Петелин_Нелинейная термодинамика (831915), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

е. каждый элемент можносчитать отдельной системой, подверженной воздействию. Запишем динамическую модель для отдельного элемента в привычномвиде:(10.1)q  F (q ).Так как элементы между собой связаны, то следует учестьналичие потоков Jq, соответствующих типу взаимодействия междуэлементами (потока теплоты, потока вещества, потока зарядови т.

д.). Тогда динамическое уравнение примет следующий вид:q  F (q)  div J q .(10.2)Для среды, в которой присутствуют потоки диффузионного типа, полученное уравнение приобретет вид94q j  F j (q j )  D j q j ,(10.3)где Dj — коэффициенты переноса (коэффициенты диффузии), которые не зависят от пространственных координат.Отклик среды на внешнее воздействие будет зависеть от характера процессов, происходящих в каждом элементе, т. е.

от видафункции Fj и от интенсивности внутренних взаимодействий, мерой которых являются коэффициенты переноса.Разберем поведение активных сред, содержащих два типа элементов (функций Fj), которые соответствуют наиболее частовстречающимся на практике активным средам.10.1. Бистабильные средыБистабильной называют среду, состоящую из элементов, имеющих по два устойчивых (стабильных) стационарных состояния,причем переход из одного состояния в другое осуществляетсяжестким возбуждением [7, 8]. Элементы такой среды называютбистабильными, или триггерными.Ячейка горения.

Представим себе, что элемент среды — ячейка, в которой происходит процесс горения. При горении выделяется теплота, имеется теплообмен с соседними ячейками. Модельпроцесса горения, протекающего в ячейке, описывается уравнением теплопроводностиdT Q(T )  (T  T1 )  F (T ),(10.4)dtCгде Q(T) — теплота горения, Дж/с; С — теплоемкость; γ — коэффициент теплообмена; Т1 — температура окружающей среды.Рассмотрим схему работы ячейки горения. Ячейка горения имееттристационарныхсостояния(рис.

10.1): Т1 — горение отсутствует; Т3 — устойчивое горение, когдатепловыделение равно теплоотводу;Т2 появляется как математическоеследствие двух устойчивых стацио- Рис. 10.1. Вид динамическойнарных состояний при Т1 и Т3 функции F(T) для ячейки го(вспомним, что устойчивость ста- рения95ционарных состояний можно определить по знаку тангенса угланаклона функции F(T) в особых точках).Элемент среды может быть подвержен двум типам жесткоговнешнего воздействия: его можно перевести из состояния Т1 в состояние Т3 (т. е. зажечь) и из состояния Т3 в состояние Т1 (т.

е. погасить). Оба воздействия носят характер жесткого возбуждения.Если учесть взаимодействие таких ячеек, то уравнение теплопроводности следует записать следующим образом:T 2T F (T )   2 ,tx(10.5)где  — коэффициент теплопроводности.Полученное уравнение является модельным для бистабильнойсреды, содержащей в качестве элементов ячейки горения.Модель Шлегля. Рассмотрим химический процесс, состоящийиз двух звеньев:k1k2 3Х; Х ВА + 2Х k 1k 2Кинетическая модель этого процесса имеет видx  Ak1 x 2  k1 x3  k2 x  k2 B  F ( x)(10.6)и носит название модели Шлегля. Рассматриваемая реакция протекает в каждом элементе распределенной среды реагентов.

С учетом массопереноса между элементами среды модель следует описать следующим образом:x2 x F ( x)  D,tX 2(10.7)где Х — координата, вдоль которой распространяется взаимодействие элементов среды.Функция F(x) имеет три стационарных состояния и геометрически выглядит так же, как F(Т) для ячейки горения. Реакцию можножестким возбуждением запустить, подав в реакционную зону количество реагента х, большее некоторого порогового значения,или остановить, выведя весь реагент х из реакционной зоны.Запишем общий для трех рассмотренных случаев вид моделибистабильной среды:q  F (q)  Dq.(10.8)96Обозначим стационарные состояния модели следующим образом: q1 и q3 — устойчивые, а q2 — неустойчивое стационарное состояние.

