Кинетическая теорема современной неравновесной термодинамики (831925), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Согласно (3.81) – (3.86) имеем:∆);+∑∗&23 пер 1j}= ∑f2"G:∑Ò2? ∑H26,? @3∆)6= ∑f2"+ ∑Ò2&∗G1Ò,7,x"∑ò2f†:∑Ò2? ∆ž̅1f,ò ;∆1Ò,7,x̅;∆ ∆)1,H,Ò ∆ž)H"∑ò2f†, ~ = © + 1,)É,<?∑GÉ2∑<2Ð,? ∆ž̅1f,ò@Ò,<,É ∆G?)É,<∑É2∑<2Ð,? ∑H2Ð,? @Ò,<,É ∆ž̅)H@Ò,H,É ∆17,x15,A¤, ©∆)6∆)17,x+15,A= 1,+, Æ = 1,¤∗);− 1,1Ò,7,x)Ò,<1Ò,7,xотсюда получаем связь между коэффициентами ∆ž̅1f,ò ∆ž̅)< ,∆ž̅1f,ò ,∆)∆)6)Ò,<17,x17,x∆ž̅)H и коэффициентами ∆ž1f,ò , ∆ž∆)6 , ∆ž1f,ò, ∆ž∆)Ð :G17,x1Ò,7,x∆ž1f,ò = ∑Ò2? ∆ž̅1f,ò , ~ = © + 1,G?17,x∑H26,? @∆ž∆)1 = ∑Ò2¤, ©̅1Ò,7,x ,~,H,Ò ∆ž)H= 1,¤;− 1, ï = ] + 1,= © + 1,G?∆)6)É,<∑<2Ð,? ∆ž̅1f,ò∆ž1f,ò= ∑É2@Ò,<,É ,ï = ] + 1,¤, ©¤, ]= 1,= 1,∆)G?)É,<∑<2Ð,? ∑H2Ð,? @Ò,<,É ∆ž̅)H∆ž∆)Ð = ∑É2@Ò,H,É , Æ = 1,¤¤;¤, ]= 1,¤− 1, Æ = 1,− 1, Æ = 1,∗).− 1,(3.87)∗),(3.88)∗),(3.89)(3.90)Используя уравнения (3.87) – (3.90), получим коэффициенты восприимчивостей всей системы, зная коэффициенты восприимчивости ее простыхподсистем.
Эти уравнения будут использованы при построении матрицывосприимчивостей сложной системы и аналогичны (3.52).3.1.14. Учет случайных факторовКак отмечалось выше и в [27, 28, 34] важнейшую роль в образованиидиссипативных структур играют флуктуации. Эти флуктуации, как ужеотмечалось выше, можно учесть, как введя случайные силы ∆сл1j,},∆сл∆)6,так и введя случайные внешние потоки -сл 07 , ,сл $x . С учетом случайных88потоков уравнения баланса (3.50) и (3.51) примут вид:163⋯)&3∆),$X &! ⋮ "=c ⋮)1&,$ &3∆)W &,7)&[⋮ d!)3∆)1∗⋯⋯&1&3∆)1∗&Z8-∆$,сл $,8$⋮ " + ! ⋮ " + ! ⋮ "; (3.91)8-∆$ &∗,8$ &,сл $= - 7 07 − ∑x2& .7,x ,$x + -8&07 + -сл 07 , © = 1,8¤.(3.92)Потенциально-потоковые уравнения (3.72) – (3.74) запишем с учетом слусл¤jчайных силсл)},,∆,∆сл1j,}сл∆)6(а потенциально-потоковое уравнение(3.72) с учетом внешних потоков -сл 07 , ,сл $x ):XccccW¤&[ Xc¤1" %& dd=cc)&d c⋮ d c⋮Z)1ÏÏÏ&ž¤& ,¤&⋮Xcž¤1" %& ,¤&+cž)& ,¤&c⋮žW )1ÏÏÏ& ,¤&XcW3 пер 1j,jß&⋮3 пер 1j,1"∆ž17,7†∆)&+T⋮W@¤&[ Xc@ ¤1" %& dd cd+c@ )&cd cd c⋮⋮⋯⋱⋯⋯⋱⋯@)1ÏÏÏ&17,∆ž∆)& "⋯⋱⋯@слWž¤& ,¤1 %&"⋮ž¤1" %&@сл)1ÏÏÏ&Zž¤& ,)&⋮ž¤1,¤1" %&,)" %& &ž)& ,)&⋮ž)1ÏÏÏ& ,)&"∆ž17,7†1x,x†T⋮17, "∆ž1x,x†∆ž17,7†∆)1ÏÏÏ&¤&8[d¤1" %&dd+@сл )& ddd⋮⋮ž)& ,¤1 %&"⋮ž)1ÏÏÏ& ,¤1 %&["d = ∑x2ZZ@сл8∆⋯⋱⋯⋯⋱⋯ž¤& ,)1ÏÏÏ&⋮[Xcž¤1 %& ,)1ÏÏÏ& d"dcž)& ,)1cÏÏÏ&dc⋮ž)1ÏÏÏ& ,)1ÏÏÏ& ZW∆∆ž17,7†1x, "VT⋮17, "∆ž1x, "∆+∆⋮VT⋮17, "∆ ∆)1+∆∆ž∆)1ÏÏÏ&ÏÏÏ∆)&⋯⋱⋯&164сл∆)&сл∆)1ÏÏÏ&1},}ß&1},1"V , © = 1,¤1"+∆⋮+∆¤− 