lektsii (830015), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, xn ): 0 6 xi 6 1, i = 1, . . . , n} ,ÔÍ-12ÌÃÒÓ1.3. Кратный интегралÌÃÒÓÌÃÒÓSÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12µ(X ∩ Y ) = µ(X) + µ(Y ) − µ(X ∪ Y ).В частности, мера объединения непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств (аддитивность меры).Понятие n-мерного интеграла вводится так же, как и двойной интеграл. Обозначают n-мерныйинтеграл как обычный определенный интеграл (специальные обозначения имеются лишь для двойногои тройного интеграла):Zf dxSSSS27) свойство монотонности:Если f и g интегрируемы на S и всюду на S выполняется неравенствоRRf (x) > g(x), то S f dx > S g dx.
В частности, интеграл от неотрицательной функции всегда имеетнеотрицательное значение;8) усиление предыдущего свойства: Если f и g интегрируемы на S и всюду на S выполняетсянеравенство f (x) > g(x), причем существует внутренняя точка x множестваS, в Rкоторой функции fRи g непрерывны и удовлетворяют строгому неравенству f (x) > g(x), то S f dx > S g dx;ÔÍ-12S1ÌÃÒÓ5) произведение интегрируемых на данном множестве функций интегрируемо. Отношение интегрируемых функций интегрируемо, если делитель не принимает значений в некоторой окрестности 0(т.е. для некоторого ε > 0 выполняется неравенство |g(x)| > ε);6) аддитивность интеграла: если функция f интегрируема на измеримых непересекающихся (илипересекающихся по множеству меры 0) множествах S1 и S2 , то она интегрируема на S = S1 ∪ S2 иZZZf dx =f dx +f dx;SÔÍ-12Отметим свойства кратного интеграла.
Они близки соответствующим свойствам определенного интеграла:R1) для любого измеримого множества S S dx = µ(S);R 2) если S — множество меры 0, а функция f определена и ограничена на S, то f интегрируема иS f dx = 0;3) если S — измеримое множество, f интегрируема на S, S 0 ⊂ S измеримо, то f интегрируема на0S;4) линейность интеграла: если функции f1 и f2 интегрируемы на измеримом множестве S, то длялюбых постоянных α1 и α2 функция α1 f1 + α2 f2 интегрируема на S иZZZ(α1 f1 + α2 f2 )dx = α1 f1 dx + α2 f2 dx;ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12(полуаддитивность верхней меры). В частности, объединение конечного числа множеств меры 0 естьмножество меры 0;6) ограниченное множество измеримо тогда и только тогда, когда его граница есть множествомеры 0;7) теорема сложения: для измеримых множеств X и YÌÃÒÓÌÃÒÓi=1ÔÍ-12ÔÍ-12i=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ4Свойства меры Жордана:1) если X1 ⊂ X2 , то µ(X1 ) 6 µ(X2 ) и µ(X1 ) 6 µ(X2 );2) если X открыто, то 0 < µ(X), в общем случае 0 6 µ(X) 6 µ(X);3) если X имеет меру 0, то любое подмножество X измеримо и имеет меру 0;4) для любого ограниченного множества X выполняется равенство µ(X) = µ(X), где X — замыкание X.
В частности, замыкание множества меры 0 есть множество меры 0;5) для любого набора множеств X1 , . . . , Xm имеет место неравенство!mm[Xµµ(Xi )Xi 6SÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. МЕРА ЖОРДАНАÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓSRВ частном случае g(x) ≡ 1 получаем формулу S f dx = λµ(S), где λ — среднее значение функцииf на множестве S.Все перечисленные свойства имеют аналоги для определенного интеграла. Однако свойство определенного интеграла, согласно которому интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, не распространяется на кратные интегралы.Теорема 1.1. Если ограниченное множество S измеримо, а функция f определена и непрерывнана S, то она интегрируема на S.J Изложим доказательство кратко.
Пусть всюду на S функция удовлетворяет неравенству |f (x)| 6M (ограничена). Построим сетку, покрывающую множество S. Диаметр сетки определяется ее шагом,√так как диаметр куба со стороной a равен a n. Элементами разбиения будут кубы, целиком попавшиев S, и части кубов, накрываемых S лишь частично. Последние при достаточно малом шаге сеткиимеют малый суммарный объем δS, так как S измеримо. Вклад этих частей в интегральную суммумал и не превосходит M δS. Значит, каково бы ни было ε > 0, можно выбрать такое δ, что пришаге сетки, меньшем δ, вклад неполных кубов сетки в интегральную сумму не будет превосходить,скажем, ε/2.
Займемся остальными кубами. Множество S, составленное из таких кубов, замкнуто иограничено. Поэтому для выбранного ε существует такое число ν, что для любых точек x1 , x2 ∈ S,для которых |x1 − x2 | < ν, будет выполняться неравенство |f (x1 ) − f (x2 )| < ε. Тогда для любогоразбиения с диаметром не более ν интегральная сумма может меняться в пределах интервала длиныεµ(S) 6 εµ(S). Применение критерия Коши завершает доказательство. IÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЗамечание 1.2.
Интегрируемость функции на множестве зависит от мощности множества ееточек разрыва. Верен такой критерий интегрируемости. Функция интегрируема на ограниченномизмеримом множестве S, если множество ее точек разрыва может быть накрыто конечным или счетным набором кубов (или n-мерных шаров) сколь угодно малого суммарного объема (такие множестваназывают множествами лебеговой меры 0). Этот критерий носит название критерия Лебега.
