lektsii (830015), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Набор точек tk образует разбиение отрезка [α, β]. В результате получаемÌÃÒÓВычисление интеграла 2-го рода. Рассмотрим интеграл (6.2) от функции f (M ) = f (x, y, z)вдоль кривой γ, заданной параметрически при помощи непрерывно дифференцируемых функций: x = ϕ(t),y = ψ(t),t ∈ [α, β].(6.3)z = ν(t),ÔÍ-12длине дуги Pk−1 Pk , что приводит к интегралу 1-го рода.σ=nXf (Sk ) (xk − xk−1 ) =k=1nXf (ϕ(τk ), ψ(τk ), ν(τk )) (ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )) =k=1=nXÌÃÒÓk=1непрерывна на отрезке [α, β] и потому интегрируема. Взяв разбиение tk , а в каждом интервале ∆tkточки wk и Wk , в которых подинтегральная функция достигает на ∆tk соответственно минимума имаксимума, полагая F (wk ) = mk , F (Wk ) = Mk , получим, чтоnXf (ϕ(τk ), ψ(τk ), ν(τk ))ϕ0 (ζk )∆tk 6k=1nXMk ∆tk .k=1ÔÍ-12ÌÃÒÓk=1mk ∆tk 6ÌÃÒÓnXÔÍ-12ÔÍ-12F (t) = f (ϕ(t), ψ(t), ν(t))ϕ0 (t)ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ30Если диаметр разбиения стремится к 0, то по лемме о двух милиционерах“ заключаем, что предел”суммы (6.4) существует и равен определенному интегралу от функции F по отрезку [α, β].
Такимобразом, с учетом симметрии, мы доказали следующее.Теорема 6.1. Если кривая γ задана параметрически в виде (6.3) непрерывно-дифференцируемымифункциями, функции P , Q, R определены на γ и непрерывны, то криволинейный интеграл существует иZβZP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =P (ϕ(t), ψ(t), ν(t))ϕ0 (t) +αγ+ Q(ϕ(t), ψ(t), ν(t))ψ 0 (t) + R(ϕ(t), ψ(t), ν(t))ν 0 (t) dt.Если параметром кривой является одна из координат, то вычисление криволинейного интегралаупрощается.
Пусть кривая γ описывается двумя функциями y = ϕ(x), z = ψ(x), x ∈ [a, b]. Тогдаf (x, y, z) dx =γf x, ϕ(x), ψ(x) dx,aт.е. в криволинейном интеграле надо переменные y и z выразить через x.Если кривая γ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то для любой функции f , определеннойна кривой,ZÔÍ-12ZbZÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛγЭто следует из того, что при любом разбиении γ разности ∆xk будут равны 0.Связь интегралов 1-го и 2-го рода. Рассмотрим интеграл (6.2) вдоль кривой, заданной параметрически в виде (6.3) при помощи непрерывно дифференцируемых функций. ТогдаZβZαpf (ϕ(t), ψ(t), ν(t)) (ϕ0 (t))2 + ψ 0 (t))2 + ϕ0 (t))2 cos α dt,αгдеϕ0 (t)cos α = p(ϕ0 (t))2 + ψ 0 (t))2 + ϕ0 (t))2представляет собой направляющий косинус касательного вектора кривой γ, имеющего координаты(ϕ0 (t), ψ 0 (t), ν 0 (t)).
Таким образом,ZZf (x, y, z) dx = f (x, y, z) cos α dlγZZP dx + Qdy + Rdz =γÔÍ-12ÔÍ-12γ(P cos α + Q cos β + R cos γ) dl.ÌÃÒÓи вообщеγÌÃÒÓÌÃÒÓγf (ϕ(t), ψ(t), ν(t))ϕ0 (t) dt =ÔÍ-12ÔÍ-12f (x, y, z) dx =ZβÌÃÒÓÌÃÒÓf (x, y, z) dx = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-127.1. Интеграл по замкнутому контуру(Замкнутым) контуром называют кривую, у которой совпадают начало и конец. Если криваязадана параметрически отображением r : [a, b] → R3 , то она является контуром, если r(a) = r(b). Еслипри этом отображение r, скажем, на полуинтервале [a, b) является взаимно-однозначным, то контур неимеет точек самопересечения и называется простым. Контур можно рассматривать как отображениеокружности в трехмерное пространство.
Этим подчеркивается, что выбор начала-конца контура неявляется существенным.Мы остановимся на плоском случае, когда контур лежит целиком в плоскости. Можно считать,что плоскость контура — это координатная плоскость Oxy. Простой контур γ на плоскости разрезаетее на две области, одна из которых является ограниченной. Сам контур является общей границей этихдвух областей (теорема Жордана).Интеграл по замкнутому контуру строится стандартным образом, однако при этом на контуренеобходимо выбрать начальную точку, чтобы можно было рассматривать контур как частный случайкривой. Выбор начальной точки оказывается несущественным.Теорема 7.1. Значение криволинейного интеграла 1-го рода не зависит от выбора начальнойточки.AmBlAAmBBlABlAAmBBlAmB(ds — дифференциал длины вдоль контура).
I31ÔÍ-12Теорема 7.2. Значение криволинейного интеграла 2-го рода не зависит от выбора начальнойточки.ÌÃÒÓИнтеграл 2-го рода зависит от ориентации кривой, т.е. от выбора направления движения по кривой. В общем случае направление движения указывается порядкомконцевых точек (какая начальная, какая конечная). Но для контураlтакое определение ориентации не подходит.