1,+⋮+%&¤&)& +⋮+)Ï1ÏÏ&сл1},}ß&сл1},1"сл¤&[слd¤1" %&сл)&сл)1ÏÏÏ&V+d,ddZ(3.93)(3.94)&∆ž1x,x†⋮T)1∗&∆ž1x,x†3∆)&∆)T ⋮ V = ∑x2"3∆)1∗&∆ž∆)&&⋯ ∆ž∆)& ∗∆)∆)∆)∆⋯ ∆ž1x,& "⋱⋮VT)1∗∆⋯ ∆ž1x,&+∆⋱⋮ [T⋮)1∗∆ ∆)1+∆⋯ ∆ž∆) & ∗ÏÏÏ&1& Z+X ⋮)1∗∆ž∆) &&W1&∆∆)&"сл∆)&сл∆)1ÏÏÏ&V.1},}ß&1},1"+∆⋮+∆сл1},}ß&сл1},1"V+(3.95)Итак, потенциально-потоковые уравнения (3.93) – (3.95) позволяют учестьвнутренние флуктуации; в уравнение (3.93) входят также и внешние флуктуации (флуктуации внешних потоков).Уравнение баланса (3.19) перепишем с учетом флуктуаций:,$ • & †•! ⋮ " = ∑x2&,$ &#*:¤,±£¡& ,)& …)1ÏÏÏ& ;#)},$x − ,8$x −,сл8,$x + !$ • & † + ,сл8 $ • & †".⋮88, $ & + ,сл $ &8(3.96)Уравнение баланса энергии (3.18) перепишем с учетом флуктуаций:,"− ∑72= ∑72" †′":,7"°∑x2& .7,x:,$x − ,−,87−7;,сл88+,$x − ,сл8 $x ; −8"+,сл8".(3.97)Уравнения баланса (3.96), (3.97) и потенциально-потоковые уравнения(3.93) аналогичны системе (3.99).
Уравнения баланса (3.91) и (3.92), а также потенциально-потоковые уравнения (3.94), (3.95) аналогичны системеуравнений (3.102). Система уравнений (3.91), (3.92), (3.94), (3.95) болееудобна в практическом применении, чем система (3.93), (3.96), (3.97).И, наконец, рассмотрим теперь простые подсистемы моделируемойсистемы. Случайные силы в простых подсистемах связаны со случайнымисилами всей системы уравнениями, аналогичными (3.83), (3.84):∆слÉ,1j,}∆=∆сл∆),É,<сл1j,}, ~ = © + 1,= ∑Ò2& @Ò,<,É ∆∗¤ ,©сл∆)6= 1,, Ì = 1,¤− 1,Ë = 1, Ȩ ,É,¨ ,Ë = 1, Ȩ .(3.98)(3.99)Потенциально-потоковые уравнения для простых подсистем сложной системы аналогично (3.85), (3.86) примут вид:165пер361j,}+ ∑H26,?= ∑f2"1Ò,7,x"∑ò2f†∆ž̅1f,ò ∆1Ò,7,x∆ž̅∆)H :∆3∆)6,;= ∑f2"+ ∑H26,?∆),Ò,H+∆Ò,15,Aсл∆),Ò,H ; , ~= © + 1,∆)Ò,<"∑ò2f†∆ž̅1f,ò ∆∆)Ò,<∆ž̅∆)H ∆∆),Ò,H+∆+∆слÒ,15,AÒ,15,Aсл∆),Ò,H¤, ©+∆, Ì = 1,+= 1,слÒ,15,A¤É,¨ , Æ− 1, Æ = 1, Ȩ ,+= 1, Ȩ .(3.100)(3.101)Уравнения (3.100) и (3.101) позволяют определить скорости неравновесных процессов в простых подсистемах.
Для этого необходимо определитьслучайные силы в простых подсистемах согласно (3.98) и (3.99) и затем согласно (3.100) и (3.101) определить скорости неравновесных процессов впростых подсистемах.3.2. АКСИОМАТИКА И ФОРМАЛИЗМ СОВРЕМЕННОЙНЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИВ предыдущем параграфе мы рассмотрели связь уравнений потенциально-потокового метода с современной неравновесной термодинамикой.Также было показано, что потенциально-потоковые уравнения являютсяматематической основой кинетической теоремы неравновесной термодинамики.
