Петелин_Нелинейная термодинамика (831915), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

При фазовых превращениях первого рода это означает,что фаза стабильна. Состояние q3 отвечает локальному минимумупотенциала и соответствует метастабильной фазе в равновесии.Образовавшийся зародыш стабильной фазы достаточно большогоразмера начинает расти и дает начало двум разбегающимся волнампереключения (фронт кристаллизации, например), после чего всясреда переходит в стабильное состояние.Критический размер зародыша определяется, как и в кинетикефазовых превращений, из баланса двух факторов: уменьшения(термодинамического) потенциала системы при переходе в болееустойчивое состояние и наличия возмущения, которое повышаетпотенциал.99Если оба состояния равнозначны (V ( q3 )  V ( q1 )), то возможностационарное сосуществование двух фаз с плоским переходнымслоем (аналог границы зерна в поликристалле), несмотря на то чтоэто повышает энергию системы.

Когда размер системы многобольше толщины переходного слоя, система может разбиться напроизвольное количество областей — доменов, соответствующихразным фазам.10.2. Возбудимые средыСреды, в которых возможно распространение одиночных волн,называют возбудимыми.Рассмотрим вновь ячейку горения. Предположим, что в нейприсутствует ингибитор, т.

е. вещество, ухудшающее условия горения. Тогда тепловой эффект горения будет зависеть не только оттемпературы Т, но и от концентрации ингибитора cin (чем большеcin, тем меньше Q). В этом случае имеем следующую модель процесса горения:Q(T , cin )F (T , cin )   (T  T1 ) ,(10.15)Cа модель среды —T 2T F (T , cin )   2 .tx(10.16)Если концентрация ингибитора не меняется в процессе горения,т. е. cin играет роль внешнего параметра, среда остается бистабильной. При малых значениях cin и Т > T1 (рис. 10.4) в среде распространяется волна зажигания; при тех же условиях, если cin велико, в среде распространяется волна гашения.Иначе среда реагирует на внешнее воздействие, если ингибиторвыделяется в процессе горения, а затем уходит в окружающуюсреду. Зададим скорость изменения концентрации ингибитора безучета его диффузии в видеcin 1  cin  cin (T ) ,(10.17)tгде  — характеристическое время релаксации, которое велико посравнению с временем перехода от холодного состояния к горяче100му; cin (T ) — равновесная концентрация ингибитора для даннойтемпературы, монотонно растет с ростом Т.Уравнение для ингибитора вместе с моделью среды описываетодиночную волну (уединенный бегущий импульс, см.

рис. 10.4).Рис. 10.4. Распространение волны в возбудимой среде:а — изменение температуры в волне; б — изменение концентрации ингибитора в волнеДействительно, при загорании происходит резкий рост температуры — это фронт импульса, волна загорания. Затем происходитпостепенное накопление ингибитора, и температура снижается,пока не опустится до предельного значения, при котором еще возможно горение: Т = Т2. Тогда наступает резкий спад температуры — волна гашения, и состояние среды возвращается к исходному.

Концентрация ингибитора меняется плавно, без скачков, чтоявляется следствием большого времени релаксации .Вопросы для самоподготовки1. Можно ли с помощью модели «ячейка горения» описывать диффузионные процессы при превращениях в твердых фазах? Если да, то приведите пример таких процессов.2. Какие реальные природные и технические системы имеют свойствавозбудимых сред?101ЛИТЕРАТУРА1. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика.

Оттепловых двигателей до диссипативных структур. М.: Мир, 2009.461 с.2. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. 404 с.3. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1979. 279 с.4. Жуховицкий А.А., Шварцман Л.А. Физическая химия. М.: Металлургия, 2000. 688 с.5. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах. М.: Металлургия, 1978.248 с.6. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984.350 с.7. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику.

М.:Наука, 1990. 272 с.8. Петелин А.Л. Основы синергетики для металлургов: курслекций. М.: МИСиС, 1993. 118 с.102Приложение 1Устойчивость систем с n переменнымиОбобщим результаты, полученные для систем с одной и двумяпеременными, на системы с произвольным числом переменных.Запишем динамические уравненияq j  F j (q1 , q2 , ..., qn ).(П1.1)Так же, как и раньше, определим стационарные значения qj(s) изуравненийF j (q1 , q2 , ..., qn )  0.(П1.2)Далее по установленной схеме придадим каждой из переменных возмущения qi , подставим их в динамические уравнения,разложим динамические функции в ряд вблизи выбранной особой точки и оставим только линейные члены ряда.

Получим систему из n обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в сокращенной матричной форме можно записать в следующем виде:dq j aij qij ,(П1.3)dtгде aij Fiq j.q (j s )Решение этой системы имеет видq j (t )  Aij e pitq1  a11e p 1t  a12 e p 2t  ...  a1n e pnt . . ..p 1tpn tqn  an1e  ...

 ann e(П1.4)Для определения p1 – pn запишем характеристическое уравнение этой системы103a11  pa12...a21a22  p ..................a1na2 n... 0,(П1.5)... ann  pилиC0 p n  C1 p n 1  ...  Cn  0,(П1. 6)где C0, C1, …, Cn — коэффициенты разложения.Полученное алгебраическое уравнение n-й степени в некоторыхчастных случаях (приведенное кубическое, биквадратное и т. д.)можно решить, найдя значения всех n корней. Однако общие выводы относительно устойчивости системы можно сделать не решая данного уравнения. Они заключаются в следующем:• если действительные части всех (!) корней pi меньше нуля: Repi < 0, то отклонения со временем затухают, т.