Направление обхода моBжет быть задано выбором на контуре трех точек и заданием порядкаAих обхода. Например, если выбраны точки A, B, C, то их обход впорядке ABC, BCA, CAB определяет одно и тоже направление, аmобход в порядке ACB, CBA, BAC определяет противоположное направление.Рис. 7.1Отметим, что простой контур, расположенный на плоскости, разделяет плоскость на две области, одна из которых ограничена. Ориентация такого контура может бытьопределена следующим образом.
Положительным направлением движения по простому контурусчитают такое, при котором ограниченная область по ходу движения остается слева. Вариант этого правила: движение по контуру идет против часовой стрелки. Если не оговорено противное, тоинтеграл 2-го рода по контуру вычисляется в предположении положительного направления обхода.ÔÍ-12J Пусть точки A и B лежат на контуре γ. Сам контур можно рассматривать как объединение(сумму) двух кривых — дуг m и l контура, соединяющих точки A и B (рис.
7.1). В силу аддитивностиинтеграла для любой функции f , определенной на контуре, получаемZZZZZZf ds =f ds +f ds =f ds +f ds =f dsÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓФормула Грина. Случай односвязных и многосвязных областей. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла 2-го рода.ÔÍ-12ÔÍ-12ФОРМУЛА ГРИНАÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 7ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ32Доказательство повторяет доказательство теоремы 7.1. Вместе эти две теоремы позволяют неучитывать положение начальной точки и рассматривать контур как непрерывное инъективное отображение окружности в R2 .Замечание.
Для криволинейных интегралов по замкнутому контуру имеется специальное обозначение:IÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. ФОРМУЛА ГРИНАf ds.Теорема 7.3 (формула Грина). Если измеримая ограниченная область G ограничена простым(кусочно-гладким) контуром γ, функции P и Q определены и непрерывно дифференцируемы в G и вокрестности каждой точки M ∈ γ, тоZZZ ∂Q ∂PP dx + Q dy =−dxdy.(7.1)∂x∂yγGЗамечание. Границу области G обозначают, как правило, символом ∂G. Поэтому формулу (7.1)можно записать так:ZZZ ∂Q ∂P−dxdy.P dx + Q dy =∂x∂yGγγGGОбе формулы симметричны. Поэтому достаточно ограничиться одной из них. Для определенностивыберем первую из них.Построим кривую l, лежащую в области G за исключением своих концевых точек, которые расположены на γ.
Такая кривая (называемая разрезом) разделяет область G на две подобласти G1 и G2(рис. 7.2). ТогдаZZZZZZZZZ∂P∂P∂Pdxdy =dxdy +dxdy,P dx =P dx +P dx.∂y∂y∂yG1γG2°G1y=Ã(x)lGy='(x)G2OРис. 7.2abxРис. 7.3Это соображение позволяет ограничиться рассмотрением областей специального вида, которыеявляются стандартными1 по переменной y. В этом случае область описывается неравенствами a 6x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x), а кривую γ составляют графики функций ϕ и ψ плюс, возможно, один-дваЕсли кривая γ описывается непрерывно дифференцируемым отображением r, причем касательный вектор r0 (t) ни водной точке не является нулевым, то ее локально можно представить как график функции y(x) или x(y).
Разбиение жеможно выполнять горизонтальными и вертикальными прямыми. В общем случае кривую γ следует заменить близкойкусочно гладкой, например, ломаной. Доказательство завершается предельным переходом.ÌÃÒÓ1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∂G2ÌÃÒÓÌÃÒÓy∂G1ÔÍ-12ÔÍ-12J Формула Грина на самом деле заключает в себе две различные формулы:ZZZZZZ∂Q∂Pdxdy,Q dy =dxdy.P dx = −∂y∂xÌÃÒÓÌÃÒÓ∂GGÔÍ-12ÔÍ-127.2. Формула ГринаÌÃÒÓÌÃÒÓγÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ33отрезка вертикальных прямых (рис.R 7.3). Поэтому, учитывая положительное направление вдоль γ ито, что криволинейный интеграл P dx вдоль вертикального отрезка равен 0, получимZZP (x, y) dx −P (x, y) dx =γZbZΓ(ϕ)P (x, y) dx =P (x, ϕ(x)) − P (x, ψ(x)) dx.(7.2)aΓ(ψ)С другой стороны, двойной интеграл превращается в повторный, причем внутренний интеграллегко вычисляется:ZZ∂Pdxdy =∂yψ(x)ZZbdxaG∂Pdy =∂yZbP (x, ψ(x)) − P (x, ϕ(x)) dx.(7.3)aϕ(x)ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7.
ФОРМУЛА ГРИНА∂GG∂G0ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12∂GÔÍ-12J Утверждение сводится к случаю односвязной области. Действительно, соединим каждый внутренний контур с внешним при помощи гладкого разреза (рис. 7.5). Тогда область G превратится водносвязную область G0 , двойной интеграл по которой совпадает с интегралом по исходной области(G получается из G0 добавлением множества меры 0). При проходе границы области G0 контуры ∂Gпроходятся в положительном направлении, но, кроме того, добавленные разрезы проходятся дваждыв противоположных направлениях. ПоэтомуZZP dx + Q dy =P dx + Q dy.IÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 7.4 (обобщенная формула Грина).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
