Петелин_Нелинейная термодинамика (831915), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Придадим системе возмущения по обеим переменным q1 и q2:q1  q1 (t )  q1( s ) ;q2  q2 (t )  q2( s ) .(7.3)Подставим q1, q2 в дифференциальные уравнения для F1,2,разложим функции F1,2 в ряд вблизи исследуемой особой точки(s)q1,2, тогда в линейном приближении получим:d q2 a11q1  a12q2 ;dtd q2 a21q1  a22q2 ,dtпричем aik Fiqks)q (1,2(7.4).Будем искать решение полученной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде75q1 (t )  A11e p 1 t  A12 e p 2 t ;q2 (t )  A21e p 1 t  A22 e p 2 t ,(7.5)где Аik — постоянные интегрирования, которые зависят от начальных значений q1,2(0).Для определения р1,2 запишем характеристическое уравнениесистемы дифференциальных уравнений (7.4):a11  pa12 0.a21a22  p(7.6)Если раскрыть определитель, получимp 2  (a11  a22 ) p  (a11a22  a12 a21 )  0.(7.7)Уравнение является квадратным относительно р, оно имеет дварешения — р1 и р2.Исследуем всевозможные сочетания корней р1, р2.

Их шесть:• р1, р2 — действительные отрицательные числа, тогда возмущения со временем «рассасываются» (показатели экспонент отрицательны); особая точка является устойчивым узлом; траекториивблизи устойчивого узла и зависимость от времени приведены нарис. 7.1;Рис. 7.1. Траектория вблизи устойчивого узла (а) и поведение системы (б)• р1, р2 — действительные положительные числа, возмущениярастут неограниченно; особая точка — неустойчивый узел(рис. 7.2);• р1, р2 — действительные числа, имеющие разные знаки (однаиз экспонент растет, другая убывает); особая точка — седло и онанеустойчива (рис. 7.3);76Рис.

7.2. Траектория вблизи неустойчивогоузла (а) и поведение системы (б)Рис. 7.3. Траектория вблизи седла (а) и поведение системы (б)• р1, р2 — комплексные числа с положительной действительнойчастью; особая точка — неустойчивый фокус; траектория вблизиособой точки и поведение системы показаны на рис. 7.4;Рис. 7.4. Траектория вблизи неустойчивогофокуса (а) и поведение системы (б)• р1, р2 — комплексные числа с отрицательной действительнойчастью; особая точка — устойчивый фокус (рис. 7.5);• р1, р2 — числа чисто мнимые, тогда решение выражается тригонометрическими функциями, показанными на рис.

7.6, особаяточка — центр, который обладает устойчивостью, так как q1,2 со77Рис. 7.5. Траектория вблизи устойчивого фокуса (а) и поведение системы (б)Рис. 7.6. Траектория вблизи центра (а) и поведение системы при маргинальной устойчивости (б)временем не растут. Поведение системы вблизи центра — типичный пример маргинальной (безразличной) устойчивости.Шести видам фазовых траекторий вблизи особых точек соответствуют шесть типов поведения системы вблизи стационарногосостояния. Вспомним, что система с одной переменной имела всего два возможных типа поведения.Пример.

Проанализируем на устойчивость металлургическуюсистему, уже рассмотренную в качестве примера неравновесныхпереходов: восстановление вюстита оксидом углерода СО в присутствии твердого углерода. Только теперь выберем такие условия, при которых восстановительная реакция сильно смещенавправо:FeO+CO → Fe+CO2а реакция газификации протекает обратимо:CO 2  C  2CO 278Это возможно, например в том случае, если концентрация (илиактивная поверхность) твердого углерода достаточно велика, кроме того, система открыта, т. е. газы СО и СО2 могут свободно выходить из реакционной зоны, причем тем быстрее, чем больше ихконцентрация:k3CO k4CO 2 Будем следить за изменением концентраций обоих газов, концентрацию СО обозначим через x, СО2 — через y.

Тогда кинетические уравнения (модель системы) можно записать в видеx   (k  k3 ) x  k y  k2 x 2  F1 ( x, y );y  k x  ( k  k4 ) y  k2 x 2  F2 ( x, y ),(7.8)где k  k1 S FeO ; k  k2 SC ; SFeO — эффективная реакционная поверхность вюстита; k1 — константа скорости прямой реакциигазификации; SC — эффективная реакционная поверхность твердого углерода; k2 — константа скорости обратной реакции газификации.Для анализа данной системы определим стационарные состояния, решив стационарные уравнения:F1 ( x ( s ) , y ( s ) )  0;(7.9)F2 ( x ( s ) , y ( s ) )  0.Обнаруживаем, что стационарное состояние единственное:x  y ( s )  0.Исследуем поведение системы вблизи стационарного состояния, для чего придадим концентрациям малые возмущения — δх иδy, подставим их в кинетические уравнения и отбросим все членыкроме линейных.