Из него,в частности, следует, что функция интегрируема, если множество ее точек разрыва имеет меру 0 поЖордану, т.е. накрывается конечным набором кубов произвольно малого суммарного объема.ÔÍ-12Замечание 1.1. Этот эскиз доказательства показывает главную трудность в теории кратныхинтегралов. Если в определенном интеграле интегрирование ведется по простейшему множеству —интервалу (ну, или отрезку), при построении интегральных сумм, интервал интегрирования также разбивается на простейшие составляющие, интервалы, то в случае кратного интеграла это непроходит. Дело в том, что даже на плоскости множество может быть очень причудливым, а интегрирование должно вестись не обязательно по прямоугольнику или многоугольнику.
В случае одномерногоинтеграла, функция, непрерывная на интервале интегрирования может не иметь равномерной непрерывности только из-за поведения в концевых точках интервала. Две точки легко купировать. А ужев двумерном случае таких точек может быть бесконечно много.ÌÃÒÓÔÍ-12g dx.f g dx = λSÌÃÒÓÌÃÒÓ9) теорема о среднем: если функции f и g интегрируемы на S, причем всюду на S функция g имеетодинаковый знак, а функция f удовлетворяет двойному неравенству m 6 f (x) 6 M , то существуеттакое число λ, m 6 λ 6 M , чтоZZÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ5ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. МЕРА ЖОРДАНАÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 2ВЫЧИСЛЕНИЕКРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВПовторные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному. Двойные и тройные интегралы,их вычисление.Сложность вычисления кратного интеграла в первую очередь определяется формой области интегрирования.
Мы сперва остановимся на двойных интегралах.2.1. Двойной интегралИзучение вопроса начнем с простейшего двойного интегралаRRf (x, y)dx, вычисляемого по прямо-Pугольнику P , который задается неравенствами a 6 x 6 b, c 6 y 6 d.Для построения интегральной суммы выберем разбиение, коyторое порождается разбиениями отрезка [a, b] на интервалы ∆xidи отрезка [c, d] на интервалы ∆yj (рис.
2.1). Элементами такого разбиения являются прямоугольники со сторонами ∆xi и ∆yj .Соответственно, интегральная сумма имеет вид:XS=f (ξij )∆xi ∆yj .i,jcab xi=1j=1i=1cНо сумма Ŝ в свою очередь является интегральной для интеграла по отрезку [a, b] от функцииÌÃÒÓВнутренняя сумма — интегральная для интеграла от функции f (xi , y) одного переменного y (прификсированном xi ) по отрезку [c, d], которая соответствует разбиению этого отрезка на интервалы∆yj . При достаточно мелком разбиении эта сумма близка к интегралу, а вся интегральная суммаассоциируется с суммой dZpX f (xi , y) dy ∆xi .Ŝ =ÔÍ-12Эту сумму проще всего вычислять, меняя индексы последовательно или, другими словами, по строкам или столбцам разбиеРис. 2.1ния.
Для определенности остановимся на способе суммированияпо столбцам. Точки ξij в прямоугольниках выберем так, что одному столбцу соответствует одинаковаяабсцисса: ξij = (xi , yij ). Тогда интегральная сумма примет вид:qpXXS=f (xi , yij )∆yj ∆xi .OÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓϕ(x) =f (x, y) dycПоэтому в пределе, когда диаметр разбиения стремится к 0, мы приходим к интегралуZb Zd f (x, y) dy dx,cÔÍ-126ÌÃÒÓÌÃÒÓaÔÍ-12ÔÍ-12ZdÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12dxacZdq ZXf (xi , y) dy =j=1∆yjqXf (xi , yij )∆yj ,j=1где последнее равенство получено по теореме о среднем (в предположении непрерывности f ).Меняя местами порядок переменных, можем получить двойственную формулу:ZdZZf (x, y) dxdy =ZbdycPf (x, y) dxaPacacacт.е.
двойной интеграл распадается в произведение двух одномерных интегралов.Перейдем теперь к более общему случаю. Пусть на отрезке [a, b] заданы две функции ϕ(x) и ψ(x),причем ϕ(x) 6 ψ(x) при a 6 x 6 b. ОбластьG = {(x, y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}является измеримой, если функции ϕ и ψ интегрируемы (почему?). Рассмотрим I =RRf (x, y) dxdy отÔÍ-12Замечание 2.1.
Мы использовали непрерывность подинтегральной функции, однако это требование излишне: полученные формулы сведе́ния двойного интеграла к повторному верны для любойинтегрируемой функции.ÌÃÒÓЗамечание. Если у функции f (x, y) разделяются переменные: f (x, y) = f1 (x)f2 (y), то b dZZZbZdZbZdZZf (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy = f1 (x) dx f2 (y) dy = f1 (x) dx f2 (y) dy ,ÔÍ-12ÔÍ-12f (x, y) dyВ этой формуле внутренний интеграл вычисляется при постоянном x, в результате чего получаетсяфункция одного переменного x, которая затем интегрируется уже по оставшейся переменной x. Этаформула представляет собой повторный интеграл.Наши рассуждения не очень корректны, так как замена в двойной сумме внутренней суммы еепределом — интегралом — не доказана. Однако точки ξij можно подобрать так, что внутренняясумма в S будет в точности равна соответствующему интегралу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
