Петелин_Нелинейная термодинамика (831915), страница 14
Текст из файла (страница 14)
7.7, колебания возникают самопроизвольно: частица, начиная движение в неустойчивой особой точке,сама со временем попадает в желоб. Чтобы возникло колебательное движение, достаточно бесконечно малого возмущения (флуктуации). Самопроизвольное возбуждение автоколебаний носит82название мягкого возбуждения (бытовой пример мягкого возбуждения — механические часы, после того как их завели).
В случае,показанном на рис. 7.9, для перевода частицы из равновесного положения (r = 0) в устойчивый предельный цикл (r = r1) надо преодолеть потенциальный барьер при r = r0, т. е. преодолеть пороговое значение потенциала V(r0). Такой способ перевода системы вавтоколебательную фазу называют жестким возбуждением.
Реализация того или иного типа возбуждения зависит от вида потенциала V(r) или, что то же самое, от вида функции F(r).Как могут происходить неравновесные динамические фазовые переходы всистемах, фазовые портреты которыхсодержат предельные циклы?Будем плавно менять вид функцииF(r), так чтобы глубина желоба насклоне ямы стала уменьшаться. В какойто момент точки r0 и r1 сольются в однуточку перегиба (рис. 7.10). Произойдетаннигиляция предельных циклов — Рис. 7.10. Слияние (анустойчивого и неустойчивого, которую нигиляция) устойчивогоможно представить бифуркационной и неустойчивого предельных цикловсхемой:устойчивый предельный цикл → отсутствие предельного цикнеустойчивый предельный цикл ла.Итак, можно констатировать, что в двумерных динамическихмоделях кроме особых точек, характеризуемых неизменностью вовремени переменной (концентрации, координаты, численностипопуляции) и отвечающих стационарным состояниям системы,появляются особые траектории и соответствующие им бифуркации (неравновесные фазовые переходы).Вопросы для самоподготовки1.
Почему устойчивость особых точек динамической модели позволяет найти конечное состояние системы?2. Возможны ли какие-либо иные, кроме шести перечисленных, варианты точечных конечных состояний для систем с двумя переменными?Обоснуйте ваш ответ.838. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИНЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМПонятие устойчивости, которое до сих пор многократно упоминалось, является центральным при исследовании сложных нелинейных систем. Стационарное состояние названо устойчивым,если система при неизменных внешних условиях находится в немнеограниченно долго. Зададимся вопросом, по отношению к чемупроявляется устойчивость системы. Как было отмечено ранее, вреальных условиях существуют случайные неконтролируемыевозмущения — флуктуации.
Если система находится в устойчивомсостоянии, то флуктуации, например начальных условий, не отразятся на дальнейшем поведении системы, она все равно останетсяв этом состоянии. Наоборот, флуктуации, как бы они ни были малы, помешают системе задержаться на вершине горы, в неустойчивом состоянии. Значит, здесь речь идет об устойчивости по отношению к флуктуациям.Для проведения исследования системы, находящейся в заданномсостоянии (стационарном или нестационарном), на устойчивостьнеобходимо математически определить понятие устойчивости.Существует несколько видов устойчивости систем.8.1. Устойчивость по траекторииРассмотрим некоторую траекторию uj(t) как движение системыв фазовом пространстве.
Эта траектория устойчива, если другиетраектории, которые в начальный момент времени t = t0 были рядом с траекторией uj(t), не удаляются со временем (рис. 8.1).Поясним это обстоятельство. Каждая траектория — это единственный путь (поведение) системы при заданных начальныхусловиях. Разные начальные условия дают разные траектории вфазовом пространстве. Если говорят, что траектории были рядом вначальный момент времени, это значит, что изучается поведение84системыприблизкихначальных условиях. Изтого что траектории современем не расходятся(остаются поблизости другот друга), следует, что значения переменных qi, характеризующих систему,имеющие небольшое различие при близких началь- Рис.
8.1. Поведение двух соседних траных условиях, также не- екторий движения системы в случаезначительноотличаются устойчивости по траекториидруг от друга и во все последующие моменты времени. С математической точки зрения этоозначает, что если задана окрестность S траектории uj(t) в фазовомпространстве и если все соседние траектории, исходящие из этойокрестности, всегда остаются в этой окрестности, то траекторияuj(t) устойчива (см. рис.