Как видно из предыдущего параграфа, объединив потенциальнопотоковые уравнения с уравнениями современной неравновесной термодинамики, можно получить замкнутый формализм современной неравновесной термодинамики, базирующийся на аксиомах (началах) современнойтермодинамики.В настоящем параграфе будут изложены аксиомы (начала) современной термодинамики, затем на основе этих начал, используя изложенноев первом параграфе, будут предложены формализмы математического моделирования неравновесных процессов и формализмы построения кинетической матрицы.3.2.1. Аксиоматика современной термодинамикиСовременная термодинамика (в том числе и современная неравновесная) базируется на аксиомах (началах) термодинамики [5 – 7]. В насто166ящее время существуют нулевое, первое, второе и третье начала термодинамики.
Эти начала полностью описывают неравновесные процессы [7];однако для описания неравновесных процессов этих начал термодинамикинедостаточно [25, 64], т.к. эти начала термодинамики не содержат никакойинформации относительно общих особенностей динамики неравновесныхпроцессов в рамках нулевого, первого, второго и третьего начал термодинамики [25, 26, 33, 64]. Для полноты аппарата современной неравновеснойтермодинамики необходимо к нулевому, первому, второму и третьемуначалам термодинамики добавить дополнительное положение современной неравновесной термодинамики [25, 26, 33, 64] – кинетическую теоремунеравновесной термодинамики.В настоящем пункте мы рассмотрим эти вышеперечисленные началатермодинамики, в том числе и кинетическую теорему неравновесной термодинамики, более подробно, вместе с их математическим аппаратом.Также приведем формулировки этих начал.3.2.1.1.
Нулевое начало термодинамикиНулевое начало термодинамики гарантирует наличие равновесногосостояния, в которое придет система, находящаяся при фиксированныхвнешних условиях [7]. Примерами систем, находящихся при фиксированных внешних условиях, являются [5, 7, 95]: изолированная система, изобарно-изотермическая система, изохорно-изотермическая система, изохорно-изоэнтропийная система, изобарно-изоэнтропийная система, и т.д. Этисистемы эволюционируют в состояние равновесия [5, 7, 95].
Вывести такиесистемы из состояния равновесия могут только внешние воздействия [5, 7,95].Нулевое начало термодинамики помимо констатации факта эволюции неравновесной системы в состояние равновесия характеризует такжеся в том, что если равновесные состояния систем ž и Ä при приведении ихтранзитивность равновесного состояния [5, 7, 21]. Это свойство заключает-167только теплотой) не нарушатся, а также равновесные состояния систем ž ив термическое взаимодействие (при котором системы могут обмениватьсяB при приведении их в термическое взаимодействие также не нарушатся,то равновесные состояния систем Ä и B при приведении их в термическоевзаимодействие также не нарушатся [5, 7, 21].Это свойство равновесныхсистем имеет важное значение для равновесной термодинамики [5, 7, 21]:на основе свойства транзитивности была введена равновесная температура.Второе начало термодинамики дает связь равновесной температуры с энтропией; именно аналогично этой связи выше была введена неравновеснаятемпература неравновесных систем, которая имеет свойства равновеснойтемпературы.Итак, нулевое начало термодинамики состоит из двух частей: равновесной и неравновесной.
Неравновесная часть констатирует эволюцию систем, находящихся при фиксированных внешних условиях, в состояниеравновесия, а равновесная часть – транзитивность равновесного состояния.Рассмотрим формулировки каждой из этих частей отдельно.Неравновесная часть нулевого начала термодинамикиНулевое начало термодинамики для неравновесных систем формулируется в виде [7]:Для каждой термодинамической системы, находящейсяпри фиксированных внешних условиях, существуют состояния равновесия (одно или несколько), которых она стечением времени самопроизвольно достигает.Таким образом, из неравновесной формулировки нулевого началатермодинамики вытекает классификация термодинамических систем назамкнутые (находящиеся при фиксированных внешних условиях) и незамкнутые (не находящиеся при фиксированных внешних условиях) постремлению системы эволюционировать в состояние равновесия или от168сутствию этого стремления.
Концепция замкнутых и незамкнутых системиспользуется для дальнейшей разработки формализма современной неравновесной термодинамики.Равновесная часть нулевого начала термодинамикиНулевое начало термодинамики для равновесных систем формулируется в виде [7, 21]:Если равновесная термодинамическая система А, находясь поочередно в термическом взаимодействии с равновесными системами В и С, то термическое взаимодействие систем В и С не нарушит их равновесных состояний.Нулевое начало термодинамики для равновесных систем дает возможность ввести для этих систем температуру (равновесную) [21]. Введяравновесную температуру, можно для равновесных и неравновесных систем ввести функцию энтропии, сформулировав аппарат равновесной термодинамики [21].
Введя энтропию, можно получить связь температуры(равновесной) с энтропией, а по аналогии – ввести неравновесную температуру в случае отсутствия локального равновесного состояния. Энтропиюможно определить и через статистическую теорию.3.2.1.2. Первое начало термодинамики и законы сохраненияКак отмечалось выше, законы сохранения накладывают алгебраическую связь координаты состояния неравновесной системы. Частным случаем законов сохранения является закон сохранения энергии – первоеначало термодинамики. Именно поэтому математическую формулировкупервого начала термодинамики мы будем рассматривать вместе с математической формулировкой законов сохранения.В предыдущем параграфе мы рассмотрели общий вид законов сохранения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
