы и нелинейного звенапри автоколебаниях системыПри гармоническом законе изменения входной величины X(рис. 10.43) будетdXX = a ⋅ sin(ωt ) и ωt = ϕ= a ⋅ ω ⋅ cos( ωt ).(10.8)dtРис. 10.43. Структурная схема нелинейного звенаЗакон изменения выходной величины Y будет периодический, ноне гармонический. Вид выходной величины определяется характеристикой конкретного нелинейного звена (рис. 10.44).Любой периодический сигнал с помощью разложения в ряд Фурье может быть представлен в виде суммы бесконечного множествагармонических составляющих различной частоты, кратной частотевходного сигнала.
Согласно принятым допущениям линейная частьсистемы из-за своей инерционности обладает фильтрующими свойствами, и амплитуды высших гармоник при прохождении через линейную часть уменьшаются во много раз, поэтому высшими гармоникамиможно пренебречь, учитывая только первую гармонику с частотой,равной частоте входного сигнала.180ωπ/ω2π/ωωРис. 10.44. Влияние постоянной составляющей на гармоническую линеаризациюхарактеристики с зоной насыщения и зоной нечувствительностиРазложим нелинейную функцию Y в ряд Фурье, отбросив высшие гармоники, т.е.
считая, что их не пропускают линейные звенья:⎛ dX ⎞ А0Y = F ⎜ X,+ А1 ⋅ cos(ωt ) + А2 ⋅ sin(ωt ),(10.9)⎟=dt ⎠ 2⎝где A0, A1, A2, – коэффициенты ряда Фурье, определяемые по известным соотношениям. В колебаниях системы отсутствует постояннаясоставляющая, поэтому считаем, что A0 = 01А2 =π1А1 =π2π∫ F ( A ⋅ sin ϕ) ⋅ sin ϕ ⋅ d ϕ;02π∫ F ( A ⋅ sin ϕ) ⋅ cos ϕ ⋅ d ϕ.0X1 dX⋅.и cos ϕ =a ⋅ ω dtaПодставив полученные выражения в уравнения (10.9), получимИз соотношений (10.8) следует, что sin ϕ =181Y = А1 ⋅ sin ϕ + А2 ⋅ cos ϕ =А1А dXX+ 2 ⋅aa ⋅ ω dtили в изображениях ЛапласаSX (S ).ωПоследнее выражение заменяют приближенной эквивалентнойпередаточной функцией элемента, которая определяется как отношение амплитуды первой гармоники выходного сигнала нелинейного элемента к амплитуде его входного гармонического сигнала, и вобщем случаеY (S )SWн (S ) == q1(a, ω) + q2 (a, ω) .X (S )ωY (S ) = q(a, ω) ⋅ X (S ) + q1(a, ω) ⋅Частотная эквивалентная передаточная функция будетjωWн ( j ω) = q1(a ) + q2 (a )ωили Wн ( j ω) = q1(a) + q2 (a) j ,где q1(a) и q2 (a) – коэффициенты гармонической линеаризации.Амплитуда эквивалентной передаточной функции, показывающая, во сколько раз первая гармоника на входе нелинейного элементабольше амплитуды Aн синусоидального входного сигнала, рассчитывается по формулеAн (a ) = |Wн ( j ω)| = q12 (a ) + q22 (a ).Фаза эквивалентной передаточной функции определяется какразность фаз между первой гармоникой на выходе нелинейного элемента и синусоидальным входным сигналомq (a )ϕ(a) = arctg 2 .q1(a)Полученные формулы показывают, что эквивалентная передаточная функция нелинейного звена зависит от амплитуды входногосигнала и не зависит от его частоты.Для некоторых нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации приведены в табл.