е. соответствующаяособая точка (стационарное состояние) устойчива;• если хотя бы один из корней имеет Re pi > 0, то все возмущения будут со временем неограниченно возрастать, особая точканеустойчива;• если некоторые из корней имеют нулевую действительнуючасть, то система совершает периодические движения вблизи особой точки с неизменной амплитудой — это маргинальная устойчивость, аналог неасимптотической устойчивости вблизи центрадля систем с двумя переменными (иногда ее называют безразличной устойчивостью).104Приложение 2Критерии устойчивости.

Функция ЛяпуноваКритерии устойчивости и функцию Ляпунова используют в техслучаях, когда решить характеристическое уравнение не удается.Приведем без доказательства критерий асимптотическойустойчивости, который носит название критерия Гурвица.Запишем характеристическое уравнение n-й степени в следующем виде:f ( q)  C0 p n  C1 p n 1  ...  Cn  0.Если коэффициенты Ci действительны, то все действительныечасти корней pi отрицательны тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:1) С1/С0 > 0; C2/С0 > 0, …, Cn /С0 > 0;2) все главные миноры Hj квадратной матрицы C1 C3 ...00C0 0C2 C1... ...00...

...0 ...C0 ...... ...... Cn 1... 0,Cn Cn 00...т. е. H1 = C1; H2 = C1C2 – C0C3; …; Hn = Cn Hn−1 удовлетворяют неравенствам: H1 > 0; H2 > 0; …; Hn > 0.Итак, если при исследовании стационарного состояния наустойчивость возникает характеристическое уравнение n-й степени и для него выполняется критерий Гурвица, то стационарноесостояние является устойчивым.При исследовании устойчивости систем по траектории возможен анализ глобальной устойчивости (т.

е. устойчивости во всейрассматриваемой области фазового пространства), который проводится с использованием потенциала, и локальной устойчивости(т. е. устойчивости вблизи особых точек).105Для неградиентных систем можно провести анализ глобальнойустойчивости. Это было сделано Ляпуновым, он определил некоторую функцию VL(q), названную впоследствии функцией Ляпунова, заменяющую потенциал для неградиентных систем:1) VL(q) и ее первые производные непрерывны в некоторойокрестности  начала координат (особая точка взята в начале координат);2) VL(0) = 0;3) для q  0 VL (q )  0 в окрестности ;4) VL (q)  0 (q  {qi } — вектор состояния системы, значит.q  q(t ) и VL (q )  VL (t ), поэтому VL  grad VL q  F j (q)gradVL , т.

е.требование 4) означает, что F j (q)grad VL  0.Введя функцию VL (q ) указанным способом, Ляпунов доказалследующую теорему, которая является критерием глобальнойустойчивости: если в некоторой окрестности  особой точки существует функция Ляпунова VL (q), то особая точка устойчива;асимптотическая устойчивость имеет место в случае VL (q)  0.Пример функции Ляпунова для двумерной системы приведенна рис. П2.1.Рис. П2.1.

Общий вид функции ЛяпуноваДанная поверхность внешне похожа на потенциальную. Отличие состоит в том, что при движении системы (шарика) по потенциальной поверхности (аналогу механического потенциала)106система скатывается вниз всегда по траектории максимальногонаклона. Если существует функция Ляпунова, то в соответствии сусловием 4) система также движется «вниз», но уже по любойтраектории. Если VL (q)  0, то траектория параллельна плоскостиq1 – q2 — это случай неасимптотической маргинальной устойчивости.Из критерия Ляпунова вытекает важное следствие: потенциал,если он существует, всегда является функцией Ляпунова.107ОглавлениеВведение .....................................................................................................1. Основные понятия и определения ......................................................2. Общий термодинамический подход к описанию макросистем .......2.1.

Отличительные черты и особенности классическоготермодинамического описания.....................................................2.2. Степень отклонения от равновесия — критерий способовтермодинамического описания.....................................................2.3. Термодинамические основы описания неравновесных систем3. Линейная термодинамика ....................................................................3.1.

Первый закон Онзагера .................................................................3.2. Определение термодинамических сил. Второй и третийзаконы Онзагера.............................................................................3.3. Диффузионные задачи ..................................................................3.4. Принцип Пригожина .....................................................................4. Область нелинейных законов — универсальный критерийэволюции систем ..................................................................................5. Самоорганизация и диссипативные структуры .................................5.1. Увеличение степени порядка в неравновесных системах .........5.2.

Самоорганизация — эффект Бенара ............................................5.3. Самоорганизация — эффект Тейлора..........................................5.4. Самоорганизация — реакция Белоусова — Жаботинского.......5.5. Диссипативные структуры — свойства, классификация,условия существования .................................................................6. Нелинейная термодинамика — динамические модели процессовс одной переменной..............................................................................6.1. Динамические уравнения..............................................................6.2.

Эволюция систем — метод потенциала ......................................6.3. Автокатализ, динамика популяций ..............................................6.4. Автокатализ с ветвлением, бифуркации — неравновесныефазовые переходы..........................................................................6.5. Ангармонический осциллятор — нарушение временнойсимметрии ......................................................................................6.6. Эволюция систем — анализ динамической функции ................1083710101618272730353841464650535557606062646670727.

Характеристики

Список файлов книги