8.1). Если же нельзя найти такую окрестность, чтобы соседние траектории в любой последующий моментвремени не покидали ее, то траектория uj(t) неустойчива.Можно сузить это определение. Пусть соседние траектории uj(t)и vj(t) обладают свойствомu j (t ) v j (t ) 0 при t → ∞,(8.1)что означает, что они асимптотически стремятся друг к другу.Устойчивость, соответствующую данному определению, называютасимптотической устойчивостью по траектории.
Если жеu j (t ) v j (t ) при t → ∞,(8.2)то имеем дело с асимптотически неустойчивой траекторией.8.2. Орбитальная устойчивостьРассмотрим траекторию движения систем uj(t) с точки зрения еегеометрической формы.Пусть дана траектория u1(t). Если для заданного > 0 найдетсятакое η > 0, что точка R, движущаяся по траектории, близкой кu1(t), т. е. по соседней траектории в смысле близости начальныхусловий, в момент t0 находится от u1(t) на расстоянии не более η и85при t > t0 остается на расстоянии не большем , тоu1(t) — орбитально устойчивая траектория. Этоозначает, что если при небольшом изменении переменных qi системы вначальный момент времени ее траектория (орбита)не меняет свою форму вРис.
8.2. Движение систем при орбифазовом пространстве, тотальной устойчивости (соседние траектории)имеет место орбитальнаяустойчивость (рис. 8.2).Приведем пример: два самолета, вылетевшие примерно в однои то же время, но с разными скоростями, по одинаковому кольцевому маршруту, пролетают по орбитально устойчивой траектории для данной серии полетов несмотря на то, что расстояниемежду самолетами в процессе полета все время увеличивается.Орбитальная устойчивость также может быть асимптотической — в том случае, если расстояние между точкой R, движущейся по траектории, первоначально близкой к u1(t), и самой траекторией u1(t), стремится к нулю при t → ∞.Еще один пример системы с двумя переменными, показывающий, в чем отличие орбитальной устойчивости от устойчивости потраектории: движение материальной точки, которое в полярныхкоординатах выражается уравнениями:r 0; r.(8.3)Это движение по окружностям, причем чем больше радиусокружности r, тем больше угловая скорость .
Значит, две частицы, которые в начале движения были на соседних орбитах с близкими радиусами, со временем расходятся вследствие различия ихугловых скоростей. Устойчивости по траектории нет. Но формаорбиты при небольших изменениях начального значения r не меняется. Следовательно, орбитальная устойчивость имеется.868.3. Структурная устойчивостьПусть дано уравнение динамической модели системыqj = Fj,(8.4)функции Fj часто зависят не только от переменных qj, но и отвнешних параметров i, которые называют управляющими параметрами. При фиксированных значениях управляющих параметров поведение системы, описываемое траекториями в фазовомпространстве, однозначно зависит от начальных условий.
Картину,изображающую поле траекторий в интересующей области фазового пространства для всех возможных начальных условий, называют фазовым портретом системы. Если при небольших измененияхуправляющих параметров структура фазового портрета остаетсябез изменений, то говорят, что система обладает структурнойустойчивостью.Система является структурно неустойчивой, если при небольших изменениях хотя бы одного из параметров в фазовом портретепроисходят структурные изменения.
Что это значит? Основныекачественные изменения фазового портрета происходят при изменении характера особых точек — при ветвлении решений, т. е. прибифуркациях, которые соответствуют неравновесным фазовымпереходам системы. Таким образом, следует отметить, что структурная устойчивость нарушается при неравновесных фазовых переходах, когда состояние системы становится чувствительным кфлуктуациям внешних (управляющих) параметров.Вопросы для самоподготовки1.
Нарушение какого типа устойчивости приводит к неравновесномуфазовому переходу?2. Опишите процесс структурообразования, происходящий при термической обработке стали, демонстрирующий устойчивость по траектории.879. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ —ВЗГЛЯД СО СТОРОНЫ9.1. Катастрофы и анализ структурной устойчивостиЗапишем динамическую модель произвольной системы в общем виде:(9.1)q F (q, i ),где q — вектор состояния (внутренние параметры); i — управляющие параметры.Исследуя поведение системы, прежде всего были определеныстационарные состояния q0 и тем или иным способом проанализировано, будет ли система оставаться в данном стационарном состоянии или его покидает, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