4.182Таблица 4Нелинейные характеристикии коэффициенты гармонической линеаризацииГрафик нелинейного элементаРелейный элементРелейный элементс зоной нечувствительностиКоэффициенты гармоническойлинеаризации4cq1(a ) =;πaq2 ( a ) = 04cb21 − 2 при a ≥ b;πaaq1(a) = 0 при a b;q1(a) =q2 ( a ) = 0Релейный элементс насыщениемk = tgα;2k ⎛b bb2 ⎞⎜ arcsin +1− 2 ⎟a aπ ⎜⎝a ⎟⎠при a ≥ b;q1(a) = k при a ≤ b;q1(a) =αq2 ( a ) = 0Элемент с зоной нечувствительностиαq1(a) = c −2c ⎛b bb2 ⎞⎜ arcsin +1− 2 ⎟a aπ ⎜⎝a ⎟⎠при a ≥ b;q1(a) = 0 при a < b;q2 ( a ) = 0Элемент с зоной нечувствительностии насыщениемαk = tgα;b2b1⎛⎜ arcsin a − arcsin a +2k ⎜q1(a ) =π ⎜ b2b22 b1b22+−−−11⎜a2 aa2⎝ aпри a ≥ b2 ;q2 ( a ) = 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠183Продолжение табл.
4График нелинейного элементаКоэффициенты гармоническойлинеаризацииЭлемент с петлей гистерезиса4cb2q1(a ) =1 − 2 при a ≥ b;πaaq1(a) = 0 при a < b;4cbq2 (a ) = − 2 при a ≥ b;πaq2 (a) = 0 при a < bЭлемент с зонами нечувствительностии неоднозначности2c ⎛b2r 2b2⎜ 1− 2 + 1− 2q1(a) =πa ⎜⎝aa⎞⎟⎟⎠при a ≥ b;q1(a) = 0 при a < b;2cb(1 − r )при a ≥ b;q2 (a ) = −πa 2q2 (a) = 0 при a < bЭлемент типа люфтаαk = tgα;⎡ π⎛ 2b ⎞ ⎤⎢ 2 + arcsin ⎜ 1 − a ⎟ + ⎥⎝⎠ ⎥kq1(a ) = ⎢π ⎢ ⎛ 2b ⎞ b ⎛ b ⎞ ⎥⎢+ 2 ⎜1 −⎥1−a ⎟⎠ a ⎜⎝ a ⎟⎠ ⎦⎥⎣⎢ ⎝при a ≥ b;4k ⎛ b ⎞q2 (a) = −1−при a ≥ bπa ⎜⎝ a ⎟⎠При решении задач удобно пользоваться графоаналитическойсхемой, называемой диаграммой Гольдфарба:1) построить годограф линейного звена Wл (ω) при ω∈ [0;∞);2) построить годограф линеаризованной характеристики нели1нейного звена W (a) = −при a ∈ [0;∞);Wн (a)3) найти значения частоты ωкол и амплитуды Акол периодическогодвижения, соответствующие точкам пересечения годографов (рис.
10.45).При движении по годографу нелинейного звена в сторону увеличения амплитуды, если годограф входит в зону, охватываемую линейным годографом (точка 1 на рис. 10.45), то колебания в системе неус-184тойчивые. Если годограф нелинейного звена при увеличении амплитуды выходит из годографа линейных звеньев, то в системе устойчивые автоколебания (на рис.
10.46 точка 2).jB(ω)g2(a)W∧(ω)A(ω)a = +∞g1(a)a=0W(a)Рис. 10.45. Вид годографов системы при автоколебанияхПример. Исследовать устойчивость состояния равновесия нелинейной системы, структурная схема которой изображена на рис. 10.44.Параметры линейной части системы: T1 = 1,0 c; T2 = 0,9 c; T3 = 1,1 c;K1 = 0,5; K2 = 5.Рис. 10.46. Структурная схема системыСтатическая характеристика нелинейного звена изображена нарис. 10.47, где b = 1; K3 = tgα = 4.Рис. 10.47. Статическая характеристика нелинейного звена185Необходимо исследовать систему на наличие автоколебаний.При наличии автоколебаний определить частоту и амплитуду.Решение.Следуя диаграмме Гольдфарба, необходимо:1) построить годограф амплитудно-частотной характеристикилинейной части системы.Для этого по заданной структурной схеме определяется передаточная функция линейной части системы Wл ( jω):Wл ( j ω) =K1K2⋅.T1S + 1 (T2S + 1)(T3S + 1)Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится любымизвестным способом.