Рассмотрим поведение бистабильной среды при наложении на нее внешнего возбуждения. Предположим, что стационарное состояние q1 является более устойчивым, чем состояние q3.Тогда элементы среды, подверженные внешнему воздействию, будут стремиться к состоянию q1 и потянут за собой своих соседей.По среде пройдет волна перехода q3 → q1, которую называют волной переключения.Рассмотрим распространение волны вдоль оси х. В уравнениизаменим переменную t на :  x  ct ,(10.9)где с — скорость распространения волны переключения; t — время. Тогда q  q ( ).

Введем граничные условия:q  q3 при   ;q  q1 при   .(10.10)Это означает, что сначала вся система была в состоянии q3, а вконце перешла в состояние q1, которое устойчивее. Уравнениесреды в новых переменных примет вид cq   F (q )  Dq .(10.11)Введем потенциал F (q)  V /q, тогда уравнение среды примет видV(10.12)Dq    cq .qПолученное уравнение по форме совпадает с уравнением движения частицы в потенциальном поле V с вязким трением, пропорциональным скорости (роль которой играет q  ). Переведемобозначения на язык механики: D (коэффициент диффузии) —масса «частицы»; с (скорость волны переключения) — динамическая вязкость; q — пространственная координата;  — время.Адекватность динамических уравнений свидетельствует, как известно, о подобии явлений. Поэтому проследив, как будет двигаться частица, попробуем сделать выводы о поведении бистабильной среды.Если вязкое трение отсутствует, т.

е. с = 0, то величинаE  V (q)  D  dq /d   /2  const — энергия «частицы». «Частица»,297получив жесткое возбуждение, достаточное для преодоления потенциального барьера при q2, падая вниз, минует яму при q1, поднимется вверх посклону горы на уровень, соответствующий запасу ее энергии, а затемобратно перескочит потенциальныйбарьер и вернется в положение q3(рис. 10.2).Если значение вязкости с велико,Рис. 10.2. К определениюто частица под действием возбуждескорости волны переклюния не сможет пройти насквозь почениятенциальный барьер и перейти в состояние q1 — она застрянет на склоне.

Существует единственноезначение вязкости с = с0 , при котором частица, получив жесткоевозбуждение, попадает из q3 в состояние q1. При с0 потеря энергии на трение должна быть в точности равна разности потенциала в точках q1 и q3: E  V ( q3 )  V ( q1 ). Это значение с0 и определяет скорость волны переключения.Скорость волны переключения с0 определяется только характеристиками среды (а не внешним воздействием). С уменьшениемE скорость с0 убывает, при V (q3 )  V ( q1 ) волна пойдет в другуюсторону.

Для произвольного вида функции F(q) нет аналитическихспособов расчета с0. В частном случае, если F(q) представляет собой полином третьей степени,(10.13)F ( q )  a ( q  q1 )( q  q2 )( q  q3 ); q1  q2  q1 ,можно получить точное решение:aDc0 (q1  q3  2q2 ).(10.14)2Рассмотрим поведение активной среды в зависимости отначальных условий.

Допустим, что в начальный момент временисреда неоднородна, т. е. часть ее находится в состоянии q1, ачасть — в q3. Проследим за эволюцией начального состояния, приэтом рассмотрим несколько основных случаев.1. Начальное состояние среды незначительно отклонено от одного из стационарных состояний (рис. 10.3, а).

Тогда со временемвся среда переходит в ближайшее стационарное состояние.98Рис. 10.3. Эволюция начальных распределений в бистабильной среде2. Часть среды находится в состоянии q1, часть — всостоянии q3. Граница будет двигаться так, чтобы во всей системе установилось более устойчивое стационарное состояние(рис. 10.3, б).3. Любое другое начальное состояние можно получить как комбинацию случаев 1 и 2 (рис. 10.3, в). Всегда в среде происходитрелаксация к одному из стационарных состояний. Поэтому двестолкнувшиеся волны гасят друг друга — аннигилируют.4. Малые возмущения среды стремятся рассосаться (рис.

10.3, г),так как нахождение среды в одном стационарном состоянии оказывается энергетически более выгодным. Если начальное состояние несоответствовало наиболее устойчивому (т. е. состоянию с болееглубоким минимумом потенциала), то создав достаточно большоевозмущение, ее можно перевести в последнее.При анализе поведения среды обнаруживается аналогия с фазовыми превращениями первого рода. Пусть фазы соответствуютсостояниям q1 и q3. Фаза q1 отвечает абсолютному минимуму потенциала.

Характеристики

Список файлов книги