Петелин_Нелинейная термодинамика (831915), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

е. была изучена устойчивость стационарных состояний. Кроме того, было сказано, что при измененииодного или нескольких управляющих параметров стационарноесостояние может терять устойчивость (образование или разрушение диссипативных структур, переход к турбулентности и т. д.).Это означало, что происходит неравновесный переход, системапереходит в другую фазу.

С точки зрения динамической моделиэто означает, что перестраивается фазовый портрет системы, система теряет структурную устойчивость, т. е. происходит бифуркация. Вспомним, например, ангармонический осциллятор (илисоответствующие химические реакции).Можно рассмотреть более сложные случаи, когда меняютсясразу два (или более) управляющих параметра. Тогда задачу необходимо исследовать в пространстве двух управляющих параметров и одной переменной (внутреннего параметра), т. е. в трехмерном пространстве параметров. При этом вместо точки бифуркациипоявляется линия бифуркаций. Поэтому задача определения структурной устойчивости в системах, содержащих несколько перемен88ных и управляющих параметров, сильно усложняется и быстротеряет наглядность.Исследование динамических моделей в пространстве внутреннихи внешних параметров является предметом теории катастроф [6].Катастрофами называют скачкообразные изменения, возникающие при внезапном ответе системы на плавные изменениявнешних условий.

Катастрофами являются как равновесные фазовые превращения, так и неравновесные (динамические) фазовыепереходы.В теории катастроф исследуют только градиентные системы,общую модель которых можно схематически представить в видеdq j V (q j ,  i )fj  0,(9.2)dtq jих стационарные (равновесные) состояния определяются условиемV 0.(9.3)q jФранцузский математик Р.

Тома доказал теорему, согласно которой для общего числа параметров (внутренних и управляющих)k  5 потенциальная функция системы V (q j ,  i ) гладкой заменойпеременных может быть приведена к некоторой каноническойформе.Разберем примеры исследования нарушений структурнойустойчивости в простых системах, потенциал которых уже приведен к канонической форме.9.2. Катастрофа «складка»Пример 1. Рассмотрим систему с одним управляющим параметром.

Пусть потенциал системы можно выразить в форме1V (q, а)  q3  aq,(9.4)3где а — единственный управляющий параметр.Такого типа потенциал рассмотрен в случае нелинейных химических систем. Форма потенциала при изменении параметра a меняется, как показано на рис. 9.1.89Рис. 9.1. Задача с одним управляющим параметром в теории катастроф, форма потенциалаОпределим, присутствует ли в этой системе катастрофа, т. е.скачкообразное изменение формы потенциала, и найдем вид бифуркационного множества.

Для этого определим геометрическое место точек стационарного состояния на плоскости параметров q – a. Если dV/dq = 0, то q2 + a = 0.Полученное уравнение описывает геометрическое место особых бифуркационных (стационарных) точек (точек, соответствующих решению полученного уравнения). Уравнение имеет решение в отрицательной полуплоскости (рис. 9.2, а).

В правой положительной полуплоскости особых точек нет. Переход ототсутствия решений к двум решениям происходит, как видно, вточке a = 0, которую называют двукратно вырожденной. Положение двукратно вырожденной точки находят, решая уравнение d2V/dq2 = 0, из которого следует, что q = 0 и a = 0. Эта особая двукратно вырожденная бифуркационная точка представляет собойРис. 9.2. Катастрофа «складка»:а — геометрическое место особых (стационарных) точек;б — диаграмма решений и точка бифуркации90искомое бифуркационное множество в пространстве управляющего параметра a (рис. 9.2, б).

Таким образом, в системе имеет местокатастрофа, которую называют катастрофой «складка» — поформе кривой стационарных состояний в плоскости параметров.9.3. Катастрофа «сборка»Пример 2. Рассмотрим систему с двумя управляющими параметрами. Пусть потенциал системы имеет вид11V (q, a, b)  q 4  q 2  bq,(9.5)42где a и b — управляющие параметры.Построим стационарную поверхность в пространстве параметров q–a–b , для чего решим стационарное уравнениеdV(9.6) q 3  aq  b  0.dqВнешний вид поверхности равновесия (стационарности), определяемый этим уравнением, показан на рис.

