lektsii (830015), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В случае,когда тело представляет собой конечную совокупность материальных точек Pi (xi , yi , zi ) с массами mi ,то координаты центра тяжести вычисляются по формулам:PPPxi miyi mizi miiiix=y=z=MMMÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Кратные интегралы могут применяться для вычисления различных механических и физическихвеличин.На основании плотности может быть вычислена масса объемного тела. Если положение точекописывается их декартовыми координатами в пространстве, а плотность задается как функция трехпеременных ρ(x, y, z), то масса тела будет определяться интеграломZZZρ(x, y, z) dxdydz.ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.3.
Механические приложенияÔÍ-12Пример 4.2. Вычислим объем шара радиуса R. Он описывается неравенством x2 + y 2 + z 2 6 R2 .Переходя в сферические координаты, получаемÌÃÒÓÌÃÒÓdxdydz =ZbZZÔÍ-12ÔÍ-12V =ÌÃÒÓÌÃÒÓТеперь получаем окончательный результат:ZZZÔÍ-12ÌÃÒÓ16ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12где ρ — плотность протяженного тела, M — масса. Три интеграла, определяющие координаты центратяжести называют статическими моментами твердого тела.В теории вращения твердого тела важную роль играет момент инерции тела.
Для системы материальных точек момент инерции относительно, например, оси Oz вычисляется по формулеXIz =(x2i + yi2 )mi .iЕго аналогом для протяженного тела является величинаZZZIz =(x2 + y 2 )ρ(x, y, z) dxdydz,Vгде ρ — плотность твердого тела. Дополнительно рассматривают моменты инерции относительно координатных плоскостей:ZZZZZZZZZ22Iyz =x ρ(x, y, z) dxdydz, Ixz =y ρ(x, y, z) dxdydz, Ixy =z 2 ρ(x, y, z) dxdydz,VVС помощью этих величин можно вычислить моменты инерции относительно координатных осей: Ix =Ixy + Ixz , Iy = Ixy + Iyz , Iz = Ixz + Iyz .
Момент инерции относительно начала координат —это сумма трех моментов инерции относительно координатных плоскостей.4.4. Плоский случайZbZZZρ(x, y) dxdydz =GZZρ(x, y) dxdy = (b − a)dzaZZSρ(x, y) dxdy.SÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓК двойным интегралам мы приходим и в случае, когда тело представляет собой тонкую пластинку,т.е.
находится в узкой полосе пространства. В этом случае можно пренебречь изменением толщинытела, т.е. считать его цилиндром малой высоты, и изменением плотности вдоль толщины.ÔÍ-12В специальном случае, когда участвующие в вычислениях функции не зависят от одного из переменных, могут применяться формулы на основе двойного интеграла. Рассмотрим цилиндрическоетело G, описываемое соотношением G = S×[a, b], S ⊂ R2 . Если, например, плотность такого тела неменяется вдоль оси Oz, то вычисление его массы приводит к двойному интегралу:ÌÃÒÓÌÃÒÓVÌÃÒÓÌÃÒÓVÔÍ-12ÔÍ-12VÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ17(M — общая масса тела).
Аналогом этих формул в случае протяженного (непрерывного) тела будутформулыZZZZZZZZZ111x=xρ(x, y, z) dxdydz, y =yρ(x, y, z) dxdydz, z =zρ(x, y, z) dxdydz,MMMVÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓi=1Определение 5.2. Пусть функция f определена на множестве G ⊂ Rn и интегрируема на измеримых ограниченных подмножествах в G. Если для каждого исчерпания {Ei } множества G существуетпределZI = limf (x) dx,i→∞Eii→∞GEiТеорема 5.1. Если {Ei } — исчерпание измеримого множества G, то:а) µ(Ei ) → µ(G) при i → ∞;б) Если функция f интегрируема на G, то f интегрируема на каждом множестве Ei иZf (x) dx =Eif (x) dx.G18ÔÍ-12J Как уже отмечалось, площадь множества не зависит от того, как мы заполняем это множество: строим ли регулярную сетку, вписываем ли многоугольники той или иной формы.
Введенноенами понятие исчерпания — еще один способ получения площади множества. Это объясняет (но недоказывает) свойство а).Свойство б) почти сразу же следует из а). В самом деле, если функция f интегрируема по множеству G, то она обязана согласно определению интегриируемости быть ограниченной: |f (x)| 6 C.Поэтому при i → ∞ Z ZZZZ f (x) dx − f (x) dx = f (x) dx 6|f (x)| dx 6C dx 6 Cµ(G \ Ei ) → 0.I GEiG\EiG\EiG\EiÌÃÒÓi→∞ÔÍ-12Если несобственный интеграл существует, то также говорят, что он сходится, в противном случае,что он расходится.Техника исчерпания используется при построении интеграла по неограниченной области или пообласти, в которой функция неограничена.