Получим систему линейных дифференциальныхуравнений. Найдем коэффициенты aik :(s)a11 F1xF2a21 xx 0x 0 (k  k3 ); k ;a12 a22F1yF2y kI ;y 0(7.10) (k  k4 ).y 079Далее воспользуемся характеристическим уравнением, подставив в него полученные значения aik :p2  ( a1  a2 ) p  ( a1a2  k k )  0,(7.11)где a1  k  k3 , a2  k  k4 .Найдем решение характеристического уравнения:1/2p1,2a1  a2  (a1  a2 ) 2  4k k 24.(7.12)Полученное решение свидетельствует, что его корни р1 и р2всегда действительны (выражение в квадратных скобках всегдаположительно) и меньше нуля, т.

е. р1 < 0, р2 < 0 (так как второйчлен решения всегда меньше первого). Это значит, что стационарная точка x ( s )  y ( s )  0 — устойчивый узел. Концентрации СО иСО2 со временем стремятся к нулю, реакция затухает. Становитсяясно, что реальная восстановительная система, соответствующаяданной модели, самопроизвольно функционировать не может. Длястационарного протекания восстановительной реакции схему опыта надо изменить (например, создать постоянный приток монооксида углерода).Анализ устойчивости особых точек, проведенный для систем сдвумя переменными, можно распространить на системы с произвольным числом переменных (см.

прил. 1).7.2. Предельные циклыПроиллюстрируем особенности двумерных моделей неравновесных систем в сравнении с одномерными на примере движениячастицы (шарика) по дну круглого желоба с постоянной угловойскоростью ω. Запишем уравнения движения частицы в полярныхкоординатах:q1 = r cos φ; q2 = r sin φ,(7.13)где r — радиус-вектор частицы; φ — полярный угол.Они будут иметь следующую форму:r = F(r); φ = ω.(7.14)Первое уравнение из (7.14) фактически задается формой желоба, второе отражает факт постоянства угловой скорости.80Пусть функция F(r) градиентная,т.

е. можно ввести потенциал F(r) == –dV/dt. Тогда кривая V(r) при вращении вокруг оси (рис. 7.7) образует поверхность, называемую потенциальной — «рельеф местности», в которойпроисходит движение частицы. Так какжелоб имеет круговую форму, то и по- Рис. 7.7. Потенциальнаятенциальная кривая должна быть сим- поверхность при движении частицы по кольцевометричной относительно оси вращения.мужелобуПонятно, что какими бы ни былиначальные координаты частицы r(0) иφ(0), частица обязательно будет приближаться к стационарнойкруговой траектории, расположенной на самом дне желоба. Этопроисходит оттого, что желоб расположен между двумя склонами,наружным и внутренним, значит, частица при движении вдоль желоба всегда имеет минимальную потенциальную энергию.На рис. 7.8 изображена фазовая плоскость q1 – q2, на которой траектория движениячастицы при любых начальныхзначениях координат будетиметь спиралеобразную форму.Если начальное значениерадиуса-вектора частицы меньше радиуса кругового желоба r0, то траектория движенияРис.

7.8. Фазовый портрет движечастицы будет представлятьния частицы вблизи кольцевогособой раскручивающуюся спижелобараль, если же r(0) > r0 — тоскручивающуюся. В обоихслучаях конечной будет круговая траектория по дну желоба. Замкнутая траектория, к которой стекаются все остальные траектории на фазовой плоскости, носит название устойчивого предельного цикла.Возможен другой вариант функции F(r) (рис. 7.9).

В этом случае потенциальная кривая имеет более сложную форму, а потенциальная поверхность похожа на глубокую симметричную яму, посклону которой проходит неглубокий кольцевой желоб.81Если начальный радиус-векторчастицы больше r0, то частицаскатится на дно желоба r = r1, дножелоба соответствует устойчивому предельному циклу (как впредыдущем примере). Но есличастица в начале движения имееткоординату 0 < r(0) < r0, то онаскатится на дно ямы.

Траекторияпри r = r0 характерна тем, что всеРис. 7.9. Устойчивый и несоседние траектории от нее удаустойчивый предельные циклыляются — или в сторону дна ямы,или в сторону кругового желобапри r = r1. Замкнутую траекторию, от которой удаляются все соседние, называют неустойчивым предельным циклом.Наряду с особыми траекториями — предельными циклами, которые присущи моделям с двумя переменными, в них присутствуют и особые, соответствующие стационарным состояниям критические точки.

Так, точка с координатой r = 0 в обоих рассмотренных примерах функций F(r) является особой. В первом случаеособая точка неустойчива — вершина холма, во втором устойчива — дно ямы.Поведение системы, находящейся в предельном цикле, — этоколебательный процесс. Если речь идет об устойчивом предельном цикле, то амплитуда колебаний не уменьшается со временем.Система испытывает самоподдерживаемые колебания — автоколебания. Если в начальный момент времени система находилась внеустойчивом предельном цикле, то частота и амплитуда колебаний со временем меняются.Тип колебательного состояния (фазы) зависит от того, какимспособом система попадает в предельный цикл. Возвращаясь крис. 7.7 и 7.9, можно заметить, что траектории частицы, приводящие в предельный цикл от состояния r = 0, в первом и втором случаях качественно отличаются. Для частицы, находящейся в условиях, соответствующих рис.

Характеристики

Список файлов книги