9.3.Рис. 9.3. Катастрофа «сборка» в двухпараметрической задаче:а — поверхность равновесия в пространстве параметров; б — бифуркационноемножество (сепаратриса) на плоскости a – bПредположим, что в системе присутствует катастрофа. Проверим это. Определим вид геометрического места двукратно вырожденных особых точек в пространстве параметров a–b. Для этогорешим уравнение91d 2V 3q 2  a  0  a  3q 2 .dq2(9.7)Подставив полученное значение а в уравнение стационарной(равновесной) поверхности, получим b = 2q2. Уравненияa = –3q2; b = 2q3(9.8)определяют положение бифуркационного множества на плоскостиуправляющих параметров a – b.

Это множество представляет собой линию, которую называют сепаратрисой, состоящую из двухсимметрично расположенных ветвей, каждая из которых разделяетна плоскости параметров области с разным типом потенциала.Точка схода ветвей сепаратрисы носит название трехкратно вырожденной особой точки. Ее положение (а она, как видно, находится в начале координат) определяется уравнениемd 3V 6q  0,dq 3(9.9)откуда q = 0 и a = b = 0.Катастрофа канонической формы потенциала в данном примеретакже, видимо, из-за внешнего сходства поверхности равновесия спортновской сборкой, носит название катастрофы «сборка».Итак, если система градиентная, то с помощью теории катастроф можно исследовать структурную устойчивость системы,найти точки, линии или поверхности бифуркационного множества,а значит определить, где (при каких значениях управляющих параметров) расположена граница, разделяющая различные неравновесные фазы (состояния) системы.

Для этого надо привести потенциал системы к каноническому виду и определить все n-кратновырожденные особые точки (n = 1, 2, …, k, где k — общее числопараметров системы).Несмотря на многообразие неравновесных процессов, на сложность реальных систем, предыдущее рассмотрение показало, чтовозможен некоторый единый подход, позволяющий в ряде случаевполучить необходимые данные относительно поведения нелинейных систем. Этот подход можно попытаться выразить в виде краткого алгоритма, приведем один из возможных его вариантов.Что надо сделать, чтобы исследовать поведение неравновеснойнелинейной системы?92Необходимо построить динамическую модель исследуемой системы — представить динамику системы в виде дифференциальных уравнений по возможности так, чтобы число независимыхуравнений было не меньше числа независимых переменных (внутренних параметров).Решая стационарные уравнения, нужно определить особые точки, которые соответствуют стационарным или равновесным состояниям.Если модель описывается градиентной системой уравнений, исследовать устойчивость стационарных состояний по форме потенциала или путем линейного анализа устойчивости (можно использовать локальный критерий Гурвица, см.

прил. 2); если полноечисло переменных не более пяти, можно воспользоваться методами теории катастроф; для неградиентных систем следует использовать глобальный критерий Ляпунова (см. прил. 2).Вопросы для самоподготовки1. Поведение какой термодинамической величины моделирует потенциал, используемый в теории катастроф для анализа поведения сложныхсистем?2. Анализ какой из описанных ранее систем получил развитие при исследовании катастрофы сборки?9310. АКТИВНЫЕ СРЕДЫПри анализе динамических моделей химических реакций поумолчанию было принято, что диффузия в реакционной зоне может осуществляться достаточно быстро.

Подвод и отвод компонентов (реагентов) не лимитирует стадию химического реагирования, система остается однородной, гомогенной. Однако диффузиюможно считать мгновенной только при высоких температурах илив специальных объектах, в которых есть каналы ускоренной диффузии. Обычно же скорость диффузии заметно влияет на кинетикухимических реакций.Это относится не только к химическим системам.

Аналогичныеявления имеют место в непрерывных средах, в которых под влиянием внешних воздействий происходят диссипативные процессы.Среды, в которых процессы диссипации зависят от процессов переноса, называют активными.Для того чтобы изучить диссипативные процессы и возможныесостояния активных сред, построим упрощенную модель среды.Разобьем непрерывную среду на элементы. Будем считать, чтовнешнее воздействие рассредоточено, т.

Характеристики

Список файлов книги