Можно ее разделить на вещественную и мнимую части Wл (ω) → A(ω) + jB(ω):Wл ( j ω) =K1 ⋅ K 2=(T1 j ω + 1)(T2 j ω + 1)(T3 j ω + 1)K K (1 − T1 j ω + 1)( −T2 j ω + 1)( −T3 j ω + 1)= 1 2.(1 + T12 j ω)(1 + T22 j ω)(1 + T32 j ω).После раскрытия скобок и перегруппировки получаем222K1K 2 (1 − TT1 2ω − T1T3 ω − T2T3 ω )A(ω) =;(1 + T12ω2 )(1 + T22ω2 )(1 + T32ω2 )K1K 2 ( −T3ω − T2ω − T1ω + T1T2T3ω3 )B(ω) =.(1 + T12ω2 )(1 + T22ω2 )(1 + T32ω2 )Для построения амплитудно-фазовой частотной характеристикилинейной части системы задаемся значениями ω от 0 до ∞, например,показанными в табл. 5.Таблица 5При заданных значениях ω, получаемые значения A(ω) и B(ω)ωA(ω)B(ω)02,500,50,32−1,761−0,62−0,631,5−0,57−0,342−0,220,0387186Амплитудно-частотная характеристика показана Wл(ω) на рис.
10.48;Рис. 10.48. Годографы линейной частии линеаризованного нелинейного звена системы2) построение линеаризованной характеристики нелинейногозвена, для чего определяем гармонически линеаризованную эквивалентную передаточную функцию нелинейной характеристики W(A) == q(a). Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, имеющего однозначную статическую характеристикупоказанную на рис. 10.47, может быть записана с использованием коэффициентов гармонической линеаризации нелинейной характеристики с насыщением, взятых из табл. 4 в виде W(A) = q(a), где q2(a) = 0,2K 3 ⎛b bb2 ⎞q1(a) =1 − 2 ⎟ при a ≥ b;⎜ arcsin +π ⎜⎝a aa ⎟⎠q1(a) = K3 при a ≤ b.При периодическом движении нелинейной системы без внешне11, где −W ( A)−1 = −.го воздействия Wл ( j ω) = −Wн (a, ω)q1(a)Для графического решения этого уравнения строим −W ( A−1).Подставляем в коэффициенты гармонической линеаризации исходные данные: b = 1; k3 = 4 и задаём значение амплитуды a = 1, 2, 3, 4.1872K 3 ⎛1 11 ⎞b bb2 ⎞ 2 ⋅ 4 ⎛1− 2 ⎟ =arcsin1q1(a) =⎜ arcsin ++−⎜⎟;π ⎜⎝a aa aa ⎟⎠ 3,14 ⎜⎝a2 ⎟⎠– при a = 18⎛π⎞q1(1) =(arcsin1 + 0) = 2,55 ⎜ + 0 ⎟ = 4,3,14⎝2⎠−W ( A)−1 = −11= − = −0,25;q1(a)4– при a = 2q1(2) =8 ⎛1 11⎞⎛π⎞arcsin+1−⎜⎜⎟⎟ = 2,55 ⎜ + 0,5 ⋅ 0,86 ⎟ = 2,5,3,14 ⎝2 24⎠⎝6⎠−W ( A)−1 = −0,4;– при a = 3q1(3) =8 ⎛1 11⎞⎛π⎞1 − ⎟⎟ = 2,55 ⎜ + 0,33 ⋅ 0,942 ⎟ = 1,94,⎜⎜ arcsin +3,14 ⎝3 39⎠⎝7⎠−W ( A)−1 = −0,52;– при a = 4q1(4) = 2,55(arcsin0,25 + 0,25 1 − 0,0625) = 1,53,−W ( A)−1 = −0,7.Поскольку q2(a) = 0, характеристика пойдет по оси q1(A), как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