Предположим, что множество G является ограниченным иизмеримым, а функция f определена на G и ограничена. Тогда можно говорить об интеграле в обычномсмысле слова (о собственном интеграле). Можно также взять какое-либо исчерпание множества иопределить несобственный интеграл. Совпадают ли эти интегралы?ÌÃÒÓпричем его значение не зависит от выбора исчерпания, то этот предел называют несобственныминтегралом функции f по множеству G. Обозначение:ZZf (x) dx = limf (x) dx.ÔÍ-12ÌÃÒÓОпределение 5.1. Исчерпанием множества G ⊂ Rn называют любую последовательность∞SEi = G.измеримых множеств En , для которой Ei ⊂ Ei+1 , i = 1, 2, . . ., иÌÃÒÓÔÍ-12Кратные несобственные интегралы.
Абсолютная сходимость. Интегралы, зависящие от параметра.Пример: вычисление интеграла Пуассона.ÔÍ-12ÌÃÒÓНЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫlimÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 5ZÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-125.1. Интеграл от неотрицательной функцииÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ19Интеграл от неотрицательной функции по своим свойствам близок определенному (одномерному)несобственному интегралу. ДелоR в том, что если множество G исчерпывается множествами Ei , топоследовательность интегралов f (x) dx является возрастающей и потому имеет предел, конечныйEiили бесконечный. Оказывается, что этот предел вообще не зависит от выбора исчерпания области, асходимость интеграла равносильна тому, что конечен предела последовательности интегралов.Теорема 5.2.
Если f : G → R, G ⊂ Rn , неотрицательна, {Ei } и {Ei0 } — два исчерпания множестваG, причем f интегрируема на каждом элементе каждого из исчерпаний, тоZZlimf (x) dx = A = B = limf (x) dxi→∞i→∞Ei0EiÌÃÒÓÌÃÒÓЛЕКЦИЯ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫÔÍ-12ÌÃÒÓJ ПоложимZZIk0 =f dx,Ik =ÔÍ-12ÔÍ-12где A и B — числа или символы ∞.f dx,k = 1, 2, . . .Ek0EkНам достаточно показать, что для любых двух исчерпаний Ek , Ek0 и любого номера kI = lim Il > Ik0 .l→∞k→∞В силу симметрии должно выполняться и обратное неравенство, т.е.
на самом деле I = I 0 .Фиксируем номер k и обозначим Fl = El ∩ Ek0 , k = 1, 2, . . . Тогда последовательность {Fl } являетсяисчерпанием измеримого множества Ek0 , на котором функция f интегрируема. Согласно теореме 5.1имеемZZlimf dx = f dx,l→∞ÔÍ-12ÔÍ-12I > lim Ik0 = I 0 .Ek0Flоткуда, в силу включений Fl ⊂ El , l = 1, 2, . . .,ZZlimf dx > f dx,l→∞Ek0ElÌÃÒÓÌÃÒÓТак как слева стоит число, то отсюда немедленно следует, чтоТеорема 5.3 (признак сравнения). Пусть функции f и g определены на множестве G ⊂ Rn ,причем 0 6 f (x) 6 g(x) на G.RRа) Если g(x) dx сходится, то и f (x) dx сходится.GG RRб) Если f (x) dx расходится, то и g(x) dx расходится.GGÌÃÒÓÌÃÒÓчто и требовалось доказать.
I5.2. Абсолютная сходимостьТеорема 5.4. ЕслиR|f (x)| dx сходится, то иGRf (x) dx сходится.GJ И в этом случае ничего нового. Достаточно рассмотреть неотрицательные функции f+ (x) == max{f (x), 0} и f− (x) = max{−f (x), 0}. Тогда f (x) = f+ (x) − f− (x), |f (x)| = f+ (x) + f− (x). ИзÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Доказательство этой теоремы в точности повторяет доказательство аналогичной теоремы для несобственного одномерного интеграла.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ20ÔÍ-12интегрируемости функции |f (x)| следует интегрируемость функций f+ (x) и f− (x), что в свою очередьприводит к заключению об интегрируемости f (x).
IRRИнтеграл f (x) dx называется сходящимся абсолютно, если сходится интеграл |f (x)| dx. КакGGговорит теорема 5.4, абсолютная сходимость — более жесткое условие, чем простая сходимость. Обапонятия встречаются в теории несобственных одномерных интегралов, в рядах.Неожиданным является то, что для кратных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.RRТеорема 5.5. Если f (x) dx сходится, то и |f (x)| dx сходится.GGi=1интегрируема на G, что приводит к нужному утверждению. Это всего лишь эскиз доказательства.Приведем строгое рассуждение.RJ Предположим, что |f (x)| dx расходится. В дальнейшем для краткости будем обозначатьÔÍ-12Сформулированное свойство — результат требования, чтобы предел последовательности собственных интегралов не зависел от выбора способа исчерпания области интегрирования. В самом деле,пусть у нас есть две последовательности измеримых не пересекающихся областей: Ei , в которыхфункция f положительна, и Fj , в которых она отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
